近世代数知识点
第一章基本概念
1.1 集合
A 的全体子集所组成的集合称为A 的幂集，记作2 A.
1.2 映射
证明映射：
单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。
满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark ：映射满足结合律！
1.3 卡氏积与代数运算
{ (a,b ) la €A,b €B }此集合称为卡氏积，其中(a,b )为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.
集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4 等价关系与集合的分类
★等价关系：1 自反性：? a€A,a~a;
2 对称性：? a,b€R, a~b=>b ~a€R;
3 传递性：? a,b,c€R,a~b,b ~c =>a ~c€R.
Remark :对称+传递工自反
★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系
★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a] 表示。
第二章群
2.1 半群
1. 半群=代数运算 +结合律，记作（ S,°）
Remark: i. 证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii. 若半群中的元素可交换，即 a°b=b °a, 则称为交换半群。
2. 单位元
i. 半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不
存在；若都存在，则左单位元 =右单位元 =单位元。
ii. 单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元= 右单位元 = 单位元。
iii. 在有单位元的半群中，规定 a0=e.
3. 逆元
i. 在有单位元 e 的半群中，存在 b, 使得 ab=ba=e, 则 a 为可逆元。
ii. 逆元具有唯一性，记作 a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元= 可逆元。
iii. 若一个元素a既有左逆元al,又有右逆元a2,则a1=a2,且为a的逆元。
4. 子半群
i. 设S是半群，？ T?S若T对S的运算做成半群，贝U T为S的一个
子半群
ii. T是S的子半群？？a,b ET,有ab ET
2.2 群
1．群=半群+单位元+逆元=代数运算 +结合律+单位元+逆元
Remark ：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或 Abel 群 .
ii. 加群=代数运算为加法 + 交换群
iii. 单位根群Um={ ??€??|?叨=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵
集合GL（n,P）,数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL（n,p）.
2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元 +左（右）逆元
=代数运算 +结合律+ 单位元+逆元
=代数运算+结合律+ ? a,b €G,ax=b,ya=b 有解
3. 群的性质
i. 群满足左右消去律
ii. 设G是群，则？ a,b €G,ax=b,ya=b 在G中有唯一解
iii. e 是 G 单位元 ? e2=e
iv. 若G是有限半群，满足左右消去律，则 G是一个群
4. 群的阶
群G的阶，即群G中的元素个数，用|??表示。
若为无限群，则|??= ©Remark ：i. 克莱因四元群是一个 Abel 群
ii. 四阶群只有克莱因四元群和模 4 的剩余类群
2.3 元素的阶
1.定义：设G是一个群，a €G，使得am=e成立的最小正整数m称为元素a 的阶，记作|??=m;若m不存在，则|??= g
2. 阶的性质
①G 是一个群，a €G, |??=m ,
i. a n=e? m|n;
ii. a h=a k? m |? - ??
iii. e=a 0,a1 ,a2, . a m-1两两不同；
. ??
iv. ★? r€Z, |a r|= —
| (??,??
Remark: i. ? r €Z, |a r|=m ? (m,r)=l；
ii.若 m=st,s,t €N,则|a s| =t.
②|??= g,
i. a n=e ? n=0;
ii. a h=a k? ? = ??
iii. .. a-2 ,a-1 ,a0,a1,a2.. 两两不等
iv. ? r CZ\{0}, |a r|= g.
Remark:若|a|< g, |b|< g, 则 |ab|< )
定理：有限群中的元素的阶均有限。
Remark :定理的逆不成立，即群中所有的元素的阶都有限，但群不一定是有限群，例如n次单位根群。
单位根群是一个无限交换群。
3. ★★循环群
定义：设G是群，若在G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都是a 的幕，则称该群为循环群，a为该循环群的生成元。
记 G=(a).
Remark: 生成元不一定唯一,例如( Z,+ ),1 , -1 都是生成元。
定
理：
设G= (a)是一个循环群，
(1)
1 若|??= ??，则G是含m个元素的有限群，且G={a0,a1,a2…
1・…a
m-
( 2)
}；
若|??= %，则G是无限群，且 G={ ...... a-2 ,a-
1 ,a0,a1 ,a2…… } .
定
理：
设G= (a)是一个循环群，
(1) 若|??= ??，则 G 有？?m)个生成元：a r ,(r,m)=1
( 2) 若|??| = %，则 G 有两个生成元： a,a-1
( 3 )
若|??= ??,ar是G的生成元？ |a r|=m;
( 4 ) 设p是素数，则P阶循环群G=(a)有p-1个生成兀：a,a2…
…a
p-1 Remark ： ??(m) 表示小于 m ，且与 m 互素的非负整数的个数
素数阶群一定是循环群。
★定理：设 G 是 m 阶群,则 G 是循环群 ? G 有 m 阶元
2.4 子群
定义：设G是半群，？却？ G,若H对G的运算构成群，则称H是G的子群,
记为H W G.
1. 子群的性质
(1)传递性：H WK，K W G，贝U H W G;
(2)保单位元：设H <G，a€H,则e H=e G；
(3)保逆元：设 H <G, a €H,则 a-1H=a -1G.
★定理：设 G 是半群，？ MH?G, H <G? ? a,b €H,有 ab,a -1€H? ? a,b €H,ab -
1€H。