n
n
U P( Ai ) P(Ai )
P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak ) L (1)n1 P( A1A2 L An )
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
维恩图 B AB A
证明
P(A U B) P(A U BA) P(A) P(BA) P(A) P(B) P(AB)
n)!
1.3.4 概率的连续性——极限
定义： 对 F中的任意单调不减的事件序列 F1 F2 L Fn L ,
称可列并
U Fn
为 Fn 的极限事件，记为
n 1
U lim
n
Fn
Fn
n1
对F 中的任意单调不增的事件序列 E1 E2 L En L ，称 I En 为 En的极限事件，记为 n 1
(1)n 2时，显然有 P( A1 U A2 ) P( A1) P( A2 ) P( A1A2 )
(2)假设n m 时，有
m
m
U P( Ai ) P(Ai )
P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak ) L (1)m1 P( A1A2 L Am ) m
来自“概率”理论的质疑
统计学进入文学领域后，高鹗续写的定论遭到了计 算机的质疑。 1981年，首届国际《红楼梦》研讨会 在美国召开，美国威斯康星大学讲师陈炳藻独树一 帜，宣读了题为《从词汇上的统计论〈红楼梦〉作 者的问题》的论文，首 次借助计算机进行《红楼梦》 研究，轰动了国际红学界。陈炳藻从字、词出现频 率入手，通过计算机进行统计、处理、分析，对 《红楼梦》后40回系高鹗所作这一 流行看法提出异 议，认为120回均系曹雪芹所作。
1.3 概率的性质
任课教师：侯雅文 2011年9月14日
《红楼梦》的作者到底是谁？
《红楼梦》成书迄今已逾200年，作为中 国历史上最有影响的小说之一，《红楼 梦》有各种不同的版本、数十种续书， 流传到世界各国，被翻译成多种文字， 感动 了不同民族的长期以来，人们普遍 认为曹雪芹只写了《红楼梦》的前80回， 后40回是高鹗续写的，你认为这是真的 吗？
AB
1.3.2 概率的单调性
若 AB 则 P(A) P(B)
因为 P(A B) P(A) P(B) 0
所以 P(A) P(B)
1.3.2 概率的单调性
对任意两个事件 A, B ，有
P( AB) P( A B) P( A) P( AB)
证明：因为
P(A) P(A B) U AB P(A B) P(AB)
半可加性
对任意两个事件A和B，有
P(A B) P(A)+P(B)
对任意n个事件 A1, A2 ,L An ，有
n
n
P(UAi ) P(Ai )
i 1
i 1
证明-课下思考
m
m
P(UAi ) P( Ai )
i1
i1
m
m
U P( Ai ) P(Ai )
P( Ai Aj )
i1
i1
A1 U A2 UL U An A1 U A2 UL U An U U UL
P( A1 U A2 UL U An ) P( A1 U A2 UL U An U U UL ) P( A1) P( A2 ) L P( An ) P() L P( A1) P( A2 ) L P( An )
概率 1-(25/36) 24=0.99 1-(35/36)24=0.49
1.3.2 概率的单调性
若 AB
则 P(A B) P(A) P(B)
证明：因为 A B
所以
P(A) P(B U AB) PB U(A B) P(B) P(A B)
故
P(A B) P(A) P(B)
维恩图
教学目标
掌握概率的可加性、单调性和加法公式， 并使用公式进行计算。
了解概率的连续性
教学内容
概率的可加性 概率的单调性 概率的加法原则 概率的连续性
概率的公理与计算回顾
三条公理化定义 事件的关系 事件的运算 事件的运算性质
不可能事件的概率
P() 0
证明：
因为 U U UL U UL
若P是F上的概率，则P既是下连续又是上连续的。
先证P的下连续性
设 Fn是 F 中一个单调不减的事件序列，即
令 F0 ，则
U lim
n
Fn
Fn
n1
由于 Fi1 Fi
U U Fi (Fi Fi1)
i 1
i 1
，显然各 (Fi Fi1)
两两互不相容，根据可列可加性得
概率的连续性
U U P( Fi ) P( (Fi Fi1))
那么，n m 1 时，有
归纳法
m1
m
m
m
