2016-2017学年四川省成都外国语学校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．（5.00分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合M={1，2，3，5}，N={2，4，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是（）A．{1，3}B．{4}C．{3，5}D．{5}2．（5.00分）设α∈{﹣3，﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，则使y=xα为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5.00分）设a=，b=，c=，d=log2则a，b，c，d的大小关系是（）A．b＞d＞c＞a B．a＞b＞c＞d C．c＞a＞b＞d D．a＞c＞b＞d4．（5.00分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）5．（5.00分）已知log a＜1，则a的取值范围是（）A．B．（）C．（D．6．（5.00分）已知实数a，b满足等式（）a=（）b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（5.00分）已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=B．f（x）=﹣C．f（x）=D．f（x）=﹣8．（5.00分）设f（x）=，则f（5）的值是（）A．24 B．21 C．18 D．169．（5.00分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6） C．（10，12）D．（20，24）10．（5.00分）已知f（x）=lgx+1（1≤x≤100），则g（x）=f2（x）+f（x2）的值域为（）A．[﹣2，7]B．[2，7]C．[﹣2，14]D．[2，14]11．（5.00分）已知2a=3b=k（k≠1），且2a+b=ab，则实数k的值为（）A．6 B．9 C．12 D．1812．（5.00分）设f（x）是[0，1]上的不减函数，即对于0≤x1≤x2≤1有f（x1）≤f（x2），且满足（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）=（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．（5.00分）函数y=log0.5（x2+ax+1）的值域是R，则a的取值范围是．14．（5.00分）若函数f（x）=（）|1﹣x|+m有零点，则m的取值范围是．15．（5.00分）若y=log a（ax+3）（a＞0且a≠1）在区间（﹣1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．16．（5.00分）设函数f（x），x、y∈N*满足：①∀a，b∈N*，a≠b有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；②∀n∈N*，有f（f（n））=3n，则f（1）+f（6）+f（28）=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10.00分）求值（1）0.25﹣[﹣2x（）0]2×[（﹣2）3]+10（2﹣）﹣1﹣（2）2log32﹣log3+log38﹣5．18．（10.00分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8=0}，B={x|x2+ax+a2﹣12=0}，且有A∪B=A，求实数a的取值集．19．（12.00分）已知函数f（x）=kx（k≠0），且满足f（x+1）•f（x）=x2+x，（I）求函数f（x）的解析式；（II）若函数f（x）为R上的增函数，h（x）=（f（x）≠1），问是否存在实数m使得h（x）的定义域和值域都为[m，m+1]？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．20．（12.00分）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．（1）求f（1），判定并证明f（x）的单调性；（2）若f（2）=1，解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．21．（12.00分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．22．（14.00分）设函数f k（x）=x k+bx+c（k∈N*，b，c∈R），g（x）=log a x（a＞0，a≠1）．（1）若b+c=1，且f k（1）=g（），求a的值；（2）若k=2，记函数f k（x）在[﹣1，1]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m≤4时的b的取值范围；（3）判断是否存在大于1的实数a，使得对任意x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]满足等式：g（x1）+g（x2）=p，且满足该等式的常数p的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年四川省成都外国语学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．（5.00分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合M={1，2，3，5}，N={2，4，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是（）A．{1，3}B．{4}C．{3，5}D．{5}【解答】解：由Venn图中阴影部分可知对应集合为N∩（∁U M），∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合M={1，2，3，5}，N={2，4，5}，∴∁U M={4，6，7}，N∩（∁U M）={4}．故选：B．2．（5.00分）设α∈{﹣3，﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，则使y=xα为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：只有当α=﹣3，﹣1时，满足幂函数y=x a为奇函数且在（0，+∞）上单调递减．故选：B．3．（5.00分）设a=，b=，c=，d=log2则a，b，c，d的大小关系是（）A．b＞d＞c＞a B．