广东省龙川县第一中学2020届高三第一次月考考试数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是（ ）A ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%2．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．3π- B ．33πC ．33πD ．3π-3．已知函数()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()f x 单调递减，若(2)(1)f a f a >-，则a 的取值范围是（ ）A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ 4．已知{}n a 是公差为12的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.若2a ，6a ，14a 成等比数列，则5S =（ ）A ．352 B ．35 C ．252 D ．255．在正三棱柱111ABC A B C -2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o6．已知直线512x π=和点(,0)6π恰好是函数()2sin()f x x ωϕ=+的图象的相邻的对称轴和对称中心，则()f x 的表达式可以是 A ．()2sin(2)6f x x π=-B ．()2sin(2)3f x x π=-C ．()2sin(4)3f x x π=+ D ．()2sin(4)6f x x π=+ 7．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在区间2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2sin 2y x=的图象8．若平面区域30,{230,230x y x y x y +-≥--≤-+≥夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）A ．35B ．2C ．322D ．59．复数52i -的共轭复数是（ ） A ．2i +B ．2i -+C ．2i --D ．2i -10．如图，点为单位圆上一点，，点沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数()()243,111,12x x x f x x x ⎧++≤-⎪=⎨+>-⎪⎩，若关于x 的不等式()()2f x m x <+恰有2个整数解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．81,00,34⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦UB ．81,00,33⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦UC ．31,00,24⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U D ．31,00,23⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U 12．在ABC ∆中，22,120AB AC BAC ==∠=︒，点D 为BC 边上一点，且2BD DC =u u u r u u u r ，则AB AD ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．3B ．2C ．73D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系上，有一点列()121,,...,,,...Nn n P P P P n *-∈，设点nP 的坐标(),nn a ，其中2(N )n a n n *=∈，过点1,n n P P +的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为n b ，设n S 表示数列{}n b 的前n 项和，则5S =__________．14．若函数()2sin()(0,0)f x x ωϕϕϕπ=+><<的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为2π.则()4f π的值为______．15．已知在三棱锥A BCD -中,6AB AD ==23BD =底面BCD 为等边三角形,且平面ABD ⊥平面BCD ,则三棱锥A BCD -外接球的体积为__________________．16．已知二面角l αβ--的大小为3π，点P α∈，点P 在β 内的正投影为点A ，过点A 作AB l ⊥，垂足为点B ，点,22C l BC ∈=23PA =D β∈，且四边形ABCD 满足BCD DAB π∠+∠=.若四面体PACD 的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为__________． 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3(cos )sin a C b a C -=.求角A ；若27a =，4b =，求c 及ABC ∆的面积.18．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，BCD V 为等边三角形，,120AD AB SD SB BAD ︒===∠=若点,M N 分别是线段,SC CD 的中点，求证：平面//BMN 平面SAD ；若二面角S BD C --为直二面角，求直线AC 与平面SCD 所成角的正弦值. 19．（12分） [选修4-5：不等式选讲] 已知，，，且.证明：；.20．（12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,2cos cos cos b A a C c A ⋅=⋅+⋅求角A 的大小； 若ABC ∆的周长为8，外接圆半径为3，求ABC ∆的面积. 21．（12分）已知单调等比数列{}n a ，首项为12，其前n 项和是n S ，且3312a S +，5S ，44a S +成等差数列，数列{}nb 满足条件1231(2)nb n a a a a =L 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；设1n nnc a b =-，记数列{}n c 的前n 项和是nT.①求n T ；②求正整数k ，使得对任意*n N ∈，均有k nT T ≥.22．（10分）已知为坐标原点，点，，，动点满足，点为线段的中点，抛物线：上点的纵坐标为，.求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程；若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B2．C 3．C 4．C 5．A 6．B 7．D 8．B 9．B 10．D 11．C12．D 一、单选题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．12561415．323π16．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）23A π=（Ⅱ）2c =，ABC S ∆=【解析】 【分析】（Ⅰ）根据正弦定理将所给条件变形、并结合三内角的关系可得sin sin sin A C A C =，于是得到tan A =23A π=．（Ⅱ）由余弦定理求出2c =，进而可得三角形的面积． 【详解】)sin cos sin sin sin A C B A C -=． ∵A B C π++=， ∴()B A C π=-+，()sin cos sin sin sin A C A C A C ⎤-+=⎦，即sin sin sin A C A C =， 又sin 0C >，∴tan A = ∵0A π<<，∴23A π=． （Ⅱ）由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即2221424()2c c =-+⨯⨯-，整理得24120c c -=+， 解得2c =或6c =-（舍去）.∴1242sin 23ABC S π∆=⨯⨯= 【点睛】根据正余弦定理求三角形的内角时，在求出内角的三角函数值后容易忽视角的范围，从而造成失分．另外，三角形的面积常与解三角形结合在一起考查，在应用余弦定理时要注意整体思路的运用，以简化解题的过程．18．（1）见解析；（2 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一和已知的角度和边长关系可证得90BND ADC ︒∠=∠=，从而可知//BN AD ；在利用三角形中位线可证得//MN SD ；根据线面平行判定定理和面面平行判定定理可证得结论；（2）设AC 交BD 于点O ，利用面面垂直的性质定理可证得SO ⊥平面ABCD ，从而可建立起空间直角坐标系；利用线面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）BCD ∆Q 为等边三角形，且N 是线段CD 的中点 90BND ︒∴∠=AD AB =Q ，120BAD ︒∠= 30ADB ABD ︒∴∠=∠= 90ADC ︒∴∠=//BN AD ∴BN ⊄Q 平面SAD ，AD ⊂平面SAD //BN ∴平面SADQ 点,M N 分别是线段,SC CD 的中点 //MN SD ∴MN ⊄Q 平面SAD ，SD ⊂平面SAD //MN ∴平面SAD MN BN N =Q I ∴平面//BMN 平面SAD（2）设AC 交BD 于点O ，连接SO由对称性知，O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，SO BD ⊥Q 二面角S BD C --为直二面角 SO ∴⊥平面ABCD不妨设2AB =，则1SO AO ==，BO DO ==3CO =以O 为坐标原点，,,OC OB OS 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系则()0,0,1S ，()1,0,0A -，()3,0,0C ，()0,3,0D -()3,3,0DC ∴=u u u v ，()0,3,1DS =u u u v ，()4,0,0AC =u u u v设平面SCD 的法向量为(),,n x y z =v则00n DC n DS ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即：33030x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令3y =，得1x =-，3=-z ()1,3,3n ∴=--r13cos ,413AC n AC n nAC ⋅∴<>===⨯u u u r r u u u u u u r r r r∴直线AC 与平面SCD 所成角的正弦值为13 【点睛】本题考查面面平行关系的证明、空间向量法求解直线与平面所成角的问题，关键是能够利用面面垂直的性质证得线面垂直，从而成功建立起空间直角坐标系，从而可利用空间向量法来求解线面角. 19． (1)见解析.(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）根据分析法，结合不等式关系中的，，，即可证明不等式成立；或用柯西不等式，直接证明不等式成立。