圆中证明及存在性问题【例1】.如图，已知⊙A的半径为4，EC是圆的直径，点B是⊙A的切线CB上一个动点，连接AB交⊙A于点D，弦EF∥AB，连接DF，AF.（1）求证：△ABC≌△ABF；（2）当∠CAB=时，四边形ADFE为菱形；（3）当AB=时，四边形ACBF为正方形.BE【分析】（1）由EF∥AB，得∠EFA=∠FAB，∠CAB=∠AEF，又∠AEF=∠AFE，得：∠BAC=∠BAF，又AB=AB，AC=AF，证得△ABC≌△ABF；（2）连接FC，根据ADFE为菱形，确定出∠CAB的度数；（3）由四边形ACBF是正方形，得AB=AC.【解析】解：（1）∵EF∥AB，∴∠EFA=∠FAB，∠CAB=∠AEF，∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BAC=∠BAF，又AB=AB，AC=AF，∴△ABC≌△ABF（SAS）；（2）如图，连接FC，BE∵四边形ADFE是菱形，∴AE=EF=FD=AD，∵CE=2AE，∠CFE=90°，∴∠ECF=30°，∠CEF=60°，∵EF∥AB，∴∠AEF=∠CAB=60°，故答案为：60°；（3）由四边形ACBF是正方形，得AB AC.【变式1-1】.如图，在△ABD中，AB＝AD，AB是⊙O的直径，DA、DB分别交⊙O于点E、C，连接EC，OE，OC．（1）当∠BAD是锐角时，求证：△OBC≌△OEC；（2）填空：①若AB＝2，则△AOE的最大面积为；②当DA与⊙O相切时，若AB，则AC的长为．【答案】（1）见解析；（2）1 2；1.【解析】解：（1）连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BD，∵AD＝AB，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝EC，又∵OB=OE，OC=OC，∴△OBC ≌△OEC （SSS ），（2）①∵AB ＝2，∴OA ＝1，设△AOE 的边OA 上的高为x ，∴S △AOE ＝12OA ×h ＝12h ，要使S △AOE 最大，需h 最大，点E 在⊙O 上，h 最大是半径，即：h 最大＝1∴S △AOE 最大为：12；②如图所示，当DA 与⊙O 相切时，则∠DAB ＝90°，∵AD ＝AB ，∴∠ABD ＝45°，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∴AC ＝BC ＝2AB =1.【例2】.如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F ．（1）试说明DF 是⊙O 的切线；（2）①当∠C =°时，四边形AODF 为矩形；②当tanC =时，AC =3AE ．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，点D在⊙O上，∴DF是⊙O的切线；（2）45°，理由如下：由四边形AODF为矩形，得∠BOD=90°，∴∠B=45°，∴∠C=∠B=45°，故答案为：45°；（3）22，理由如下，连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵AB=AC，AC=3AE，∴AB=3AE，CE=4AE，∴BE 2=AB 2－AE 2=8AE 2，即BE =AE ，在Rt △BEC 中，tanC =42BE CE CE ==.故答案为：2.【变式2-1】.如图，在△ABC 中，AB =AC =4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，点P 是AB 的延长线上一点，且∠PDB =12∠A ，连接DE ，OE ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线．（2）填空：①当∠P 的度数为______时，四边形OBDE 是菱形；②当∠BAC =45°时，△CDE 的面积为_________．【答案】（1）见解析；（2）30；2.【解析】解：（1）连接OD ，∵OB =OD ,∠PDB =12∠A ，∴∠ODB =∠ABD =90°－12∠A =90°－∠PDB ，∴∠ODB +∠PDB =90°，∴∠ODP =90°，∵OD 是⊙O 的半径，∴PD 是⊙O 的切线.（2）①30°，理由如下：∠P =30°，则∠BOD =60°，∴△BOD 是等边三角形，∴∠ADP =30°，∠A =60°，∴△AOE 是等边三角形，即∠AOE =60°，∴∠EOD =60°，∴△ODE 是等边三角形，∴OB =BD =DE =OE ，即四边形OBDE 是菱形；②连接BE ，AD ，如上图，∵AB 为直径，∴∠ADB =90°，即AD ⊥BC ，∠AEB =90°，∵AB =AC ，∴D 为BC 中点，∴S △DCE =12S △BCE ，∵∠BAC =45°，∴AE =BE ，△ABE 是等腰直角三角形，∵AB =AC =4，∴AE =BE =CE =4-∴S △DCE =12S △BCE ，=12×12BE ·CE=12×12×）=2 .