a＞b＞c＞d C．c＞a＞b＞d D．a＞c＞b＞d【解答】解：∵a=＞c=＞10＜b=＜c=＜1，d=log2＜0．∴a＞c＞b＞d．故选：D．4．（5.00分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是（）A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（|x|），∴不等式等价为f（|2x﹣1|），∵f（x）在区间[0，+∞）单调递增，∴，解得．故选：A．5．（5.00分）已知log a＜1，则a的取值范围是（）A．B．（）C．（D．【解答】解：∵∴①当a＞1时，a＞∴a＞1②当0＜a＜1时，a＜∴0＜a＜综上：a的取值范围是；故选：A．6．（5.00分）已知实数a，b满足等式（）a=（）b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：画出函数y=与y=的图象，当x＜0时，y=的图象在y=的图象下方，当x＞0时，y=的图象在y=的图象上方，当a＜0，b＜0时，则a＜b＜0，当a=b=0时，成立，当a＞0，b＞0时，则a＞b＞0，故选：B．7．（5.00分）已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=B．f（x）=﹣C．f（x）=D．f（x）=﹣【解答】解：令=t，得x=，∴f（t）==，∴f（x）=．故选：C．8．（5.00分）设f（x）=，则f（5）的值是（）A．24 B．21 C．18 D．16【解答】解：f（x）=，f（5）=f（f（10））=f（f（f（（15）））=f（f（18））=f（21）=21+3=24．故选：A．9．（5.00分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6） C．（10，12）D．（20，24）【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．10．（5.00分）已知f（x）=lgx+1（1≤x≤100），则g（x）=f2（x）+f（x2）的值域为（）A．[﹣2，7]B．[2，7]C．[﹣2，14]D．[2，14]【解答】解：由题意得，，解得1≤x≤10，∵f（x）=lgx+1（1≤x≤100），∴g（x）=f2（x）+f（x2）=（lgx+1）2+1+2lgx=（lgx）2+4lgx+2，1≤x≤10设t=lgx，则0≤t≤1，所以h（t）=t2+4t+2，0≤t≤1∵h（t）在[0，1]为增函数，且h（0）=2，h（1）=7∴h（t）=t2+4t+2（0≤t≤1）值域为[2，7]，即g（x）=f2（x）+f（x2）的值域为[2，7]，故选：B．11．（5.00分）已知2a=3b=k（k≠1），且2a+b=ab，则实数k的值为（）A．6 B．9 C．12 D．18【解答】解：∵2a=3b=k（k≠1），∴a=log2k，b=log3k，∴，，∵2a+b=ab，∴=log k9+log k2=log k18=1，∴k=18．故选：D．12．（5.00分）设f（x）是[0，1]上的不减函数，即对于0≤x1≤x2≤1有f（x1）≤f（x2），且满足（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）=（）A．B．C． D．【解答】解：∵（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），∴f（1）=1﹣f（0）=1，f（）=f（1）=，f（1﹣）=1﹣f（）．即f（）=1﹣=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，f（）=f（）=×=，∵对于0≤x1≤x2≤1有f（x1）≤f（x2），∴当≤x≤时，f（x）=，∵∈[，]时，∴f（）=，故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．（5.00分）函数y=log0.5（x2+ax+1）的值域是R，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【解答】解：根据题意，函数y=x2+ax+1的值域包含（0，+∞）；∴△=a2﹣4≥0；∴a≥2，或a≤﹣2；∴a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．14．（5.00分）若函数f（x）=（）|1﹣x|+m有零点，则m的取值范围是﹣1≤m＜0．【解答】解：设y=（）|1﹣x|=（）t，∵|1﹣x|=t≥0，∴0＜（）|1﹣x|≤1，∴函数f（x）=（）|1﹣x|+m有零点，m的取值范围是﹣1≤m＜0．故答案为：﹣1≤m＜0．15．（5.00分）若y=log a（ax+3）（a＞0且a≠1）在区间（﹣1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（1，3] ．【解答】解：∵y=log a（ax+3）（a＞0且a≠1）在区间（﹣1，+∞）上是增函数，∴，解得1＜a≤3．故a的取值范围是（1，3]．故答案为（1，3]．16．（5.00分）设函数f（x），x、y∈N*满足：①∀a，b∈N*，a≠b有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；②∀n∈N*，有f（f（n））=3n，则f（1）+f（6）+f（28）=66．【解答】解：由①知，对任意a，b∈N*，a≠b有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf （a）；不妨设a＜b，则有（a﹣b）（f（a）﹣f（b））＞0，由于a﹣b＜0，从而f（a）＜f（b），所以函数f（x）为N*上的单调增函数．∵②∀n∈N*，有f（f（n））=3n，∴令f（1）=a，则a≥1，显然a≠1，否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．从而a＞1，而由f（f（1））=3，即得f（a）=3．又由①知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．于是得1＜a＜3，又a∈N*，从而a=2，即f（1）=2．进而由f（a）=3知，f（2）=3．于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，则f（6）=f（f（3））=3×3=9，f（9）=f（f（6））=3×6=18，f（18）=f（f（9））=3×9=27，f（27）=f（f（18））=3×18=54，f（54）=f（f（27））=3×27=81，由于54﹣27=81﹣54=27，而且由①知，函数f（x）为单调增函数，因此f（28）=54+1=55．从而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66．