U U U U P( Ai ) P( Ai U Am+1) P( Ai ) P( Am+1) P[( Ai ) Am+1]
i 1
i 1
i 1
i 1
m
P(Ai )
P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak ) L (1)m1 P( A1A2 L Am )
以下命题是否成立？
若A、B、C满足ABC=ø,它们一定两 两互不相容。
有限样本空间中的样本点一定是等概 率的。
概率为0的事件是不可能事件。
I lim
n
En
En
n 1
。
1.3.4 概率的连续性——连续
对F上的一个概率P，若它对F中任一单调不减的事件序列
Fn均成立
lim
n
P(Fn
)
P( lim n
Fn
)
则称概率P是下连续的。
若它对 F中的任一单调不增的事件序列{En}均成立
lim
n
P(En
)
P( lim n
En
)
则称概率P是上连续的。
概率的连续性
2个6点，玩家赢，否则庄家赢。 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵
族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷 四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将 两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很 少。
练习1-答案
掷一颗骰子4次，至少出现一次6点的概率 1-(5/6)4=0.52 掷两颗骰子24次，至少出现一次双6点的
Cn2
(n
2)! n！
Cn3
(n
3)! n！
L
(1)n1Cnn
(n
n)! n！
1 1 1 L (1)n1 1
2! 3!
n!
1 1 0.633 e
练习2
10对夫妻坐成一圈，计算没有一对 夫妻坐在一起的概率。
n对夫妻坐在一起的概率
P( Ai1 Ai2 L
Ain
)
2n (19 19!
1i jm
m
m
U P( Ai ) P(Ai )
P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak )
i1
i1
1i jm
1i jkm
m
U 提示： Ai =A1 U A1A2 U A1A2 A3 UL U A1A2 L Am-1Am
i1
例1.3.6
在一个有n个人参加的晚会上，每个人带 了一件礼物，且假定每个人带的礼物都不 相同。晚会期间各人从放在一起的个礼物 中随机地抽取一件，求至少有一个人自己 抽到自己的礼物的概率。
i 1
1i jm
1i jk m
P( Am+1) P( A1 Am+1 U A2 Am+1 UL U Am Am+1)
m
P(Ai )
P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak ) L (1)m1 P( A1A2 L Am )
i 1
1i jm
1i jk m
m
P( Am1) P( Ai Am+1)
概率论的起源
帕斯卡、费尔马和惠更斯： 1657年； 《论掷骰子游戏中的计算》
当时法国贵族盛行掷骰子游戏，游戏规则 是玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点， 则庄家赢。按照这一游戏规则，从长期来 看，庄家输少赢多，而玩家总是输多赢少。
概率论的起源
后来为使游戏更刺激，游戏规则有了变化。 玩家这回用 2 个骰子连续掷 24 次，不同时出现
所以 P(A B) P(A) P(AB)
例1.3.3
口袋中有编号为1，2，…，n的n个球，
从中有放回的任取m次，求取出m个球的
最大编号为k的概率。
3
4
2
1 ……
…
…
… …n
1.3.3 概率的加法公式
加法公式
对任意两个事件A, B ，有
P(AUB) P(A) P(B) P(AB)
对任意n个事件 A1, A2,L An，有
i 1
i 1
P(Fi Fi1)
i 1
所以，
P( lim n
Fn
)
lim
n
P(Fn
)
n
lim
n
i 1
P(Fi
Fi 1 )
即P是下连续的。
n
U
lim
n
P(
i 1
(Fi
Fi 1 ))
n
U lim P( n
Fi )
i 1
lim
n
P(Fn
)
可列可加性的充要条件
性质1.3.8 若P(·)是事件域F上满足：非负、正则的集合 函数，则P(·) 有可列可加性的充要条件是它 具有有限可加性和下连续性。
P( A) 1 P( A)