【例3】.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ．（1）求证：AC 2=AD ·AB ．（2）点E 是∠ACB 所对的弧上的一个动点（不包括A ，B 两点），连接EC 交直径AB 于点F ，∠DAP =64°．①当∠ECB =°时，△PCF 为等腰三角形；②当∠ECB=°时，四边形ACBE为矩形．【答案】见解析.【解析】解：（1）连接OC，∵CD是切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠ACO=∠CAD，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO，∴∠CAD=∠CAO，∵AB为直径，∴∠ACB=∠D=90°，∴△ACD∽△ABC，∴AD AC AC AB,即：AC2=AD·AB．（2）①45；②58，理由如下：①∵∠DAP=64°，∴∠P=26°，∠CAB=∠DAC=32°，∵∠CFP是△ACF的外角，∴∠CFP>32°，即∠CFP≠∠P，由∠PCB=∠CAB=32°，知∠FCP>∠PCB≠∠P，由△PCD为等腰三角形，得PC=PF,∴∠CFP=77°，∴∠ACF=45°，∠ECB=90°－∠ACF=45°，故答案为：45；②由ACBE是矩形，得F与O重合，∴∠ECB=90°－∠ACO=90°－32°=58°，故答案为：58.【变式3-1】.如图，△ABC内接于⊙O，过点B的切线BE∥AC，点P是优弧AC上一动点（不与A，C重合），连接PA，PB，PC，PB交AC于D．（1）求证：PB平分∠APC；（2）当PD=3，PB=4时，求AB的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接OB，则OB⊥BE，∵BE∥AC，∴OB⊥AC，∴弧AB=弧BC，∴∠APB=∠BPC，∴PB平分∠APC；（2）由（1）知，∠APB=∠BPC，∵∠BAC=∠BPC，∴∠BAC=∠APB，∵∠ABD=∠PBA，∴△ABD∽△PBA，∴AB BD PB AB=,即1 4ABAB=∴AB=2，即AB的长为2.1..如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB交于点D，过D作⊙O的切线交CB于E.（1）求证：EB=EC；（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接OD，∵AC为直径，∠ACB=90°，∴BC为⊙O的切线，∵DE是⊙O的切线，∴DE=CE，∠ODE=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠OAD+∠B=90°，∴∠B=∠EDB，∴DE=BE，∴EB=EC；（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：∵四边形ODEC是正方形，∴∠DEB=90°，由（1）知CE=BE，∴△BED是等腰直角三角形，∠B=45°，∴∠A=45°，即AC=BC，又∵∠ACB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形.2..如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE，OE．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）填空：①当∠CAB=时，四边形AOED是平行四边形；②连接OD，在①的条件下探索四边形OBED的形状为.【答案】（1）见解析；（2）45；正方形.【解析】（1）连接OD，BD，∵AB为直径，∴∠BDC=∠ADB=90°，∵E为BC的中点，∴DE=BE=CE，∵OD=OB，OE=OE，∴△ODE≌△OBE，∴∠ODE=∠OBE=90°，∴OD⊥DE，即DE是⊙O的切线.（2）①若四边形AOED是平行四边形，则DE∥AB，∴∠A=∠CDE，∵∠CDE=∠C，∴∠A=∠C，∵∠ABC=90°，∴∠A=45°；②由∠A=45°，得∠ADO=45°，即∠DOB=90°，∵∠EBO=∠ODE=90°，∴四边形OBED是矩形，∵四边形AOED是平行四边形，∴∠EOB=∠A=45°，∴∠EOB=∠OEB=45°，∴OB=BE，∴四边形OBED是正方形.3..如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，CD平分∠ACB交AB于点D，点O在AC上，以CO为半径的圆经过点D，AE切⊙O于E．（1）求证：AD=AE．（2）填空：①当∠ACB=_______时，四边形ADOE是正方形；②当BC=__________时，四边形ADCE是菱形．