故答案为：66三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10.00分）求值（1）0.25﹣[﹣2x（）0]2×[（﹣2）3]+10（2﹣）﹣1﹣（2）2log32﹣log3+log38﹣5．【解答】解：（1）原式=﹣=2+8+20=30．（2）原式=﹣32=2﹣9=﹣7．18．（10.00分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8=0}，B={x|x2+ax+a2﹣12=0}，且有A∪B=A，求实数a的取值集．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣8=0}={﹣2，4}，B={x|x2+ax+a2﹣12=0}，若A∪B=A，则B⊆A，可分为以下几种情况，（1）B=A，即方程x2+ax+a2﹣12=0的解为x=﹣2或x=4，解得a=﹣2；（2）B={﹣2}，即方程x2+ax+a2﹣12=0的解为x=﹣2，（﹣2）2﹣2a+a2﹣12=0，解得：a=﹣2（舍）或a=4；（3）B={4}，即方程x2+ax+a2﹣12=0的解为x=4，a2+4a+4=0，解得a=﹣2，此时B={﹣2，4}≠{4}，故需舍弃；（4）B为空集，即方程x2+ax+a2﹣12=0无解，a2﹣4（a2﹣12）＜0，解得a＞4或a＜﹣4．综上可知，若B∪A=A，a=﹣2或a≥4，或a＜﹣4．19．（12.00分）已知函数f（x）=kx（k≠0），且满足f（x+1）•f（x）=x2+x，（I）求函数f（x）的解析式；（II）若函数f（x）为R上的增函数，h（x）=（f（x）≠1），问是否存在实数m使得h（x）的定义域和值域都为[m，m+1]？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）f（x+1）•f（x）=k（x+1）•kx=k2（x2+x）所以（k2﹣1）（x2+x）=0对一切x恒成立，k2﹣1=0，得k=±1；故f（x）=±x；…6分（II）因f（x）为R上的增函数，所以f（x）=x，则而h（x）在（﹣∞，1）和（1，﹣∞）上是减函数，于是h（x）在[m，m+1]上单调递减，…8分则解得m=﹣1或m=2．…12分．20．（12.00分）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．（1）求f（1），判定并证明f（x）的单调性；（2）若f（2）=1，解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．【解答】解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．f（x）在（0，+∞）上的是增函数，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，∴f（）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2•）﹣f（x2）=f（）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．（2）∵f（2）=1，∴f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2，可化为f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2f（2）．∴f（﹣x）+f（2）+f（3﹣x）+f（2）≥0，∴f（﹣2x）+f（6﹣2x）≥f（1），∴f[﹣2x（6﹣2x）]≥f（1），∴，∴x≤．∴不等式的解集为{x|x≤}．21．（12.00分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）是偶函数可知：f（x）=f（﹣x），∴，化简得，即x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，∴．（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根，化简得：方程有且只有一个实根，且a•2x+a＞0成立，则a＞0．令t=2x＞0，则（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一个正根，设g（t）=（a﹣1）t2+at﹣1，注意到g（0）=﹣1＜0，所以①当a=1时，有t=1，合题意；②当0＜a＜1时，g（t）图象开口向下，且g（0）=﹣1＜0，则需满足，此时有；（舍去）．③当a＞1时，又g（0）=﹣1，方程恒有一个正根与一个负根．综上可知，a的取值范围是{}∪[1，+∞）．22．（14.00分）设函数f k（x）=x k+bx+c（k∈N*，b，c∈R），g（x）=log a x（a＞0，a≠1）．（1）若b+c=1，且f k（1）=g（），求a的值；（2）若k=2，记函数f k（x）在[﹣1，1]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m≤4时的b的取值范围；（3）判断是否存在大于1的实数a，使得对任意x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]满足等式：g（x1）+g（x2）=p，且满足该等式的常数p的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵b+c=1，且f（1）=g（），∴1+b+c=，∴a=；（2）k=2时，f（x）=x2+bx+c，所以当对称轴x=﹣≤﹣1，即b≥2时，M=f（1）=1+b+c，m=f（﹣1）=1﹣b+c，M﹣m=2b≤4，解得b≤2，∴b=2．当对称轴﹣1＜﹣≤0，即0≤b＜2时，M=f（1）=1+b+c，m=f（﹣）=c﹣，M﹣m=b+1+≤4，解得﹣6≤b≤2，∴0≤b＜2．当对称轴0＜﹣＜1，即﹣2≤b＜0时，M=f（﹣1）=1﹣b+c，m=f（﹣）=c﹣，M ﹣m=1﹣b +≤4，解得﹣2≤b ≤6，∴﹣2＜b ＜0．当对称轴﹣≥1，即b ≤﹣2时，M=f （﹣1）=1﹣b +c ，m=f （1）=1+b +c ，M ﹣m=﹣2b ≤4，解得b ≥﹣2，∴b=﹣2． 综上所述：b 的取值范围是﹣2≤b ≤2．（3）将等式g （x 1）+g （x 2）=p 变形得g （x 1）=p ﹣g （x 2），由任意实数x 1∈[a ，2a ]，都有x 2∈[a ，a 2]得到[log a a ，log a （2a ）]⊆[p ﹣，p ﹣log a a ]，即[1，1+log a 2]⊆[p ﹣2，p ﹣1]， ∴，解得2+log a 2=3，∴a=2．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。