东莞五中2020-2021学年第二学期高一数学周末作业（第三周）班别_____ 姓名____________ 学号_____一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题所给的四个选项中只有一个是符合要求的.1．下列命题正确的是（ ）A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．三个向量共面，即它们所在的直线共面C ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使λab D ．零向量是模为0，方向任意的向量2．已知两个非零单位向量12,e e 的夹角为θ，则下列结论不正确的是（ ） A ．不存在θ，使12•2e e = B ．2212e e =C ．∀∈θR ，()1212()e e e e -⊥+D ．1e 在2e 方向上的投影为sin θ3．设ABC 中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC - C ．1233AB AC - D ．2133AB AC -+4．已知向量(2,3),(1,1)a b ==，向量m a n b →→+与23a b →→-共线，则mn（ ） A ．23B ．32C ．23-D ．32-5.已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且|a |＝3，|b |＝2，则a ·(a －2b )＝( )A ．3B ．9C ．12D ．156.设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |＞|b |7．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF ―→＝( ) A.34AB ―→＋14AD ―→ B.14AB ―→＋34AD ―→ C.12AB ―→＋AD ―→ D.34AB ―→＋12AD ―→ 8．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度1v 的大小为114/v km h =，水流的速度2v 的大小为24/v km h =.设1v 和2v 的夹角为()0180θθ︒<<︒，北岸的点'A 在A 的正北方向，游船正好到达'A 处时，cos θ=（ ）A B ． C ．27D ．27-二、多选题:本小题共4小题，每小题5分，共20分.每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )A ．m (a －b )＝m a －m bB ．(m －n )a ＝m a －n aC ．若m a ＝m b ，则a ＝bD ．若m a ＝n a ，则m ＝n10．下列关于平面向量的说法中不正确．．．的是（ ） A ．9,2a k ⎛⎫=⎪⎝⎭，(),8b k =,若//a b ,则6k = B ．单位向量()1,0i =，()0,1f =，则345i f -=C ．若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 11．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°12.给出下列四个命题，其中正确的选项有( )A ．非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是30°B ．若(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝0，则△ABC 为等腰三角形C ．若单位向量a ，b 的夹角为120°，则当|2a ＋x b |(x ∈R )取最小值时x ＝1D ．若OA ―→＝(3，－4)，OB ―→＝(6，－3)，OC ―→＝(5－m ，－3－m )，∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是m ＞－34三、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分． 13.若|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，且(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则k ＝_________14.已知|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝33，则a 与b 的夹角为________．15．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.16.定义*a b →→是向量a →和b →的“向量积”，它的长度*sin a b a b θ→→→→=⋅⋅，其中θ为向量a →和b →的夹角，若()2,0u →=，(1,3u v →→-=-，则*u v →→=________.四、解答题：本大题共2个大题，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R .(1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.18.如图所示，平行四边形ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，F 为BC 上一点，且BF ＝13BC .(1)以a ，b 为基底表示向量 AM ―→与HF ―→；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM ―→·HF ―→.东莞五中2020-2021学年第二学期高一数学周末作业（20210312）参考答案1．DA 选项，若0b =，则根据零向量方向的任意性，可的a 与b 共线，b 与c 共线；但a 与c 不一定共线，故A 错；B 选项，因为向量是可以自由移动的量，因此三个向量共面，其所在的直线不一定共面；故B 错；C 选项，根据共线向量定理，若//a b ，其中0b ≠，则存在唯一的实数λ使λab ；故C 错；D 选项，根据零向量的定义可得，零向量是模为0，方向任意的向量；即D 正确. 2．D对于A ，因为两个非零单位向量12e ,e ?，所以 12e ?e ＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，∴A 正确． 对于B ，因为两个非零单位向量221212e ,e ?e e =，所以＝1，B 正确； 对于C ，因为两个非零单位向量12e ,e ?，且 ()()1212e e e e -+22120ee =-= ，所以()()1212e e e e -⊥+，∴C 正确； 对于D ，因为两个非零单位向量12e ,e ? ，所以1e 在2e 方向上的投影为|1e |cosθ＝cosθ，D 错误； 3．A因为ABC 中BC 边上的中线为AD ，所以1()2AD AB AC =+， 因为2AO DO =-，所以2AO OD =，所以23AO AD =()2132AB AC =⨯+()13AB AC =+，所以OC AC AO =-1133AC AB AC =--1233AB AC =-+. 