1
1
2.
设a＞0，b＞0，求证：ab2
2
ba2
2
1
a2
1
b2
【解题回顾】(1)用比较法证明不等式，步骤是：作差(商)— —变形——判断符号(与“1”比较)；常见的变形手段是通分、
因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的 积或完全平方式等.应注意的是，商比法只适用于两个正数比 较大小. (2)证法2的最后一步中，也可用基本不等式来完成：
第6章 不等式
第1节 不等式的性质及比较法证
明不等式
要点·疑点·考点
1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通 过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式 命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假. 不等式有如下8条性质：
1.a＞b b＜a.(反身性) 2.a＞b，b＞c =>a＞c.(传递性)
__a_＜__a_b_2＜__a_b__. 2.设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R且x≠1，则A，B的大小关系 为A__＞__B.
4 3.若n＞0，用不等号连接式子 n 2 _≥__ 3-n．
4.若0＜a＜1，则下列不等式中正确的是( A )
(A)(1-a)(1/3)＞(1-a)(1/2) (B)log(1-a)(1+a)＞0
＜
1
时
，
logab+logba
的
取
值
范
围
是
2.设 x
1 2
，则函数
5
y
x
8
9
2x -1的最小值是__2 __，
此时x=____2 ___.
3.若 ax25x7x2恒成立.则常数a的取值范
x2 围是__a_____3__.
4.设a、b、c∈R+，则三个数 a1，b1，c1 bca
的值( D ) (A)都大于2 (C)都小于2
3.a＞b a+c＞b+c.(平移性)
4.a＞b，c＞0 => ac＞bc； a＞b，c＜0 => ac＜bc.(伸缩性)
5.a＞b≥0 => n a n b，n∈N，且n≥2.(乘方性) 6.a＞b≥0 => a＞nb，n∈N，且n≥2.(开方性) 7.a＞b，c＞d => a+c＞b+d.(叠加性) 8.a＞b≥0，c＞d≥0 => ac＞bd.(叠乘性)
4 3
是采用了分析法.在证题时，从已知条件
出发，实行降幂变换，证出了a+b＞1；而从结论出
发，实行升幂变换，导出a+b＜ 4 ．这是两种不同的 3
思维程序.
2.(1)设a，b，c都是正数，求证：
1-a1-b1-c6 abc
(2)已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1.求证： bccaababc abc
λ1a1λ2a2a λ1 1a λ2 2λ4 1 λ1λ λ2 22
【解题回顾】原不等式从左边到右边的变化是消去a1、 a2，因此设法产生a1+a2是变形的目标.
(B)至少有一个不大于2 (D)至少有一个不小于2
5.设a＞b＞c且a+b+c =0，求证： (1)b2-ac＞0； (2)√b2-ac＜√3a.
能力·思维·方法
1.已知a，b，c都是正数，且a≠b，a3-b3=a2-b2，求 证：1＜a+b＜4
3
【解题回顾】本题证明a+b＞1采用了综合法，而证
明a+b＜
ab- ab2 ab- ab1
ab
ab
3. 已知x≥0，y≥0，求证：
1xy21xyxyyx
2
4
【解题回顾】在使用放缩技巧时，一定要注意方向，保持 一致.
延伸·拓展
4. 设0＜a＜1，根据函数的单调性定义，证明函数f(x)=logax+
logxa在
1 ，1 a
上是增函数.【解题回顾】用定义证明函数的单调性，多用到比较法，
(C)(1-a)3＞(1+a)2
(D)(1-a)1+a＞1
5.已知三个不等式：①ab＞0，②-ca＜-db，③bc＞ad.以其中 两个作条件，余下一个作结论，则可组成__3_个正确的命题.
能力·思维·方法
1. 比较xn+1+yn+1和xny+xyn(n∈N，x，y∈R+)的大小.
【解题回顾】作差法的关键步骤是差式的变形，常利用因 式分解、配方等方法，目的是使差式易于定号，一般四项 式的分解常用分组分解法.
方法，证一就是利用这一方法，证二采用的是有理化分子， 证三、证四是将数量关系的问题转化为图形的性质问题， 充分地考察数学问题的几何背景，常可使问题得以简化.
4.已知a＞b＞0，求证：
a-b2aba ba-b2
8a 2
8b
【解题回顾】有趣的是，这个双边不等式，我们能够 同时进行证明.
延伸·拓展
5.设a1，a2∈R+，a1+a2＝1，λ1，λ2∈R+，求证：
【解题回顾】(1)先局部运用基本不等式，再利用不等 式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的 不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也 是证明不等式时的一种常用方法.
(2)注意条件中1的代换与使用.
3.证明：若f(x)＝√1+x2，a≠b，则|f(a)-f(b)|＜|a-b|.
【解题回顾】利用|a|2＝a2(a∈R)是证有关绝对值问题的好
2.掌握用比较法证明不等式的方法，熟悉它的变形过程.用 比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——定号.其中 的“变形”可以变成平方和，也可以变成因式的积或常数； 有关指数式的比较法通常用作商法，步骤是作商——变 形——与1比较大小.
课前热身
1.设a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2三者的大小关系为
2.综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确， 因此我们常常用分析法寻找解题的思路，再用综合法 表述.分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”. 要注意用分析法证明不等式的表述格式.对于较复杂的 不等式的证明，要注意几种方法的综合使用.
课前热身
1. 当 a ＞ 1 ， 0 ＜ b ___(_-_∞_，__-_2_]____.
特别是作差比较，要切实掌握比较法的推理过程，注意推理
的严密性.
误解分析
(1)应变形到最佳形式再判断符号，否则既繁琐又易出错.
(2)应熟练掌握对数的性质来判断对数的符号，所以对数性 质的应用是解决本题的关键.
第2节 用综合法、分析法证明不等式
要点·疑点·考点
1.不等式证明的分析法和综合法是从整体上处理不等 式的不同形式.分析法的实质是从欲证的不等式出发寻 找使之成立的充分条件.综合法是把整个不等式看成一 个整体，根据不等式的性质、基本不等式，经过变形、 运算，导出欲证的不等式.