材大二：应力与应变分析题目材大2-1结构内某点的空间应力状态如图1所示，试计算该点主应力及最大切应力，并按第四强度理论求出该点的相当应力。

图1大2-1 图2大2-2材大2-2单元体应力状态如图2所示，图中应力单位为MPa。

求该点的三个主应力和最大切应力。

材大2-3某单元体如图所示，试利用应力圆的几何关系求：(1) 指定截面上的应力；(2) 主应力的数值。

图2大2-2 图12-41习12-1 材大2-4(习12-1)求如图12-41所示单元体的主应力，并在单元体上标出其作用面的位置。

图12-42习12-2、两点的应力状态如图12-42所示，试求各点的主应力和最大剪材大2-5(习12-2)A B应力。

材大2-6(习12-3)已知应力状态如图12-43所示，试求主应力及其方向角，并确定最大剪应力值。

图12-43习12-3 图12-44习12-4材大2-7(习12-4)如图12-44所示单元体，求： （1）指定斜截面上的应力；（2）主应力大小及方向，并将平面标在单元体图上。

材大2-8(习12-5)如图12-45所示结构中，11kN F =，20.5kN F =，e 1kN m M =⋅，50mm d =，求A 点的主应力。

图12-45习12-5 图12-46习12-6材大2-9(习12-6)某点的应力状态如图12-46所示，求该点的主应力及最大剪应力。

材大2-10(习12-7)如图12-47所示，已知单元体的泊松比0.25μ=，=200GPa E 。

试求：（1）主应力； （2）最大剪应力；（3）1σ方向的应变max ε。

图12-47习12-7 图12-49习12-9材大2-11(习12-9)某点应力状态如图12-49所示。

试求该点的主应力及最大剪应力，并画出三向应力圆。

材大2-12(习12-10)直径为d 的实心圆轴，受e M 作用如图12-50所示。

测得轴表面A 点与轴线成-45方向的线应变ε，试导出用e M d ε、、表示的剪切弹性模量G 的表达式。

图12-50习12-10 图12-51习12-11材大2-13 (习12-11)如图12-51所示，直径D 的圆轴，两端受扭转力偶e M 的作用。

今测得与轴线成45方向的线应变45ε。

已知材料的弹性模量为E ，泊松比μ，求e M 的表达式。

图12-52习12-12 图12-54习12-14材大2-14 (习12-12)如图12-52所示，已知材料的弹性模量=200GPa E ，泊松比0.25μ=，求单元体的三个主应变值。

材大2-15 (习12-14)如图12-54所示单元体，求： （1）指定斜截面上的应力；（2）主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体图上。

材大2-16 (习12-15)如图12-55所示单元体，已知=100MPa x σ，=40MPa y σ，该点的最大主应力1=120MPa σ，求该点的xy τ、另外两个主应力23σσ、及最大剪应力。

图12-55习12-15 图12-57习12-17材 大2-17 (习12-17)如图12-57所示，一体积为3101010mm ⨯⨯的立方铝块，将其放入宽为10mm 的刚性槽中。

已知铝块的泊松比0.33μ=，弹性模量=70GPa E ，求在=6kN F 的作用下铝块中的三个主应力。

材大2-18 (习13-1)试对铸铁零件进行强度校核。

已知许用应力t []=30MPa σ，c []=75MPa σ，危险点的主应力为：1=30MPa σ，2=20MPa σ，3=15MPa σ，=0.25μ。

材大2-19 (习13-2)火车行驶时车轮与钢轨接触点的三个主应力分别为1=650M P a σ-，2=700MPa σ-，3=900MPa σ-，[]=250MPa σ。

试分别用第三和第四强度理论校核其强度。

材大2-20 (习13-3)某构件危险点应力状态如图13-11所示，[]=160MPa σ。

试校核其强度（用第三强度理论）。

图13-11习13-3 图13-12习13-4材大2-21(习13-4)如图13-12所示单元体，[]=160MPa σ，按第四强度理论校核其强度。

材大2-22 (习13-5)如图13-13a 、b 表示同一材料的两个单元体，其屈服极限s =275MPa σ。

根据第三强度理论求两单元体同时达屈服极限时拉应力σ与剪应力τ的值（设στ>）。

(a) (b)图13-13习13-5 图13-14习13-6材大2-23 (习13-6)危险点应力状态如图13-14所示，材料为铸铁，t[]=30MPaσ。

用第一强度理论校核强度。

材大2-24图示平面应力单元体，（1）求该平面内的两个主应力；（2）注意到在垂直于纸面方向的主应力为零，求最大切应力；（3）求第四强度理论的相当应力。

图1大2-24 图2大2-25材大2-25求图示应力单元体的主应力、最大切应力及第三强度理论的相当应力。

答案材大2-1 解：(a) 20MPazσ=，30MPaxσ=，20MPayσ=-，20MPaxyτ=。

maxmin37MPa27MPa2x yσσσσ+⎫⎧=±=⎬⎨-⎩⎭得主应力：137MPaσ=，220MPaσ=，327MPaσ=-(b)6613max3710271032MPa22σστ-⨯+⨯===，(c)第四强度理论的相当应力：r4σ=61057.42M==。

