一、填空题（每小题2分，共20分）1.如果行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---------333231232221131211222222222a a a a a a a a a 。
2.设2326219321862131-=D ，则=+++42322212A A A A 。
3.设1,,4321,0121-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A E ABC C B 则且有= 。
4.设齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则=a 。
、B 均为5阶矩阵，2,21==B A ，则=--1A B T 。
6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。
7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 。
8.若31212322212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围是 。
9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。
10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。
二、单项选择（每小题2分，共10分）1.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）A .1或2B . －1或－2C .1或－2D .－1或2.2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则=A （ ）A .5B .-5C .-3D .33.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ）A .0=+B A B .））B r A r ((=C .O A =或O B =D .0=A 或0=B4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是（ ）A ．21+ββB ．()212351ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ-5. 若二次型32312123222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，则=k （ ）A . 1B .2C . 3D . 4三、计算题 (每题9分，共63分)1.计算n 阶行列式abbb a b b b aD n=2. 设B A ,均为3阶矩阵，且满足B A E AB +=+2，若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101020101A ，求矩阵B 。
3.已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=769,103,321321ααα和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01,12,110321b a βββ；已知3β可以由321,,ααα线性表示, 且321,,ααα与321,,βββ具有相同的秩,求a ,b 的值。
4. 已知向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0221,8451,6352,2130,421154321ααααα（1）求向量组54321,,,,ααααα的秩以及它的一个极大线性无关组； （2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。
5. 已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+++=+++ax x x x x x x x x x x x 4321432143219105363132（1）a 为何值时方程组有解（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）.6. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2001,1141D P ，矩阵A 由关系式D AP P =-1确定，试求5A7.将二次型3231212322213214222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准形，并写出相应的可逆线性变换。
四、证明题（7分）已知3阶矩阵O B ≠，且矩阵B 的列向量都是下列齐次线性方程组的解⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+030202321321321x x x x x x x x x λ，（1）求λ的值；（2）证明：0=B 。
参考答案与评分标准一.填空题1．-16； 2. 0；3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21107； 4. 1； ； 6. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1212421216655A ； 7.λ1A ；8.3535<<-t ； 9. 2π； 10. 24。
二. 单项选择： 1. C ； 2. A ；3. D ； 4. B ； 5. C .三.计算题：1. abb a b b b n a a b bb a b b b aD n111])1([-+==4分1)]()1([0001])1([---+---+=n b a b n a ba b a b bb n a9分2. B A E AB +=+2⇒E A B AB -=-2⇒))(()(E A E A B E A +-=-3分 因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-001010100E A 显然可逆 6分则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+=201030102101020101E E A B9分3. ,3/3/521000126093101713602931⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b b b b 3分 即5=b ，且2),,(321=αααr 5分 那么2),,(321=βββr ，则6分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0150130121501301*********a a b a ，即15=a 9分4.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000010000021100120144220021101633011201086242431225531112014分3),,,,(54321=αααααr5分 其极大线性无关组可以取为521,,ααα7分 且：521302αααα+-=，521402αααα++=9分5. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5000011210040011612602242013211910513163113211a a a 当5-=a 时，线性方程组有解 4分即⎩⎨⎧+-=-=43241214x x x x x ，特解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=γ00100， 6分其导出组的一般解为⎩⎨⎧+-=-=4324124x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=η⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=η1014,012021 8分 原线性方程组的通解为2122110,(k k k k η+η+γ为任意常数） 9分6. 由D AP P =-1，得1-=PDP A2分155-=P PD A4分 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141313200111411141312001114157分 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121144431141321128131 9分7. f x x x x x x x x x x x x (,,)1231222321213232224=+++++ =x x x x x x x x x 12123232222322++++++()() 2分 =()()x x x x x x 123223232++++-4分 令y x x x y x x y x 112322333=++=+=⎧⎨⎪⎩⎪ 6分即作线性变换x y y x y y x y 11222333=-=-=⎧⎨⎪⎩⎪8分可将二次型化成标准形f y y y =+-1222329分四.证明题：因为O B ≠，所以齐次线性方程组有非零解，故其方程组的系数行列式0511312121=λ=-λ--，所以0=λ 3分（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000250121113012121A ，2)(=A r ，因此齐次线性方程组的基础解系所含解的个数为3-2=1，故1)(≤B r ，因而0=B 。
7分~。