【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆典型例题（二）方阵可逆的判定例1 设A是n阶方阵, 试证下列各式：（1）若|A|≠0, 则(AT)-1=(A-1)T；（2）若A、B都是n阶可逆矩阵, 则(AB)*=B*A*；（3）(AT)*=(A*)T；（4）若|A|≠0, 则(A*)-1=(A-1)*；（5）(-A)*=(-1)n-1A*；（6）若|A|≠0, 则(Al)-1=(A-1)l（l为自然数）；（7）(kA)*=kn-1A*. 证（1）因为|A|≠0,故A是可逆矩阵, 且AA-1=E两边同时取转置可得(AA-1)T=(A-1)TAT=(E)T=E故由可逆矩阵的定义可知(A-1)T是AT的逆矩阵. 即(A-1)T=(AT)-1（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有(AB)*(AB)=|AB|E另一方面(B*A*)(AB)=B*(A*A)B=B*(|A|I)B=|A|B*B=|A| |B|E=|AB|E比较式（2-7）、（2-8）可知(AB)*(AB)=(B*A*)(AB)又因为A、B均可逆, 所以(AB)也可逆, 对上式两端右乘(AB)-1 可得(AB)*=B*A*（3）设 n阶方阵A为⎡aa12 a⎡111n⎡A=⎡a⎡⎡21a22 a2n⎡⎡ ⎡⎡⎡aa⎡⎡n1n2 ann⎡ 于是可得A的伴随矩阵A*为⎡AA⎡1121 An1⎡A*=⎡A⎡⎡12A22 An2⎡⎡ ⎡⎡⎡⎡AA⎡1n2n Ann注意到⎡A 的转置矩阵为2-7）2-8）（（T可推出A的伴随矩阵为⎡a11⎡⎡a12AT=⎡⎡⎡a⎡1na21a22 a2nA12A22 An2an1⎡⎡an2⎡⎡ ⎡ann⎡⎡*比较A与(A)可知T*⎡A11⎡⎡A21(AT)*=⎡⎡⎡A⎡n1*TT*A1n⎡⎡A2n⎡⎡ ⎡Ann⎡⎡(A)=(A)*-1|A|≠0AA （4）因为, 故A可逆, A的逆矩阵为, 并且由A=|A|E可知-1-1*-1-1|A|≠0A(A)=|A|E可得 A由于, 可逆且1(A-1)*=A|A|另一方面, 由A*=|A|A-1A*(A-1)*=|A|A-1*由矩阵可逆的定义知, A可逆, 并且*-1-1*1A=E|A|(A)=(A)（5）对于（3）给出的矩阵A, 有-a12⎡-a11⎡-a22⎡-a21-A=⎡⎡⎡-a-an2⎡n1即a1j-1 -ai-1j-1-ai+1j-1-anj-1-a1n⎡⎡-a2n⎡⎡⎡-ann⎡⎡-aij的代数余子式为-a11(-1)i+j-a1j+1 -ai-1j+1-ai+1j+1-anj+1-a1n -ai-1n-ai+1n -ann-ai-11-ai+11 -an1故=(-1)n-1Aij (i,j=1, 2, , n)⎡(-1)n-1A11(-1)n-1A21 (-1)n-1An1⎡⎡⎡n-1n-1n-1 (-1)A22 (-1)An2⎡⎡(-1)A12n-1*(-A)*=⎡⎡=(-1)A⎡⎡⎡⎡n-1n-1n-1(-1)A(-1)A (-1)A1n2nnn⎡⎡（6）因为|A|≠0, 故A可逆, 并且l-1-1-1-1-1-1l(A)=(AA A)=AA A=(A)l个 l个（7）对于（3）给出的矩阵A, 有ka11 ka1n⎡⎡ka11⎡⎡kaka ka⎡21222n⎡kA=⎡⎡⎡⎡⎡kakan2 kann⎡n1⎡⎡kaijkn-1Aij类似于（5）可知的代数余子式为, 故**T例2 设A是n阶非零矩阵, 并且A的伴随矩阵A满足A=A, 证明A是可逆矩阵. 证根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式, 有*T反证, 假设A不可逆, 故有|A|=0, 由上式及条件A=A, 有AA*=AAT=O （2-6）设矩阵A为a12 a1n⎡⎡a11⎡⎡aa a⎡21222n⎡A=⎡⎡⎡⎡⎡aan2 ann⎡n1⎡⎡由式（2-6）可知a12 a1n⎡⎡a11a21 an1⎡⎡a11⎡⎡⎡⎡aa aaa a⎡21222n⎡⎡1222n2⎡AAT=⎡ ⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡a⎡aan2 ann⎡a2n ann⎡n11n⎡⎡⎡⎡nn⎡n2⎡aaa aa⎡1i1i2i1ini⎡i=1i=1i=1⎡⎡nnn⎡⎡2aaa aa2i1i2i2ini⎡=O=⎡i=1i=1i=1⎡⎡ ⎡n⎡nn⎡2⎡aaaa ani1ini2ini⎡⎡i=1i=1i=1⎡⎡比较上式两边矩阵对角线上的元素有AA*=A*A=|A|E∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ai=1n2ji=0 (j=1, 2, , n)故aj1=aj2= =ajn=0 (j=1, 2, , n)因此有A = O, 与A是n阶非零矩阵矛盾, 故A是可逆矩阵. 例3 设A、B都是n 阶可逆矩阵, 证明：(AB)-1=A-1B-1的充要条件是AB=BA-1证必要性：因为(AB)=A-1B-1=(BA)-1(AB)(AB)-1(BA)=(AB)(BA)-1(BA) 因此AB=BA 即充分性：因为AB=BA, 故(AB)-1=(BA)-1=A-1B-1.