l
,
,
3
2
3 1
3 1
0,
解得 0.
ˆ ˆ
3, 8 即为所求。 1. 4
6
解：(1) EX
1 0
x
1 xdx
1 2
，
由
ˆ 1 ˆ 2
X
得ˆ
2X 1
1 X
为
的矩估计量。
L ,
n
i 1
f
xi,
1n
n
i 1
0,
xi ,
0 x 1, 其他。
l
,
ln
L
,
n
ln
注意： 这是第一稿（存在一些错误） 第七章数理统计习题__偶数.doc
4 解：矩估计：
1 0 1 2 1 2 2 ，
2 2 2 2 2 12 2 2 1 ,
A1 1,
B2
3 4
,
故
2 2ˆ ˆ
2 ˆ
2 2ˆ ˆ 1, 2ˆ ˆ 1 2 ˆ 2ˆ ˆ 2
故ˆ
3 2
X
为
的矩估计量，且为无偏估计。
L
n
i 1
f
xi ,
22nn
n
i 1
xi ,
0,
0 x , 其他。
显然 L 关于 单调递减。故 取最小值时 L 最大。
又 不小于 max X1,, X n ，故ˆ2 Xn max X1,, X n 为 的极大似然估计。
又
f Xn
x,
22nn
1
n i 1
xi
,
x ,
0,
其他。
n
令 l n
xi
i 1
2
0 得ˆ 1 n
n i 1
xi
为 的极大似然估计。
8(1)
X
，E
1 n
n i 1
Xi
2
1 n
n i 1
E
Xi
2
1 n
n i 1
EX i 2 2EX i 2
2
n1
(2) E k i1
X i1 X i
2
k
n i 1
E
X i1 X i
n
2 k
i 1
EX i1 2 2EX i1EX i EX i 2
2 n 1 k 2
则
k
2
1
n 1
即为所求。
10(1)依题，
Xi ，Yj
与 Zl
相互独立， ET
aES12
bES
2 2
cES
2 3
a
b c 2
故T 是 2 的无偏估计的充要条件为 a b c 1
取 X (1) 为关于 的区间估计问题的枢轴量。
(2)设常数 a b ，满足 P a X (1) b 1 ，即 P X (1) b X (1) a 1
此时，区间的平均长度为
L
b
a
，易知，取
a
1 n
ln
1
2
，
b
1 n
ln
2
时，
区间的长度最短，从而 的置信水平为1 的置信区间为
L a2 b2 c2 a b c 1
令
23
由
L a
2a
0,
L b
b
0,
L 2c 0, c 3
a b c 1.
得
a b c
1 6 1 3 1 2
, , .
即为所求。
12
f
x,
2
x
2
,
0 x , ， 0，
0, 其他。
EX
xf
x, dx
2 3
100
xf
x, dx
100
，令 100 ˆ
X
得ˆ
2X
100 为
的矩估计量。
2
2
L
n
i 1
f
xi ,
1
100
n
，因 0
100
，要使
L
最大，则
应取最大。
又 不能大于 min x1,, xn ，故 的极大似然估计为ˆ min X1,, X n
(5) EX xf x, dx 0 ，故 X 0 。
的置信水平为
99%的置信区间为
n 1 S 2
2 0.005
n 1
,
n
2 0.095
1S 2 n 1
将
n
16
，
S
2.2
，
2 0.005
15
及
2 0.095
15
的值代人得
2 的置信水平为 99%的置信区间为 2.213,15.779 。
24
已知 n1 12 ， X
13.8 ， S1 1.2 ， n2
又 不大于 min X1,, X n ，故 ˆ1 X1 min X1,, X n 为 的极大似然估计。
因 F x, x etdt 1 ex
易知 f X1
xi ,
nen
x
,
0,
x , 其他。
所以 Eˆ1 EX 1
xf X1
xi ,
dx
1 n
，即 ˆ1 是
的有偏估计。
9 DX 4n
2 8n
故 P
ˆ1
1
D ˆ1 2
1
2 8n
1
，故ˆ1
为
的相合估计。
(2)
L
n
i 1
f
xi ,
2n 2n
n
i 1
xi
易知 L 为 的单调递减函数，故 取最小值时， L 取最大值。
又 不小于 max X1,, X n ，故ˆ2 Xn max X1,, X n 为 的极大似然估计。
15 ，Y
12.9 ， S2
1.5 ， 2 1
2 2
(1) 1
2
的置信水平为
95%的置信区间为
X
Y
t0.025
n1
n2
1S w
1 n1
1 n2
其中
Sw2
n1
1 S12 n2 1S22
n1 n2 2
，查
EXCEL
表得 t0.025
26 的值，将各值代人得
1 2 的置信水平为 95%的置信区间为 0.198,1.998
b
b2 4ac , 1 b 2a
b2 4ac
由已知资料计算得
a
n
z2 0.025
60 1.962
63.8416
，
b
2nx
z2 0.025
2 60
20 60
1.96 2
43.8416
，
c
nx
2
60
20 60
2
6.67
，故所求的置信区间为 0.227, 0.459
。
f Xn
x,
22nn x2n1, 0,
0 x , 其他。
故
Eˆ2
EX n
2n 2n 1
，故ˆ2
为
的有偏估计。
Dˆ2
DX n
EX
n
2
EX n
2
n
n 2
1 2n
12
所以 P
ˆ2
1
D ˆ2 2
1
n
n 2
12n 12
2
1
故ˆ2 为 的相合估计。
18(1)因 FX(1) x P X (1) x P X (1) x 1 e nx 与参数 无关，故可
ˆ1*
1
D
ˆ
* 1
2
1
1 n2
2
1
P ˆ2
1
D ˆ2
2
1
1 n 2
1
故 ˆ1* 与 ˆ2 为 的相合估计。
16(1) EX
0
x
2
x
2
dx
2 3
，故 ˆ1
3 2
X
为
的矩估计量，且为无偏估计。
DX EX 2 EX 2
0
x2
2x 2
dx
2 3
2
2 18
Dˆ1
9 DX 4ຫໍສະໝຸດ X得ˆ2X X
为
的矩估计量。
L
n
f i 1
xi ,
n 2n
n
i 1
xi 1,
0,
0 x 2, 其他。
l
ln
L
n
ln
n
ln
2
1
n
ln
i 1
x
i,
0 x 2,
0,
其他。
令
l
n
n
ln
2
n
ln xi 0 得，ˆ
i 1
n
n
n ln 2
ln xi
为 的极大似然估计。
i 1
(4) EX
var X EX 2 2 2 ，
由 2ˆ2 1 n n i1
Xi X
2
1 n
n i 1
X
2 i
和
0得
n
Xi2
ˆ i1 为 的矩估计量。 2n
L
n
f i 1
xi ,
1 n 2n
n
Xi
i1
e
,
0,
x , 其他。
则
l
ln L
n ln 2 n ln
F0.975 15,19
查 EXCEL 表得 F0.025 15,19 和 F0.975 15,19 的值，将各值代人得