试卷类型：A唐山市2017—2018学年度高三年级第一次模拟考试文科数学试卷注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）(1－i)3i＝（A ）2－2i （B ）2＋2i （C ）－2－2i（D ）－2＋2i（2）已知命题p ：∃n ∈N ，3n ＞2018，则⌝p 为（A ）∀n ∈N ，3n ≤2018 （B ）∀n ∈N ，3n ＞2018 （C ）∃n ∈N ，3n ≤2018 （D ）∃n ∈N ，3n ＜2018 （3）设集合M ＝{x |x 2－x ＞0}，N ＝{x|1x＜1}，则（A ）M ⊂≠N （B ）N ⊂≠M （C ）M ＝N（D ）M ∪N ＝R（4）某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为 （A ）24 （B ）30 （C ）32 （D ）35 （5）以角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ，若角θ终边过点P (1，－2)，则sin 2θ＝（A ）35 （B ）－35（C ）45 （D ）－45（6）等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，该三角形分别绕AB ，BC 所在直线旋转形成的两个几何体的体积之比为 （A ）1∶ 2 （B ）2∶1 （C ）1∶2 （D ）2∶1高一年级 25%高二年级 31%高三年级 44%（7）已知a ＝3－23，b ＝2－43，c ＝ln 3，则（A ）a ＜c ＜b （B ）a ＜b ＜c （C ）b ＜c ＜a（D ）b ＜a ＜c（8）为了得到函数y ＝sin (2x －π6)的图象，可以将函数y ＝sin (2x ＋ π3)的图象（A ）向右平移 π2个单位长度（B ）向右平移 π4个单位长度（C ）向左平移 π2个单位长度（D ）向左平移 π4个单位长度（9）右图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是 （A ）求1＋3＋5＋…＋(2n －1) （B ）求1＋3＋5＋…＋(2n ＋1) （C ）求12＋22＋32＋…＋n 2（D ）求12＋22＋32＋…＋(n ＋1)2 （10）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（A ）5＋4 2 （B ）9（C ）6＋5 2 （D ）53（11）已知P 为抛物线y 2＝x 上异于原点O 的点，PQ ⊥x轴，垂足为Q ，过PQ 的中点作x 轴的平行线交抛物线于点M ，直线QM 交y 轴于点N ，则|PQ ||NO |＝（A ） 23 （B ）1（C ） 32（D ）2（12）已知函数f (x )＝x 2－2x cos x ，则下列关于f (x )的表述正确的是（A ）f (x )的图象关于y 轴对称 （B ）f (x )的最小值为－1 （C ）f (x )有4个零点 （D ）f (x )有无数个极值点俯视图二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． （13）已知a ＝(－1，1)，b ＝(1，－2)，则(a ＋2b )·a ＝_____．（14）设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y －3≤0，x －2y －1≤0，则z ＝2x ＋3y 的最小值是_____．（15）已知双曲线C ：x 21＋m －y 21－m ＝1（m ＞0），则C 的离心率的取值范围是______．（16）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝c 24，则ab ＋ba的最大值是_____．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)、(23)题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．（17）（12分）已知数列{a n }是以1为首项的等差数列，数列{b n }是以q （q ≠1）为公比的等比数列，且a 2＝b 1，a 3－a 1＝b 2－b 1，a 2b 2＝b 3． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）若S n ＝a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n －1b 2＋a n b 1，求S n ．（18）（12分）某水产品经销商销售某种鲜鱼，平均售价为每公斤20元，平均成本为每公斤15元．销售宗旨是当天进货当天销售．如果当天卖不出去，折价处理平均每公斤损失3元．该经销商根据以往每天该种鲜鱼的销售情况，按[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500]进行分组，得到如右图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算该种鲜鱼日需求量的平均数-x （同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （Ⅱ）该经销商某天购进了300公斤这种鲜鱼，假设当天的需求量为x 公斤（0≤x ≤500），利润为Y 元．求Y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润Y 不小于700元的概率．0.0010.0010.0020.0020.003（19）（12分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面A 1B 1C ⊥平面AA 1C 1C ，∠BAC ＝90°． （Ⅰ）证明：AC ⊥CA 1；（Ⅱ）若△A 1B 1C 是边长为2的等边三角形，求点B 1到平面ABC 的距离．（20）（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，上顶点为A ，长轴长为26．B为直线l ：x ＝－3上的动点，M (m ，0)（m ＜0），AM ⊥BM ．当AB ⊥l 时，M 与F 重合． （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）若C 为椭圆Γ上一点，满足AC ∥BM ，∠AMC ＝60°，求m 的值．（21）（12分）已知函数f (x )＝x e x ，g (x )＝e x －1－ 1 x －ln x －x ＋a ．（Ⅰ）求f (x )的最大值；（Ⅱ）若曲线y ＝g (x )与x 轴相切，求a 的值．（二）选考题：共10分．请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． （22）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 3：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α（t 为参数且t ≠0），C 3与圆C 1，C 2分别交于A ，B ，求S △ABC 2的最大值．