相遇追及问题一、考点、热点回顾一、追及问题1.速度小者追速度大者类型图象说明匀加速追匀速①t=t0以前，后面物体与前面物体间距离增大②t＝ｔ0时，两物体相距最远为x0+Δx③t=t0以后，后面物体与前面物体间距离减小匀速追匀减速④能追及且只能相遇一次匀加速追匀减速2.速度大者追速度小者度大者追速度小者匀减速追匀速开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻:①若Δx＝x0,则恰能追及,两物体只能相遇一次,这也是避免相撞的临界条件匀速追匀加速②若Δｘ<x０,则不能追及，此时两物体最小距离为x0-Δx③若Δx＞x0,则相遇两次,设t1时刻Δx1=x0,两物体第一次相遇，则ｔ２时刻两物体第二次相遇匀减速追匀加速①表中的Δx是开始追及以后,后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移;②x0是开始追及以前两物体之间的距离；③t2-t0=t0-ｔ1;④v1是前面物体的速度,v2是后面物体的速度.二、相遇问题这一类:同向运动的两物体的相遇问题，即追及问题.第二类:相向运动的物体，当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇.解此类问题首先应注意先画示意图,标明数值及物理量;然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时,还要注意该物体是否停止运动了.求解追及问题的分析思路(１)根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质,列出两个物体的位移方程,并注意两物体运动时间之间的关系.（２)通过对运动过程的分析,画出简单的图示，找出两物体的运动位移间的关系式．追及的主要条件是两个物体在追上时位置坐标相同.（3)寻找问题中隐含的临界条件．例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者,在两物体速度相等时有最小距离，等等．利用这些临界条件常能简化解题过程．(4)求解此类问题的方法，除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外,还有利用二次函数求极值，及应用图象法和相对运动知识求解．相遇问题相遇问题的分析思路:相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形,其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同.(1)列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系．（2）利用两物体相遇时必处在同一位置,寻找两物体位移间的关系．(３）寻找问题中隐含的临界条件．(4）与追及中的解题方法相同.二、典型例题【例1】物体A、B同时从同一地点，沿同一方向运动,A以10ｍ/s的速度匀速前进，Ｂ以2m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求A、B再次相遇前两物体间的最大距离. 【解析一】物理分析法A做υA=１0 ｍ/s的匀速直线运动,B做初速度为零、加速度a=2 ｍ／s2的匀加速直线运动．根据题意,开始一小段时间内，A的速度大于B的速度,它们间的距离逐渐变大,当B 的速度加速到大于A的速度后,它们间的距离又逐渐变小;A、B间距离有最大值的临界条件是υA＝υB．①设两物体经历时间ｔ相距最远,则υA＝ａｔ②把已知数据代入①②两式联立得t＝5 s在时间t内，A、B两物体前进的距离分别为ｓA=υA t=１0×5m＝5０ｍ错误!A、B再次相遇前两物体间的最大距离为Δsｍ＝s A－sＢ=5０ m-２5 m＝25 m【解析二】相对运动法因为本题求解的是A、B间的最大距离，所以可利用相对运动求解.选B为参考系,则A相对B的初速度、末速度、加速度分别是υ0=1０ m/ｓ、υt=υA-υB＝0、a＝-2 m/s2．根据υt2-υ0=2as．有0-１02=２×(-2)×ｓAB解得Ａ、Ｂ间的最大距离为ｓAB＝2５m．【解析三】极值法物体Ａ、B的位移随时间变化规律分别是s A=1０t，错误!．则A、B间的距离Δｓ=10t-t２,可见,Δｓ有最大值,且最大值为错误!【解析四】图象法根据题意作出A、B两物体的υ-t图象,如图1-５-1所示.由图可知，A、B再次相遇前它们之间距离有最大值的临界条件是υA＝υB，得ｔ1＝5 s.Ａ、Ｂ间距离的最大值数值上等于ΔOυA P的面积，即错误!.【答案】2５ m【点拨】相遇问题的常用方法(１）物理分析法:抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，按（解法一)中的思路分析.(2）相对运动法:巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系.(３)极值法:设相遇时间为t，根据条件列方程,得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论,若△＞0,即有两个解,说明可以相遇两次；若△＝０，说明刚好追上或相碰；若△<0,说明追不上或不能相碰．(4)图象法：将两者的速度时间图象在同一个坐标系中画出,然后利用图象求解. 拓展如图1-5-2所示是甲、乙两物体从同一地点,沿同一方向做直线运动的υ－ｔ图象,由图象可以看出 （ 〕A.这两个物体两次相遇的时刻分别是1s 末和４s 末B.这两个物体两次相遇的时刻分别是2ｓ末和６s 末Ｃ.两物体相距最远的时刻是２ｓ末D.4s 末以后甲在乙的前面【解析】从图象可知两图线相交点1ｓ末和4s 末是两物速度相等时刻,从0→2s,乙追赶甲到２s 末追上,从２s 开始是甲去追乙，在４s 末两物相距最远,到6s 末追上乙．故选B.【答案】B【实战演练1】(2０１1·新课标全国卷）甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。