4．C由题意可知：a 和b 不共线，所以a 和b 可以作为一组基底，而ma nb +与23a b -共线，所以2233m n ==--，故选：C ． 5.解析：选D a ·b ＝3×2×cos 2π3＝－3，∴a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝9－2×(－3)＝15.故选D.6.解析：选A 法一：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2，∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .故选A. 法二：利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |，知|AC ―→|＝|DB ―→|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A.7.解析：选D 根据题意得AF ―→＝12(AC ―→＋AE ―→)，又AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，AE ―→＝12AB ―→，所以AF ―→＝12AB ―→＋AD ―→＋12AB ―→＝34AB ―→＋12AD ―→.故选D. 8．D设船的实际速度为v ,1v 和2v 的夹角为θ，北岸的点A '在A 的正北方向,游船正好到达A '处,则2v v ⊥，∴21421)47(v cos cos v θπθ=--=-=-=-.9.解析：选AB 对于A 和B 属于数乘对向量与实数的分配律，正确；对于C ，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；对于D ，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．故选A 、B.10．AC对于A ：因为//a b ，则2982k ⨯=，解得：6k =±，故选项A 不正确； 对于B ：()2222343491624916025i f i fi j i j -=-=+-⋅=+-=，所以345i f-=，故选项B 正确；对于C ：根据向量的几何意义可知若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =不一定成立，故选项C 不正确； 对于D ：若点G 为ABC 的重心，取AB 的中点O ，则GA GB GC ++20GO GC =+=，故选项D 正确， 11．ACD对于A ，∴(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确； 对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=，222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=， 故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣，而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误.故错误的选项为ACD 故选：ACD12.解析：选ABC A 中，令OA ―→＝a ，OB ―→＝b .以OA ―→，OB ―→为邻边作平行四边形OACB .∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴四边形OACB 为菱形，∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角是30°，故A 正确．B 中，∵(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝0，∴|AB ―→|2＝|AC ―→|2，故△ABC 为等腰三角形．故B 正确．C 中，∵(2a ＋x b )2＝4a 2＋4x a ·b ＋x 2b 2＝4＋4x cos 120°＋x 2＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3，故|2a ＋x b |取最小值时x ＝1.故C 正确．D 中，∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(5－m ，－3－m )－(6，－3)＝(－1－m ，－m )，又∠ABC 为锐角，∴BA ―→·BC ―→＞0，即3＋3m ＋m ＞0，∴m ＞－34.又当BA ―→与BC ―→同向共线时，m ＝12，故当∠ABC 为锐角时，m 的取值范围是m ＞－34且m ≠12.故D 不正确．故选A 、B 、C.13.由题意，得(2a ＋3b )·(k a －4b )＝2k a 2＋(3k －8)a ·b －12b 2＝0，由于a ⊥b ，故a ·b ＝0，又|a |＝|b |＝1，于是2k －12＝0，解得k ＝6.14.解析：设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝332×3＝32，所以θ＝π6.答案：π615.解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25＋9－10×1×3×⎝⎛⎭⎫－12＝7. 16．23()2,0u →=，(1,3u v →→-=-，所以(3v →=设向量u →与v →的夹角为θ，则1cos =2u v u v θ→→→→⋅=，所以3sin 2θ=， 所以3*sin 22232u v u v θ→→→→=⋅⋅=⨯⨯=故答案为：2317.：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，∴a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，∴a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |＝4＋16＝2 5.综上所述，|a －b |为2或2 5.18.解：(1)由已知得AM ―→＝AD ―→＋DM ―→＝12a ＋b .连接AF (图略)，∵AF ―→＝AB ―→＋BF ―→＝a ＋13b ，∴HF ―→＝HA ―→＋AF ―→＝－12b ＋⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝a －16b . (2)由已知得a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝3×4×⎝⎛⎭⎫－12＝－6， 从而AM ―→·HF ―→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎫a －16b ＝12|a |2＋1112a ·b －16|b |2 ＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113.。