第十二章 无穷级数习题 12-11.写出下列级数的前五项（1）2111n n n ∞=++∑ （2）113(2n 1)242n n ∞=-∑ （3）11(1)5n nn -∞=-∑（4）1!nn n n ∞=∑2.写出下列级数的的一般项（1）1111357++++ （2）2345612345-+-+-（3）2242468x x x x +++（4）23453579aa a a -+-+3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性（1）1n ∞=∑（2）1111133557(2n 1)(2n 1)+++++-+（3）2sinsinsin666n πππ++++4.判定下列级数的收敛性（1）23238888(1)9999nnn -+-++-+（2）11113693n+++++（3）133n ++++（4）232333332222n n +++++（5）223311111111()()()()23232323n n++++++++5.利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性（1）11(1)n n n +∞=-∑ （2）11111123456+-++-+（3）1sin 2nn nx ∞=∑（4）0111()313233n n n n ∞=+-+++∑习题 12-21.用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性（1）1111++++35n +（2-1） （2）22212131112131n n +++++++++++（3）1112536(n 1)(n 4)++++++（4）23sinsinsinsin2222nππππ+++++（5）11(a 0)1nn a ∞=>+∑2.用比值审敛法判定下列级数的收敛性（1）232333331222322nnn +++++⋅⋅⋅⋅（2）213nn n ∞=∑（3）12!n nn n n ∞=⋅∑（4）11tan 2n n n π∞+=∑3.用极值审敛法判定下列级数的收敛性（1）1()21nn n n ∞=+∑（2）11[ln(n 1)]nn ∞=+∑（3）211()31n n n n ∞-=-∑（4）n 1(),(n ),a ,b,a nn n nb a a ∞=→→∞∑其中a 均为正数4.判定下列级数的收敛性（1）2333332()3()()4444n n +++++（2）44441231!2!3!!n n +++++（3）11(n 2)n n n ∞=++∑（4）12sin3nn nπ∞=∑（51n n+++（6）111(a 0,b 0)2a b a b na b++++>>+++5.判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？（1）1-+（2）111(1)3n n n n∞--=-∑（3）2341111111132323232⋅-⋅+⋅-⋅+（4）1111ln 2ln 3ln 4ln 5-+-+（5）2112(1)!n n n n ∞+=-∑习题 12-31.求下列幂级数的收敛区间 （1）2323n x x x nx +++++（2）2221(1)2nnx x x n-+++-+（3）2322424624(2n)nx x x x +++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅（4）22231323333nn x x x x n +++++⋅⋅⋅⋅（5）23232222225101n x x x n ++++++（6）211(1)21n nn x n +∞=-+∑（7）221212n n n n x ∞-=-∑ （8）1nn ∞=2.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数（1）11n n nx∞-=∑（2）41141n n x n +∞=+∑（3）35213521n x x x x n -+++++-习题 12-41.求函数(x)cosxf =的泰勒级数，并验证它在整个数轴上收敛于这函数2.将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间（1）shx 2x xe e --=（2）ln(a x)(a 0)+>（3）a x（4）2sin x（5）(1x)ln(1x)++（63.将下列函数展开成（x-1）的幂级数，并求展开式成立的区间 （1 （2）lg x4.将函数(x)cosxf =展开成(x )3π+的幂级数 5.将函数1(x)f x =展开成（x-3）的幂级数 6.将函数21(x)32f x x =++展开成(x+4)的幂级数习题12-51.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值 （1）ln3（误差不超过0.0001）（20.001）（30.00001）（4）cos2。