在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变,汽车乙的加速度大小是甲的两倍;在接下来的相同时间间隔内,汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。
求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。
【思路点拨】解答本题时可由运动学公式分别写出两汽车的速度和位移方程，再根据两车加速度的关系,求出两车路程之比。
【精讲精析】设汽车甲在第一段时间间隔末（时刻t 0）的速度为ｖ,第一段时间间隔内行驶的路程为s 1,加速度为a ，在第二段时间间隔内行驶的路程为s ２,由运动学公式有， v=ａ t ０ ①s 1=１2a t ０2 ② s 2=v t 0＋＼F(１,2) 2a t ０2③设汽车乙在时刻t 0的速度为v ′，在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为s 1′、ｓ2′，同理有,v′=２ａ t 0 ④s １′=错误!2a t 02 ⑤s 2′=v′ t 0+＼F(１,2） a t ０2 ⑥设甲、乙两车行驶的总路程分别为s 、s ′,则有s= s １+ｓ2 ⑦s′= s 1′+s ２′ ⑧联立以上各式解得，甲、乙两车各自行驶路程之比为ｓs′ =错误!答案:57【实战演练２】(2０11·安徽省级示范高中名校联考)甲、乙两辆汽车，同时在一条平直的公路上自西向东运动，开始时刻两车平齐,相对于地面的v -ｔ图象如图所示，关于它们的运动，下列说法正确的是（ )A.甲车中的乘客说,乙车先以速度v ０向西做匀减速运动，后向东做匀加速运动B ．乙车中的乘客说，甲车先以速度v 0向西做匀减速运动，后做匀加速运动C ．根据v －ｔ图象可知，开始乙车在前,甲车在后,两车距离先减小后增大，当乙车速度增大到v 0时,两车恰好平齐D.根据ｖ－t 图象可知，开始甲车在前,乙车在后,两车距离先增大后减小,当乙车速度增大到ｖ0时,两车恰好平齐【答案】A【详解】甲车中的乘客以甲车为参考系,相当于甲车静止不动,乙车以初速度v 0向西做减速运动,速度减为零之后，再向东做加速运动，所以Ａ正确；乙车中的乘客以乙车为参考系，相当于乙车静止不动，甲车以初速度ｖ0向东做减速运动，速度减为零之后，再向西做加速运动，所以B 错误；以地面为参考系，当两车速度相等时，距离最远，所以C 、Ｄ错误． 考点2 相遇问题相遇问题的分析思路:相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形,其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同.（1)列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系.(2)利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系.(3）寻找问题中隐含的临界条件.（4)与追及中的解题方法相同．【例2】甲、乙两物体相距s ,同时同向沿同一直线运动，甲在前面做初速度为零、加速度为a 1的匀加速直线运动，乙在后做初速度为υ０，加速度为a 2的匀加速直线运动，则 （ ）A ．若a １=a ２,则两物体可能相遇一次Ｂ.若a １>a ２,则两物体可能相遇二次C.若a 1＜a 2,则两物体可能相遇二次D ．若a １＞a 2，则两物体也可相遇一次或不相遇【解析】 设乙追上甲的时间为t ,追上时它们的位移有错误!上式化简得:(ａ1－ａ2)t ２－２υ0t +２ｓ=0解得:错误!图1-5-3 （1）当ａ1＞a ２时，差别式“△”的值由υ0、a １、ａ２、s 共同决定,且错误!，而△的值可能小于零、等于零、大于零，则两物体可能不相遇,相遇一次，相遇两次，所以选项B 、D 正确.（2)当a １＜a 2时，t 的表达式可表示为错误!显然,△一定大于零.且＼r(△）>２υ０，所以t 有两解．但t 不能为负值,只有一解有物理意义,只能相遇一次，故C 选项错误．(3)当a １=a 2时，解一元一次方程得ｔ＝s /υ０,一定相遇一次，故A 选项正确.【答案】Ａ、B 、Ｄ【点拨】注意灵活运用数学方法,如二元一次方程△判别式.本题还可以用v —ｔ图像分析求解。
拓展A 、B 两棒均长1ｍ，Ａ棒悬挂于天花板上，B 棒与A 棒在一条竖直线上,直立在地面,Ａ棒的下端与B 棒的上端之间相距20m,如图1－５-3所示,某时刻烧断悬挂A 棒的绳子，同时将B 棒以ｖ0=20m ／ｓ的初速度竖直上抛，若空气阻力可忽略不计,且g =10ｍ／ｓ2,试求：（１）A 、B 两棒出发后何时相遇?（2)Ａ、B 两棒相遇后，交错而过需用多少时间？【解析】本题用选择适当参考系，能起到点石成金的效用。
由于A 、B 两棒均只受重力作用,则它们之间由于重力引起的速度改变相同，它们之间只有初速度导致的相对运动，故选A 棒为参考系,则B 棒相对A 棒作速度为v 0的匀速运动。
则A 、B 两棒从启动至相遇需时间s s v L t 1202001=== 当A 、Ｂ两棒相遇后,交错而过需时间s s v l t 1.0202202=== 【答案】(１) 1s (2) 0．1s【例3】（易错题)经检测汽车A 的制动性能：以标准速度２0m/s 在平直公路上行驶时，制动后40s 停下来。
现Ａ在平直公路上以2０m ／s 的速度行驶发现前方180m 处有一货车B 以6m ／s 的速度同向匀速行驶,司机立即制动,能否发生撞车事故？【错解】设汽车A 制动后４０ｓ的位移为x 1，货车B 在这段时间内的位移为x 2。
据tv v a 0-=得车的加速度a =-0.5m/s 又20121at t v x +=得 m x 40040)5.0(21402021=-⨯+⨯= m t v x 24040622=⨯==ｘ2=v 2t =6×4０=2４０（m)两车位移差为400-2４0＝1６０（m)图1-5-4因为两车刚开始相距1８０m>1６0m所以两车不相撞。