双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+kb y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。

三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。

四、双曲线与渐近线的关系：1. 若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=2. 若双曲线方程为12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）⇒渐近线方程：22220y x a b -=ay x b=±3. 若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±bya x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x , 0λ≠.4. 若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线则双曲线的方程可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）五、双曲线与切线方程：1. 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.2. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. 3. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.六、 双曲线的性质：七、弦长公式：若直线y kx b=+与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,x x分别为A、B的横坐标，则AB=12AB x=-==12,y y分别为A、B的纵坐标，则12AB y=-=通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长abAB22||=。

若弦AB所在直线方程设为x ky b=+，则AB12y y-。

特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解，例：直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____________ 八、焦半径公式：双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）上有一动点00(,)M x y当00(,)M x y 在左支上时10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+当00(,)M x y 在右支上时10||MF ex a =+,20||MF ex a =-注：焦半径公式是关于0x 的一次函数，具有单调性，当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =-，2||MF c a =+，当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =+，2||MF c a =-九、等轴双曲线：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）当a b =时称双曲线为等轴双曲线； 则：1. a b =；2.离心率2=e ；3.两渐近线互相垂直，分别为y=x ±；4.等轴双曲线的方程λ=-22y x ，0λ≠；5. 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。

十、共轭双曲线：1.定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线．2.方程：3.性质：共轭双曲线有共同的渐近线； 共轭双曲线的四个焦点共圆． 它们的离心率的倒数的平方和等于1。

1-2222=b y a x （a>0;b>0）的焦点为1F 与2F ，且p 为曲线上任意一点，θ221=∠PF F 。

则21F PF ∆的面积θcot 2b S =焦点三角形面积公式：)(,2cot 21221PF F b S PF F ∠==∆θθ高二数学椭圆知识点1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；- 8 -2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；3、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。

③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。