2012年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分）1．（5分）（2012•湖南）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{1}D．{0}【分析】集合M与集合N的公共元素，构成集合M∩N，由此利用集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}={0，1}，能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}={0，1}，∴M∩N={0，1}，故选：B．2．（5分）（2012•湖南）复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】由z=i（i+1）=i2+i=﹣1+i，能求出复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数．【解答】解：∵z=i（i+1）=i2+i=﹣1+i，∴复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是﹣1﹣i．故选：A．3．（5分）（2012•湖南）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=【分析】原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选：C．4．（5分）（2012•湖南）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．【分析】由图可知，此几何体为组合体，对照选项分别判断组合体的结构，能吻合的排除，不吻合的为正确选项【解答】解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；若俯视图为C，则正视图中应有虚线，故该几何体的俯视图不可能是C若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为D；故选：C．5．（5分）（2012•湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选：D．6．（5分）（2012•湖南）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．7．（5分）（2012•湖南）设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①＞；②a c＜b c；③log b（a﹣c）＞log a（b﹣c）．其中所有的正确结论的序（）A．①B．①②C．②③D．①②③【分析】利用作差比较法可判定①的真假，利用幂函数y=x c的性质可判定②的真假，利用对数函数的性质可知③的真假．【解答】解：①﹣=，∵a＞b＞1，c＜0∴﹣=＞0，故＞正确；②考查幂函数y=x c，∵c＜0∴y=x c在（0，+∞）上是减函数，而a＞b＞0，则a c＜b c正确；③当a＞b＞1时，有log b（a﹣c）＞log b（b﹣c）＞log a（b﹣c）；正确．故选：D．8．（5分）（2012•湖南）在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°则BC边上的高等于（）A．B．C．D．【分析】在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB可求AB=3，作AD⊥BC，则在Rt△ABD中，AD=AB×sinB【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB把已知AC=，BC=2 B=60°代入可得，7=AB2+4﹣4AB×整理可得，AB2﹣2AB﹣3=0∴AB=3作AD⊥BC垂足为DRt△ABD中，AD=AB×sin60°=，即BC边上的高为故选：B．9．（5分）（2012•湖南）设定义在R上的函数f（x）是最小正周期2π的偶函数，f′（x）是函数f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π），且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，则函数y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为（）A．2B．4C．5D．8【分析】根据x∈（0，π），且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，确定函数的单调性，利用函数的图形，即可得到结论．【解答】解：∵x∈（0，π），且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，∴x∈（0，），函数单调减，x∈（，π），函数单调增，∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx 和y=f（x）草图象如下，由图知y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为4个．故选：B．二、填空题（共7小题，满分30分）（10-11为选做题，两题任选一题，12-16为必做题）10．（5分）（2012•湖南）在极坐标系中，曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a=．【分析】根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2将极坐标方程化成普通方程，利用交点在极轴上进行建立等式关系，从而求出a的值．【解答】解：∵曲线C1的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，∴曲线C1的普通方程是x+y﹣1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρ=a（a＞0）∴曲线C2的普通方程是x2+y2=a2∵曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上∴令y=0则x=，点（，0）在圆x2+y2=a2上解得a=故答案为：11．（2012•湖南）某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃～63℃．精确度要求±1℃．用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为7．【分析】由题知试验范围为[29，63]，可得区间长度为34，将其等分34段，共有33个分点，由分数法的最优性定理可得结论．【解答】解：由已知试验范围为[29，63]，可得区间长度为34，将其等分34段，共有33个分点由分数法的最优性定理可知F8=33，即通过7次试验可从这33个分点中找出最佳点．故答案为：7．12．（5分）（2012•湖南）不等式x2﹣5x+6≤0的解集为{x|2≤x≤3} ．【分析】把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘的取符法则：同得正，异得负，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．【解答】解：不等式x2﹣5x+6≤0，因式分解得：（x﹣2）（x﹣3）≤0，可化为：或，解得：2≤x≤3，则原不等式的解集为{x|2≤x≤3}．故答案为：{x|2≤x≤3}．13．（5分）（2012•湖南）如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 6.8．（注：方差+…+，其中为x1，x2，…，x n 的平均数）【分析】根据茎叶图所给的数据，做出这组数据的平均数，把所给的数据和平均数代入求方差的个数，求出五个数据与平均数的差的平方的平均数就是这组数据的方差．