（23）[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f (x )＝|x ＋1|－|x |的最大值为m ． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若正实数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值．AA 1B CC 1B 1唐山市2017—2018学年度高三年级第一次模拟考试文科数学参考答案一．选择题：A 卷：DACCD BDBCA CDB 卷： 二．填空题： （13）－4（14）－5 （15）(1，2) （16）22三．解答题： （17）解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，{b n }的首项为b 1，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1．依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝b 1，2d ＝b 1(q －1)，(1＋d )b 1q ＝b 1q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，b 1＝2，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n ．…6分（Ⅱ）S n ＝1×2n ＋2×2n －1＋…＋n ×21， ①所以2S n ＝1×2n ＋1＋2×2n ＋…＋n ×22， ②②－①可得，S n ＝2n ＋1＋(2n ＋2n －1＋…＋22)－n ×21＝2n ＋1－2n ＋4(2n －1－1)2－1＝2n ＋2－2n －4．…12分（18）解：（Ⅰ）-x ＝50×0.0010×100＋150×0.0020×100＋250×0.0030×100＋350×0.0025×100＋450×0.0015×100＝265． …4分（Ⅱ）当日需求量不低于300公斤时，利润Y ＝(20－15)×300＝1500元； 当日需求量不足300公斤时，利润Y ＝(20－15)x －(300－x )×3＝8x －900元；故Y ＝⎩⎨⎧8x －900，0≤x ＜300，1500，300≤x ≤500．…8分由Y ≥700得，200≤x ≤500， 所以P (Y ≥700)＝P (200≤x ≤500)＝0.0030×100＋0.0025×100＋0.0015×100 ＝0.7．…12分（19）解：（Ⅰ）过点B 1作A 1C 的垂线，垂足为O ，由平面A 1B 1C ⊥平面AA 1C 1C ，平面A 1B 1C ∩平面AA 1C 1C ＝AC ， 得B 1O ⊥平面AA 1C 1C ，又AC ⊂平面AA 1C 1C ，得B 1O ⊥AC ．由∠BAC ＝90°，AB ∥A 1B 1，得A 1B 1⊥AC ．又B 1O ∩A 1B 1＝B 1，得AC ⊥平面A 1B 1C ． 又CA 1⊂平面A 1B 1C ，得AC ⊥CA 1．…6分（Ⅱ）因为AB ∥A 1B 1，AB ⊂平面ABC ，A 1B 1⊄平面ABC ， 所以A 1B 1∥平面ABC ，所以B 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离，设其为d ， 由V A 1-ABC ＝V B -AA 1C 得，13×12×AC ×AB ×d ＝13×12×AC ×A 1C ×B 1O ， 所以d ＝B 1O ＝3．即点B 1到平面ABC 的距离为3． …12分 （20）解：（Ⅰ）依题意得A (0，b )，F (－c ，0)，当AB ⊥l 时，B (－3，b )，由AF ⊥BF 得k AF ·k BF ＝ b c · b－3＋c＝－1，又b 2＋c 2＝6.解得c ＝2，b ＝2．所以，椭圆Γ的方程为x 26＋y 22＝1． …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得A (0，2)，所以k AM ＝－2m ，又AM ⊥BM ，AC ∥BM ，所以k BM ＝k AC ＝m2，直线AC 的方程为y ＝m2x ＋2， …7分y ＝m 2x ＋2与x 26＋y 22＝1联立得(2＋3m 2)x 2＋12mx ＝0，所以x C ＝－12m 2＋3m 2，|AC |＝2＋m 22·－12m2＋3m 2（m ＜0），|AM |＝2＋m 2， …10分 在直角△AMC 中，由∠AMC ＝60°得，|AC |＝3|AM |，整理得(3m ＋2)2＝0，解得m ＝－63． …12分AA 1BCB 1OC 1（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝1－xex ，当x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ＞1时，f '(x )＜0，f (x )单调递减，故x ＝1时，f (x )取得最大值f (1)＝ 1e．…4分（Ⅱ）因为g '(x )＝e x －1＋1x 2－ 1 x－1，设切点为(t ，0)，则g '(t )＝0，且g (t )＝0，即e t －1＋1t 2－ 1 t －1＝0，e t －1－ 1 t－ln t －t ＋a ＝0，所以a ＝ 1 t＋ln t ＋t －e t －1．…7分令h (x )＝e x －1＋1x 2－ 1 x－1，由（Ⅰ）得f (x )≤ 1 e ，所以x e x ≤ 1 e，即e x －1≥x ，等号当且仅当x ＝1时成立，所以h (x )≥x ＋1x 2－ 1x －1＝(x －1)2(x ＋1)x 2≥0，等号当且仅当x ＝1时成立，所以当且仅当x ＝1时，h (x )＝0，所以t ＝1．…11分 故a ＝1． …12分（22）解：（Ⅰ）由x ＝ρcos α，y ＝ρsin α可得，C 1：ρ2cos 2α＋ρ2sin 2α－2ρcos α＋1＝1，所以ρ＝2cos α； C 2：ρ2cos 2α＋ρ2sin 2α－6ρcos α＋9＝9，所以ρ＝6cos α．…4分（Ⅱ）依题意得|AB |＝6cos α－2cos α＝4cos α，－π2＜α＜π2，C 2(3，0)到直线AB 的距离d ＝3|sin α|，所以S △ABC 2＝12×d ×|AB |＝3|sin 2α|，故当α＝±π4时，S △ABC 2取得最大值3．…10分（23）解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1，x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )取得最大值1．所以m ＝1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1， a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝ 13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1]≥13[a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1]＝ 13(a ＋b )2 ＝ 13． 当且仅当a ＝b ＝ 12时取等号．即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13．…10分。