材大2-2 解：40MPazσ=，60MPaxσ=，30MPayσ=，20MPaxyτ=-。

2x yσσσσ'+⎫=±⎬''⎭70MPa603020MPa2⎧+==⎨-⎩∴170MPaσ=，240MPaσ=，320MPa σ=-13max 70204522σστ-+===MPa材大2-3 解：由图可得如下摩尔应力圆。

圆心C （-10,0），半径为30MPa 。

(1)E 点的坐标对应指定截面上的应力：()()M P a CE 2560cos 301060cos OC 00600-=+-=+-=σ 00060sin6030sin6026MPa CE τ=⋅== (2)应力圆上D 1点和D 2点分别对应σ1和σ3，所以有主应力：12320MPa,0,40MPa σσσ===-材大2-41115.4MPa σ=，20σ=，355.44MPa σ=-，034.72α=-。

材大2-5A 点：1100M P a σ=，20σ=，30σ=，max 50MPa τ=。

B 点：10MPa σ=４，20σ=，30MPa σ=-４，max 40MPa τ=。

材大2-61102.6MPa σ=，20σ=，352.62MPa σ=-，max 77.6MPa τ=， 07.5α=-。

材大2-7 (1) 60159.8MPa σ=； (2)1360.6MPaσ=，20σ=，3360.6MPa σ=-，028.2α=。

材大2-8 198.0MPa σ=，20σ=，316.7MPa σ=-。

材大2-9152.2MPa σ=，210MPa σ=，342.2MPa σ=-，max 47.2MPa τ=。

材大2-10(1) 150MPa σ=，25MPa σ=，35MPa σ=-；(2) max 27.5MPa τ=；(3) 4max 2.510ε-=⨯。

材大2-11177.7MPaσ=，27.7MPa σ=，330MPa σ=，max 53.9MPa τ=。

材大2-12e 38M G d πε=。

材大2-13345e 16(1)D E M πεμ-=+。

材大2-14 41 3.7510ε-=⨯，20ε=，43 3.7510ε-=-⨯。

材大2-15 (1) 3076.6MPa σ=，607.32MPa τ=-；(2)181.98MPaσ=，20σ=，3122.0MPa σ=-，039.34α=。

材大2-16140MPa xy τ=，220MPa σ=，310MPa σ=，max 55MPa τ=。

材大2-1710σ=，219.8MPa σ=-，360MPa σ=-。

材大2-18r130MPa []σσ==，r221.25MPa []σσ=<，安全。

材大2-19r3250MPa []σσ==，r4229MPa []σσ=<，安全。

材大2-20r3100MPa []σσ=<，安全。

材大2-21r4143MPa []σσ=<，安全。

材大2-22165MPa σ=，110MPaτ=。

材大2-23r122.5MPa []σσ=<，安全。

材大2-24 解：(a) 30MPa x σ=，20MPa y σ=-，20MPa xy τ=。

max min 2x y σσσσ+⎫=±⎬⎭66301020102⨯-⨯==得主应力：137.02MPa σ=，20σ=，327.02MPa σ=- (b)6613max 37.021027.021032.02MPa22σστ-⨯+⨯===，(c) 第四强度理论的相当应力：r4σ=61055.69MPa==。

材大2-25 解：(a) 80MPa x σ=，60MPa y σ=-，50MPa xy τ=。

66max801060102σ⨯-⨯=96.02MPa =，66max801060102σ⨯-⨯=76.02MPa =-。

196.02MPa σ=，20σ=，376.02MPa σ=-(b) 13max 86.06MPa 2σστ-==， (c) 第三强度理论的相当应力：66r31396.021076.0210172.0MPaσσσ=-=⨯+⨯=。

主体公式1. 平面最大与最小正应力[][]max 2min 22x y σσσσ⎫+⎪=⎬⎪⎭(12-16) 2. 单元体主应力123σσσ≥≥最大正应力：1max σσ=，3min σσ=(12-31) 最大切应力：231max σστ-= (12-33)3. 强度理论最大拉应力理论：][1r1σσσ≤= (13-11) 最大拉应变理论：][)(321r2σσσμσσ≤+-= (13-15) 最大切应力理论：][31r3σσσσ≤-= (13-18)最大畸变能理论[][]σσσσσσσσ≤-+-+-=213232221r4)()()(21(13-25)4. 斜截面上应力cos 2sin 222x yx yxy ασσσσσατα+-=++ (12-8)sin 2cos 22x yxy ασστατα-=- (12-9)注意xy τ与,x y 方向一致为正！！！0xy ττ︒=-，90xy ττ︒=。

5. 单元体主方向角p 2tan 2xyx yτασσ=- (12-12)注意xy τ与,x y 方向一致为正！！！ 6.广义的郑玄-胡克定律()[]()[]()[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-=213313223211111σσμσεσσμσεσσμσεE E E (12-84) 扩展公式7．切应力互等定理yx xy ττ=，zy yz ττ=，xz zx ττ= (12-3)8.单元体应力矩阵x xy xz ij yxy yz zx zy z σττστστττσ⎛⎫ ⎪⎡⎤= ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭(12-4) 9. 平面最大与最小切应力max[2]min[2]ττ⎫=⎬⎭两个特殊单元体与应力圆．．．．．．．．．．．之一：单向拉伸单元体：1=σσ，2=0σ，3=0σ。