投针实验计算圆周率的数学分析
王向东
投针实验计算圆周率的数学证明方法，初中一般是采取假设针弯成直径等于平行线距离的方法巧妙证明。

这个方法是基于不管针弯成什么形状，针上的每一个部位与平行线相交的概率相同，但这是感观上的认识，要把其中原因解释清楚不是很容易。

笔者从纯数学的角度来推导这个公式。

一、投针问题的由来
1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。

这一方法的步骤是：
1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d 的平行线。

2) 取一根长度为()l l d <的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n 次，观察针与直线相交的次数，记为m
3）计算针与直线相交的概率．
18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为d 的平行线，将一根长度为()l l d <的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。

”布丰本人证明了，这个概率是：
2l p d
π=，π为圆周率。

二、投针实验的数学证明
投针这个动作是由两个事件构成的。

事件1：针投下后与平行线构成一定的夹角。

我们来分析一下针投下后与平行线之间的成某一特定夹角时的概率。

设针投下后与平行线之间的夹角为θ，则θ在0与π之间。

针与平行线之间的夹角在θ到θ+θ∆之间的概率为1p θ
π∆=，当0θ∆→时，可看作针投下后与平行线之
间成某一特定夹角为θ的概率。

事件2：针投下后会在平行线垂直的方向形成一个投影，针与平行线相交等于它的垂直投影与平行线相交。

这个投影的长度'l 在0到l 之间。

此时针在水平方向的投影为'sin()l l θ=。

再分析'l 与平行线相交的概率。

等于我们将问题转化成长度为'l 的针，并且只允许它处在与平行线垂直的方向上，这时它与平行线相交的概率显然为：
2'sin()l l p d d
θ== 因为每一次投掷都是由上述两个事件组成的，因而对于针与平行线之间的夹角在θ到θ+θ∆之间时，针与平行线相交的概率()p θ为这两个事件概率的乘积，即：
12sin()().l p p p d θθθπ
∆== 因为针与平行线之间构成的夹角在0－π之间每个角度的机会都是均等的，因此针与平行线相交的概率相当于针落在每个θ附近θ∆范围内，当0θ∆→时与平行线相交的所有概率之和。

这个概率可用下列定积分表示，并可求出这个定积分的值为：
0sin()l p d π
θπ=⎰ d θ=2l d
π d 这是一个有趣的结论，当实验用针的长度2d l =时，针于平行线相交的概率就是1π。

笔者还用计算机模拟了这个实验，证实经过4万次投掷，算出的π值误差小于万分之二。

参考文献：
[1] 蒲丰投针问题 /view/1037888.htm
[2] 投针实验 /view/4154b0eb81c758f5f61f6786.html。