【解答】解：∵根据茎叶图可知这组数据的平均数是=11∴这组数据的方差是[（8﹣11）2+（9﹣11）2+（10﹣11）2+（13﹣11）2+（15﹣11）2]=[9+4+1+4+16]=6.8故答案为：6.8．14．（5分）（2012•湖南）如果执行如图所示的程序框图，输入x=4.5，则输出的数i=4．【分析】计算循环中x，与i的值，当x＜1时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：循环前x=3.5，不满足判断框条件，第1次循环，i=2，x=2.5，第2次判断后循环，i=3，x=1.5，第3次判断并循环i=4，x=0.5，满足判断框的条件退出循环，输出i=4．故答案为：4．15．（5分）（2012•湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=18．【分析】设AC与BD交于O，则AC=2AO，在RtAPO中，由三角函数可得AO与AP的关系，代入向量的数量积=||||cos∠PAO可求【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC=2AO∵AP⊥BD，AP=3，在Rt△APO中，AOcos∠OAP=AP=3∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6，由向量的数量积的定义可知，=||||cos∠PAO=3×6=18故答案为：1816．（5分）（2012•湖南）对于n∈N*，将n表示为n=+…+，当i=k时，a i=1，当0≤i≤k﹣1时，a i为0或1．定义b n如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，a k中等于1的个数为奇数时，b n=1；否则b n=0．（1）b2+b4+b6+b8=3；（2）记c m为数列{b n}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则c m的最大值是2．【分析】（1）由题设定义可知，2=1×2，4=1×22，6=1×22+1×2，8=1×23，从而b2=1，b4=1，b6=0，b8=1，故可求b2+b4+b6+b8的值；（2）设{b n}中第m个为0的项为b i，即b i=0，构造二进制数（i）10=（a k a k﹣1…a1a0），则a k a k﹣1…a1a0中1的个数为偶数，再进行分类讨论：当a2a1a0=000时，c m=2；2当a2a1a0=001时，c m=0；当a2a1a0=010时，c m=1；当a2a1a0=011时，c m=0；当a2a1a0=100时，c m=2；当a2a1a0=101时，c m=0；当a0=0，前面有奇数个1时，c m=1；当a0=0，前面有偶数个1时，c m=2；当末位有奇数个1时，c m=1；当末位有偶数个1时，c m=0，由此可得c m的最大值．【解答】解：（1）由题设定义可知，2=1×2，4=1×22，6=1×22+1×2，8=1×23，∴b2=1，b4=1，b6=0，b8=1∴b2+b4+b6+b8=3（2）设{b n}中第m个为0的项为b i，即b i=0，构造二进制数（i）10=（a k a k﹣1…a1a0），则a k a k﹣1…a1a0中1的个数为偶数，当a2a1a0=000时，b i+1=1，b i+2=1，b i+3=0，2c m=2；当a2a1a0=001时，b i+1=0，c m=0；当a2a1a0=010时，b i+1=1，b i+2=0，c m=1；当a2a1a0=011 =0，c m=0；当a2a1a0=100时，b i+1=1，b i+2=1，b i+3=0，c m=2；当a2a1a0=101时，b i+1=0，c m=0；当a0=0，前面有奇数个1时，b i+1=1，b i+2=0，c m=1；当a0=0，时，b i+1=1，b i+2=1，b i+3=0，c m=2；当末位有奇数个1时，b i+1=1，前面有偶数个1时，b i+1b i+2=0，c m=1；当末位有偶数个1时，b i+1=1，b i+2=0，c m=0；故c m的最大值为2．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）（2012•湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）【分析】（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可确定，y的值，进而可求顾客一次购物的结算时间的平均值；（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟；A1：该顾客一次购物的结算时间为1分钟；A2：该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟；A3：该顾客一次购物的结算时间为2分钟；将频率视为概率求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；顾客一次购物的结算时间的平均值为=1.9（分钟）；（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟；A1：该顾客一次购物的结算时间为1分钟；A2：该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟；A3：该顾客一次购物的结算时间为2分钟；将频率视为概率可得P（A1）；P（A2）=；P（A3）=∴P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=0.15+0.3+0.25=0.7∴一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为0.7．18．（12分）（2012•湖南）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间．（I）先利用函数图象求此函数的周期，从而计算得ω的值，再将点（，0）【分析】和（0，1）代入解析式，分别解得φ和A的值，最后写出函数解析式即可；（II）先利用三角变换公式将函数g（x）的解析式化为y=Asin（ωx+φ）型函数，再将内层函数看做整体，置于外层函数即正弦函数的单调增区间上，即可解得函数g（x）的单调增区间【解答】解：（I）由图象可知，周期T=2（﹣）=π，∴ω==2∵点（，0）在函数图象上，∴Asin（2×+φ）=0∴sin（+φ）=0，∴+φ=π+kπ，即φ=kπ+，k∈z∵0＜φ＜∴φ=∵点（0，1）在函数图象上，∴Asin=1，A=2∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）（II）g（x）=2sin[2（x﹣）+]﹣2sin[2（x+）+]=2sin2x﹣2sin（2x+）=2sin2x﹣2（sin2x+cos2x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈z得kπ﹣≤x≤kπ+∴函数g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]k∈z 19．（12分）（2012•湖南）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．（Ⅰ）证明：BD⊥PC；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD 的体积．【分析】（1）由PA⊥平面ABCD，AC⊥BD可证得BD⊥平面PAC，从而证得BD ⊥PC；（2）设AC∩BD=O，连接PO，由BD⊥平面PAC可得∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，于是∠DPO=30°，从而有PD=2OD，于是可证得△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而可求得梯形ABCD的高，继而可求S ABCD，V P．