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接OE，∵CD平分∠ACB，∴∠OCD=∠BCD，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠ODC=∠BCD，∴OD∥BC，∵∠B=90°，∴∠ADO=90°，∴AD是圆O的切线，∵AE是圆O的切线，∴AD=AE.，理由如下：①∵ADOE是正方形，∴OD=AD，∴∠OAD=45°，∴∠ACB=45°；②四边形ADCE为菱形，∴AD=CD，∠CAD=∠ACD，∵∠BCD=∠ACD，∴∠CDB=60°，∠BCD=30°，∴CD=2BD，∵AB=6，∴BD=2，BC,4..如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB （1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连结OB，∵CE=CB，∴∠CBE=∠CEB，∵CD⊥OA，∴∠DAE+∠AED=90°，∵∠CEB=∠AED，∴∠DAE+∠CBE=90°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠OBA+∠CBE=90°，即∠OBC=90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连结OF，OF交AB于H，（见上图）∵DF⊥OA，AD=OD，∴FA=FO，∵OF=OA，∴△OAF为等边三角形，∴∠AOF=60°，∴∠ABF=12∠AOF=30°．5..如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是劣弧AC上的一点，且弧BC=弧DF，连接AB，BC，CD．求证：△CDE≌△ABC．【答案】见解析.【解析】证明：连接DF，∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠E，∵四边形ACFD内接于⊙O，∴∠CAE+∠CFD=180°，∵∠CFD+∠DFE=180°，∴∠CAE＝∠DFE，∴∠DFE＝∠E，∴DF＝DE，∵弧BC=弧DF，∴BC＝DF，∴BC＝DE，∵四边形ABCD内接于⊙O，同理可得：∠B＝∠CDE，在△CDE和△ABC中，∵AC=CE，∠ABC=∠CDE，BC=DE，∴△CDE≌△ABC．6..如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点．（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；（2）填空：①当∠BOP＝时，四边形AOCP是菱形；②连接BP，当∠ABP＝时，PC是⊙O的切线．【答案】（1）见解析；（2）120；45．【解析】（1）证明：∵PC∥AB，∴∠PCM＝∠OAM，∠CPM＝∠AOM．∵点M是OP的中点，∴OM＝PM，∴△CPM≌△AOM，∴PC＝OA．∵OA＝OB，∴PC＝OB．∵PC∥AB，∴四边形OBCP是平行四边形．（2）解：①∵四边形AOCP是菱形，∴OA＝PA，∵OA＝OP，∴OA＝OP＝PA，∴△AOP是等边三角形，∴∠A＝∠AOP＝60°，∴∠BOP＝120°；②∵PC是⊙O的切线，∴OP⊥PC，∠OPC＝90°，∵PC∥AB，∴∠BOP＝90°，∵OP＝OB，∴∠ABP＝∠OPB＝45°.7..如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接AD、CD、OC．填空①当∠OAC的度数为时，四边形AOCD为菱形；②当OA＝AE＝2时，四边形ACDE的面积为．【答案】（1）见解析；．【解析】（1）证明：∵F为弦AC的中点，∴AF＝CF，OF过圆心O∴FO⊥AC，即∠OFA=90°，∵DE是⊙O切线，∴OD⊥DE即∠EDO=90°，∴DE∥AC.（2）①当∠OAC＝30°时，四边形AOCD是菱形，理由如下：连接CD，AD，OC，∵∠OAC＝30°，OF⊥AC∴∠AOF＝60°∵AO＝DO，∠AOF＝60°∴△ADO是等边三角形∵AF⊥DO∴DF＝FO，AF＝CF，∴四边形AOCD是平行四边形∵AO＝CO∴四边形AOCD是菱形.②连接CD，∵AC∥DE,OA=AE=2，∴OD＝2OF，DE＝2AF∵AC＝2AF，∴DE＝AC，且DE∥AC∴四边形ACDE是平行四边形∵OA＝AE＝OD＝2∴OF＝DF＝1，OE＝4在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE，＝DE×DF∴S四边形ACDE×1.8..如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若AB，E是半圆AGF上一动点，连接AE，AD，DE．填空：①当弧AE的长度是时，四边形ABDE是菱形；②当弧AE的长度是时，△ADE是直角三角形．【答案】（1）见解析；（2）23π；3π或π．