|A|=1,A=A 例4 设A是一个n阶方阵, n为奇数, 且, 证明(I-A)不可逆. T-1证因为A=A, 故因此有AAT=AA-1=E所以故E-A是不可逆矩阵.-1(E-A)求.TT|E-A|=|AA-A|=|A(A-E)|T=|A| |(A-E)|=|A-E|=(-1)n|E-A|=-|E-A||E-A|=0k例5 设A是n阶方阵且对某个正整数k满足A=O, 证明E-A是可逆矩阵, 并证由于k2k-11-x=(1-x)(1+x+x+ +x)故对于方阵A的多项式, 仍有注意到A=O, 故有E-Ak=(E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)因此(E-A)可逆, 并且(E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)=E (E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1 (A*)*是A的伴随矩阵A*的伴随矩阵, 证明：例6 设A是n(n2)阶方阵,2**n-2(A)=|A|A；（1）**(n-1)（2）|(A)|=|A|.证（1）利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系, 有即从而有*AA*=|A|EA*(A*)*=|A*|EAA*(A*)*=|A|(A*)*=A[A*(A*)*]=|A*|A对AA=|A|E两边取行列式, 有*n-1若A可逆, |A|≠0, 故|A|=|A|, 于是有|AA*|=|A||A*|=||A|E|=|A|n***|A|=0(A)=0, 仍有 A若A不可逆, 则, 的秩小于或等于1, 故**n-2(A)=|A|A ****A(A)=|A|E两边取行列式, 有（2）对********n|A(A)|=|A||(A)|=||A|E|=|A| *n-1|A|≠0|A|=|A|≠0, 于是可知若A 可逆, 所以, 从而有***n-1n-1n-1(n-1)|(A)|=|A|=(|A|)=|A| **(n-1)2若A不可逆, 则|(A)|=0=|A|22例7 设A、B是同阶方阵, 已知B是可逆矩阵, 且满足A+AB+B=O, 证明A和A+B 都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵.2|A*|(A)=A=|A|n-2AA**22A+AB=A(A+B)=-B 证因为, 由于2n2|A(A+B)|=|A||A+B|=|-B|=(-1)|B|≠0所以|A|≠0, |A+B|≠0因而有 A,A+B可逆.2-1-(B)A(A+B)=E 由2-1由 -A(A+B)(B)=E-12-1(A+B)=-(B)A 可知-12-1可知A=-(A+B)(B).例8 设A、B均是n阶方阵, 且-1E+AB可逆, 则E+BA也可逆, 并且-1(E+BA)=E-B(E+AB)A证考察两个矩阵的乘积因此(E+BA)可逆, 并且(E+BA)(E-B(E+AB)-1A)=E+BA-B(E+AB)-1A-BAB(E+AB)-1A-1-1=E+BA-B[(E+AB)A+AB(E+AB)A]-1=E+BA-B(E+AB)(E+AB)A=E+BA-BA=E例9 设n阶矩阵A、B和A+B均可逆, 证明：-1-1-1-1-1-1-1(A+B)=A(A+B)B=B(A+B)A A+B （1）也可逆, 且-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1(A+B)=A-A(A+B)A=B-B(A+B)B （2）(E+BA)-1=E-B(E+AB)-1A证（1）因为-1-1-1-1-1-1-1BA+B=AA(A+B)BB=A(A+B)两边取行列式有-1-1-1-1|A+B|=|A||A+B||B|-1因为-1-1故 A+B是可逆矩阵.-1|A|≠0 A+BA、B、可逆, 故|A-1+B-1|≠0|B-1|≠0|A+B|≠0所以有(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B -1-1-1=(E+BA)[B(A+B)]故(A+B)-1-1-1=A(A+B)-1B=(E+B-1A)(E+B-1A)-1=E同理可证（2）因为(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A.(A+B)[A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1]=(A+B)[A-1-A-1A(A+B)-1BA-1] -1(A+B)=(A+B-B)A-1=AA-1=I=A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1=(A+B)[I-(A+B)-1B]A-1故同理可证(A+B)-1=B-1-B-1(A-1+B-1)-1B-1.。