﹣ABCD【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD；又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，∴BD⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC；（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接PO，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，∴∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，∴∠DPO=30°，由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC知，BD⊥PO．在Rt△POD中，由∠DPO=30°得PD=2OD．∵四边形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，∴△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为AD+BC=×（4+2）=3，于是S ABCD=×（4+2）×3=9．在等腰三角形AOD中，OD=AD=2，∴PD=2OD=4，PA==4，=S ABCD×PA=×9×4=12．∴V P﹣ABCD20．（13分）（2012•湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n万元．（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出a n与a n的关系式；+1（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）．【分析】（Ⅰ）由题意可求得a1=2000（1+50%）﹣d，a2=a1（1+50%）﹣d=，…从而归纳出a n=a n﹣d．+1（Ⅱ）由（Ⅰ）得a n=a n﹣1﹣d=（a n﹣2﹣d）﹣d=…=a1﹣d[1+++…+]，利用等比数列的求和公式可求得a n=（3000﹣3d）+2d，再结合题意a m=4000，即可确定企业每年上缴资金d的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：a1=2000（1+50%）﹣d=3000﹣d，a2=a1（1+50%）﹣d=a1﹣d=4500﹣d，…a n+1=a n（1+50%）﹣d=a n﹣d．（Ⅱ）由（Ⅰ）得a n=a n﹣1﹣d=（a n﹣2﹣d）﹣d=a n﹣2﹣d﹣d=…=a1﹣d[1+++…+]整理得：a n=（3000﹣d）﹣2d[﹣1]=（3000﹣3d）+2d．由题意，a m=4000，即（3000﹣3d）+2d=4000．解得d==，故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4000万元．21．（13分）（2012•湖南）在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2﹣4x+2=0的圆心．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2．当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．【分析】（Ⅰ）确定x2+y2﹣4x+2=0的圆心C（2，0），设椭圆E的方程为：＞＞，其焦距为2c，则c=2，利用离心率为，即可求得椭圆E的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1k2=，由l1与圆C：x2+y2﹣4x+2=0相切，可得，同理可得，从而k1，k2是方程的两个实根，进而，利用，即可求得点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2﹣4x+2=0得（x﹣2）2+y2=2，∴圆心C（2，0）设椭圆E的方程为：＞＞，其焦距为2c，则c=2，∵，∴a=4，∴b2=a2﹣c2=12∴椭圆E的方程为：（Ⅱ）设P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1：y﹣y0=k1（x﹣x0）l2：y﹣y0=k2（x﹣x0），且k1k2=由l1与圆C：x2+y2﹣4x+2=0相切得∴同理可得从而k1，k2是方程的两个实根所以①，且＞∵，∴，∴x0=﹣2或由x0=﹣2得y0=±3；由得满足①故点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣2，﹣3），或（，）或（，）22．（13分）（2012•湖南）已知函数f（x）=e x﹣ax，其中a＞0．（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，证明：存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=K恒成立．【分析】（1）根据题意，对f（x）求导可得f′（x）=0，令f′（x）=0，解可得x=lna，分x＜lna与x＞lna两种情况讨论可得f（x）取最小值为f（lna）=a﹣alna，令g（t）=t﹣tlnt，对其求导可得g′（t）=﹣lnt，分析可得当t=1时，g（t）取得最大值1，因此当且仅当a=1时，a﹣alna≥1成立，即可得答案；（2）根据题意，由直线的斜率公式可得k=﹣a，令φ（x）=f′（x）﹣k=e x ﹣，可以求出φ（x1）与φ（x2）的值，令F（t）=e t﹣t﹣1，求导可得F′（t）=e t﹣1，分t＞0与t＜0讨论可得F（t）的最小值为F（0）=0，则当t≠0时，F（t）＞F （0）=0，即e t﹣t﹣1＞0，进而讨论可得φ（x1）＜0、φ（x2）＞0，结合函数的连续性分析可得答案．【解答】解：（1）f′（x）=e x﹣a，令f′（x）=0，解可得x=lna；当x＜lna，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞lna，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故当x=lna时，f（x）取最小值，f（lna）=a﹣alna，对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，当且仅当a﹣alna≥1，①令g（t）=t﹣tlnt，则g′（t）=﹣lnt，当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，故当t=1时，g（t）取得最大值，且g（1）=1，因此当且仅当a=1时，①式成立，综上所述，a的取值的集合为{1}．（2）根据题意，k==﹣a，令φ（x）=f′（x）﹣k=e x﹣，则φ（x1）=﹣[﹣（x2﹣x1）﹣1]，φ（x2）=[﹣（x1﹣x2）﹣1]，令F（t）=e t﹣t﹣1，则F′（t）=e t﹣1，当t＜0时，F′（t）＜0，F（t）单调递减；当t＞0时，F′（t）＞0，F（t）单调递增，则F（t）的最小值为F（0）=0，故当t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即e t﹣t﹣1＞0，从而﹣（x2﹣x1）﹣1＞0，且＞0，则φ（x1）＜0，﹣（x1﹣x2）﹣1＞0，＞0，则φ（x2）＞0，因为函数y=φ（x）在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x0∈（x1，x2），使φ（x0）=0，即f′（x0）=K成立．。