【解析】（1）证明：连接OD，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴AB＝12BC，∵D是斜边BC的中点，∴BD＝12BC，∴AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODB＝∠BAO＝90°，即OD⊥BC，∴BD是⊙O的切线．（2）①若四边形ABDE是菱形，连接OE，则AB∥DE，∵∠BAC =90°，∴DE ⊥AC ，得：AD ＝BD ＝AB ＝CD ＝12BC ∴△ABD 是等边三角形，OD ＝1，∴∠ADB ＝60°，∵∠CDE ＝60°，∴∠ADE ＝180°﹣∠ADB ﹣∠CDE ＝60°，∴∠AOE ＝2∠ADE ＝120°，∴弧AE 的长度为：1201180π⨯=23π；故答案为：23π；②∵AD 为弦（不是直径），∴∠AED ≠90°，（i ）若∠ADE ＝90°，则点E 与点F 重合，弧AE 的长度为：1801180π⨯＝π；（ii ）若∠DAE ＝90°，则DE 是直径，则∠AOE ＝2∠ADO ＝60°，弧AE 的长度为：601180π⨯=13π；故答案为：13π或π．9..如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以点A 为圆心，AC 为半径，作⊙A ，交AB 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点E 作AB 的平行线交⊙A 于点F ，连接AF ，BF ，DF ．（1）求证：△ABC ≌△ABF ；（2）填空：①当∠CAB ＝°时，四边形ADFE 为菱形；②在①的条件下，BC ＝cm 时，四边形ADFE 的面积是2．【答案】（1）见解析；（2）①60；②6．∴∠E ＝∠CAB ，∠EFA ＝∠FAB ，∵AE =AF ，∴∠E ＝∠EFA ，∴∠FAB ＝∠CAB ，又∵AF =CA ，AB =AB ，∴△ABC ≌△ABF ；（2）①当∠CAB ＝60°时，四边形ADFE 为菱形．由∠CAB ＝60°，得∠FAD ＝∠EAF ＝60°，∴EF ＝AD ＝AE =DF ，∴四边形ADFE 是菱形．②∵四边形AEFD 是菱形，∠AEF ＝∠CAB ＝60°，∴22AE ⨯=∴AE ＝，∴AC =，∴BC AC =6.10..如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以直角边BC 为直径作⊙O ，交AB 于点D ，E 为AC 的中点，连接DE .（1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）已知BC ＝4．填空：①当DE ＝时，四边形DOCE 为正方形；②当DE ＝时，△BOD 为等边三角形．【答案】（1）见解析；（2）2；2.∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∵DE为Rt△ADC的斜边AC上的中线，∴DE=CE=AE，∵OD＝CC，OE＝OE，∴△COE≌△DOE，∴∠OCE＝∠ODE＝90°，即DE为⊙O的切线；（2）解：①若四边形DOCE为正方形，则OC＝OD＝DE＝CE，∵BC＝4，∴DE＝2．②若△BOD为等边三角形，则∠BOD＝60°，∴∠COD＝180°﹣∠BOD＝120°，∠DOE＝60°，∴DE OD．．11..如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，分别交AC，AB的延长线于点E，F．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）①当∠BAC的度数为时，四边形ACDO为菱形；②若⊙O的半径为5，AC=3CE，则BC的长为．【答案】（1）见解析；（2）60；8.【解析】（1）连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO，∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE，∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）连接CD，①当∠BAC=60°时，四边形ACDO为菱形；∵∠BAC＝60°，∴∠AOD＝120°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∠CAD＝30°，∵OD∥AE，∴∠OAD＝∠ADC＝30°，∠CAO＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD，∵AD＝AD，∴△ACD≌△AOD，∴AC＝AO，∴AC＝AO＝CD＝OD，∴四边形ACDO为菱形；②设OD与BC交于G，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵DE⊥AC，可得四边形CEDG是矩形，∴DG＝CE，∵AC＝3CE，∴OG＝12AC＝1.5CE，OD＝2.5CE＝5，∴CE＝2，AC＝6，∵AB＝10，由勾股定理得：BC＝8．。