（误差不超过0.0001）2.利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值（1）0.540.10001 1dxx+⎰（误差不超过）（2）0.5arc0.ta01nxdxx⎰（误差不超过）3.试用幂级数求下列各微分方程的解（1）,y-xy-x=1（2）,,,y+xy+y=0（3）,(1-x)y=x-y4.试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解（1）,231,2xy y x y==+=（2）,0 (1x)y y1x,y0x=-+=+=5.利用欧拉公式将函数cosxe x展开成x的幂级数习题 12-61.已知函数序列(x)sin(n1,2,3,)nxsn==在(,)-∞+∞上收敛于0（1）问N(,x)ε取多大，能使当n>N,(x)ns与其极限之差的绝对值小于正数（2）证明(x)ns在任一有限区间[a,b]上一致收敛2.已知级数2222221(1x)x xxx+++++在(,)-∞+∞上收敛（1）求出该级数的和（2）问(,x)Nε取多大，能使当n>N时，级数的余项rn的绝对值小于正数ε（3）分别讨论级数在区间1[0,1],[,1]2上的一致收敛性3.按定义讨论下列级数在所给区间上的一致收敛性（1）2121(1),(1x)nnnxx∞-=--∞<<+∞+∑（2）0(1x)x,01nn x∞=-<<∑4.利用威尔斯特拉斯判别法证明下列级数在所给区间上的一致收敛性（1）1cos, 2nn nxx∞=-∞<<+∞∑（2）nx∞=-∞<<+∞（3）21,0nxnx e x∞-=≤<+∞∑（4）1,10 !nxn ex n-∞=<∑（5）221(1)(1e),0n nxnxn x-∞=--≤<+∞+∑习题 12-71.下列周期函数(x)f的周期为2π，试将(x)f展开成傅里叶级数，如果(x)f在[,)ππ-上的表达式为（1）2(x)3x1(x) fππ=+-≤<（2）2(x)e(x)xfππ=-≤<（3）,x0,0x(a,b a) (x){bxaxfππ-≤<≤<=为常数，且>b>02.将下列函数(x)f展开成傅里叶级数（1）(x)2sin(x)3xfππ=-≤≤（2）e,x01,0x (x){xfππ-≤<≤<=3.将函数(x)cos(x)2xfππ=-≤≤展开成傅里叶级数4.设(x)f是周期为2π的周期函数，它在[,]ππ-上的表达式为,22,22(x){xxfππππππ--≤<-≤<=将(x)f展开成傅里叶级数5.将函数f(x)(0x)2xππ-=≤≤展开成正弦级数6.将函数2(x)2x(0x)fπ=≤≤分别展开成正弦级数和余弦级数7.设周期函数(x)f的周期为2π.证明（1）如果(x)f(x)fπ-=-，则(x)f的傅里叶系数022a0,0,0(k1,2,)k ka b====（2）如果(x)f(x)fπ-=，则(x)f的傅里叶系数2121a0,b0(k1,2,)k k++===习题 12-81.将下列各周期函数展开成傅里叶级数（下面给出函数在一个周期的表达式）（1）211 (x)1x(x)22 f=--≤<（2）,1011,12f(x){x xx-≤<-≤<=（3）21,301,03 (x){x xxf+-≤<≤<=2.将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数（1）x,02l x,2 (x){lxlx l f≤<-≤≤=（2）2(x)x(0x2) f=≤≤3.设f(x)是周期为2的周期函数，它在[-1,1）上的表达式为f(x)e x-=。
试将(x)f展开成复数形式的傅里叶级数。
4.设u(t)是周期为T的周期函。
已知它的傅里叶级数的复数形式为（参阅本节例题）21(t)sin ()nti Tn h h n u e t T n T πτπτπ∞=-∞=+-∞<<+∞∑试写出u(t)的傅里叶级数的实数形式（即三角形式）总习题十二1.填空（1）对级数1nn u∞=∑，lim 0n n u →∞=是它收敛的-------条件，不是它收敛的--------条件（2）部分和数列{s }n 有界是正项级数1nn u∞=∑收敛的-------------条件（3）若级数1nn u∞=∑绝对收敛，则级数1nn u∞=∑必定---------；若级数1nn u∞=∑条件收敛，则级数1nn u∞=∑必定-------。
2.判定下列级数的收敛性（1）n ∞=（2）221(n!)2n n ∞=∑（3）21cos 32n n n n π∞=∑（4）1021lnn n ∞=∑（5）1(a 0,s 0)nsn a n ∞=>>∑3.设正向级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都收敛，证明级数21(uv )nn n ∞=+∑也收敛4.设级数1n n u ∞=∑收敛，且lim 1nn n v u →∞=。
问级数1n n v ∞=∑是否也收敛？试说明理由。
5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性（1）11(1)np n n ∞=-∑（2）111sin1(1)n n n n ππ∞++=+-∑（3）11(1)lnn n n n ∞=+-∑（4）11(n 1)!(1)nn n n ∞+=+-∑6.求下列极限（1）21111lim (1)3n k k n k n k →∞=+∑ （2）111139273lim[248(2)]nn n →∞⋅⋅7.求下列幂级数的收敛区间（1）135n n nn x n ∞=+∑（2）211(1)n nn x n ∞=+∑（3）1(x 1)nn n ∞=+∑（4）212nnn nx ∞=∑8.求下列幂级数的和函数.专业DOC. （1）2(n 1)1212n n n x ∞-=-∑（2）1211(1)21n n n x n -∞-=--∑（3）1(x 1)n n n ∞=-∑ （4）1(n 1)n n x n ∞=+∑9.求下列数项级数的和（1）21!n n n ∞=∑ （2）01(1)(2n 1)!n n n ∞=+-+∑10.将下列函数展开成x 的幂级数（1）ln(x （2）21(2x)-11.设f(x)是周期为2π的函数，它在上的表达式为x [,0),[0,)(x){x e x f ππ∈-∈=，将f(x)展开成傅里叶级数12.将函数0x [,0),[0,)(x){x e x f ππ∈-∈=，分别展开成正弦级数和余弦级数。