2019-2020学年福建省福州市格致中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={(x,y)|y 2<x}，B ={(x,y)|xy =−2，x ∈Z ，y ∈Z}，则A ∩B =( )A. ⌀B. {(2,−1)}C. {(−1,2)，(−2,1)}D. {(1,−2)，(−1,2)，(−2,1)}2. 已知函数f (x )={x +1x−2,x >2,x 2+2,x ≤2.则f [f (1)]=( )A. −12 B. 2C. 4D. 113. 若幂函数y =(m 2+3m +3)x m2+2m−3的图象不过原点，且关于原点对称，则m 的取值是( )A. m =−2B. m =−1C. m =−2或m =−1D. −3≤m ≤−1 4. 已知a =20.3，b =23，c =2−1，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A. c <b <aB. c <a <bC. b <a <cD. a <b <c 5. 用二分法求函数f(x)=2x −3的零点时，初始区间可选为( )A. (−1,0)B. (0,1)C. (2,3)D. (1,2) 6. 函数f(x)=√x +2+log 2(1−x)的定义域是( )A. [−1,2]B. [−2,1)C. [1,+∞)D. (−2,1)7. 已知a >0且a ≠1，若对任意的x ∈R ，y =√1−a |x|均有意义，则函数y =log a |1x |的大致图象是( )A.B.C.D.8. 已知函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，若关于x 的方程f(f(x))=m 有两个不同的实数根x 1，x 2，则x 1+x 2的取值范围为( )A. [2,3)B. (2,3)C. [2ln2,4)D. (2ln2,4)9. 函数f(x)是R 上的增函数，点A(0,−1)，B(3,1)是其图像上的两点，则|f(x +1)|<1的解集为( )A. (−∞,1]∪(4，+∞)B. (−∞,−1)∪[2，+∞)C. (−1,2)D. (1,4)10. 已知函数f(x)={(x +1)2+a,x >−1,6a x −1,x ≤−1,且对任意的实数x 1≠x 2，都有x 1−x 2f(x 1)−f(x 2)>0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. (1,32)B. (1,2)C. [2,+∞)D. [1,+∞)11. 若函数f(x)=ax+1x+2(a 为常数)，在(−2,2)内为增函数，则实数a 的取值范围( )A. (−∞,12) B. [12,+∞) C. (12,+∞) D. (−∞,12] 12. 函数f(x)=|3−x|+|x −7|的最小值为( )A. 10B. 3C. 7D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 不等式2<|2x +3|≤4的解集为________．14. 已知函数f(x)=x 2−2x +3在区间[0,m]上的值域是[2,3]，则实数m 的取值范围是________ 15. 设偶函数f (x )在区间[0,+∞)单调递增，则使得f(x)>f(2x −1)成立的x 的取值范围是 16. 已知函数f(x)=|x 2−3|+x 2+mx ，若方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. lg √10lg0.1；(2)已知a ，b ，c 为正实数，a x =b y =c z ，1x +1y +1z =0，求abc 的值．18. 已知全集U =R ，集合A ={x|x 2−4x ⩽0},B ={x|m ⩽x ⩽m +2}．(1)若m =3，求∁U B 和A ∪B ； (2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B =⌀，求实数m 的取值范围．19.如图，ΔOAB是边长为2的正三角形，记ΔOAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形的面积为f(t)，(1)求出函数f(t)的解析式；(2)画出函数y=f(t)的图像。

20.函数f(x)=ax−b9−x2是定义在(−3,3)上的奇函数，且f(1)=18．(1)求f(x)的解析式；(2)判断并证明f(x)的单调性；(3)解不等式f(t−1)+f(t)<021.设f(x)=x2+(5−6a)x+a−2．(1)若g(x)=f(x)+a2x为偶函数，求a的值；(2)若f(x)在(1,2)内是单调函数，求a的取值范围．22.对于定义在区间D上的函数f(x)，若任给x0∈D,均有f(x0)∈D,则称函数f(x)在区间D上封闭．(1)试判断f(x)=x−1在区间[−2,1]上是否封闭，并说明理由；(2)若函数g(x)=3x+a在区间[3,10]上封闭，求实数a的取值范围；x+1|在区间[a,b]上封闭？试证明你的结论．(3)已知a<b,是否存在a,b，使函数ℎ(x)=|1−1x-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了元素与集合关系和交集及其运算，属于基础题．利用交集的运算，结合元素与集合的关系计算得结论．【解答】解：因为B={(x,y)|xy=−2,x∈Z,y∈Z}={(1,−2),(−1,2),(2,−1),(−2,1)}，而A={(x,y)|y2<x}，因此(2,−1)∈A，所以A∩B={(2,−1)}．故选B．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查了分段函数的求值问题，属于基础题．【解答】解：∵函数f(x)={x+1x−2,x>2, x2+2,x≤2.则f(1)=1+2=3;f[f(1)]=f(3)=3+13−2=4;故选C．3.答案：A解析：解：由题意，m2+3m+3=1∴m2+3m+2=0∴m=−1或m=−2当m=−1时，幂函数为y=x−4，图象不过原点，但关于y轴对称，不合题意；当m=−2时，幂函数为y=x−3，图象不过原点，且关于原点对称，符合题意；故选：A．根据函数为幂函数，可知函数的系数为1，从而可求m的取值，再根据具体的幂函数，验证是否符合图象不过原点，且关于原点对称即可．本题以幂函数性质为载体，考查幂函数的解析式的求解．函数为幂函数，可知函数的系数为1是解题的关键．4.答案：B解析：【分析】本题主要考查指数函数的单调性，属于基础题．由题意利用指数函数的单调性，得出结论．【解答】解：∵函数y=2 x在R上单调递增，3>0.3>−1，a=2 0.3 ，b=2 3 ，c=2 −1，∴b>a>c，故选B．5.答案：D解析：解：函数f(x)=2x−3在区间(1,2)上连续且单调递增，f(1)=−1<0，f(2)=1>0，f(1)f(2)<0，故用二分法求函数f(x)=2x−3的零点时，初始的区间大致可选在(1,2)上．故选：D．函数f(x)=2x−3在区间(1,2)上连续且单调递增，f(1)=−1<0，f(2)=1>0，即可得出结论．本题主要考查函数的零点的定义，注意函数只有满足在零点两侧的函数值异号时，才可用二分法求函数f(x)的零点，属于基础题．6.答案：B解析： 【分析】本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件． 根据函数成立的条件，即可得到结论． 【解答】解：要使函数f(x)有意义，则{x +2≥01−x >0，即{x ≥−2x <1， 解得−2≤x <1， 故函数的定义域为[−2,1)， 故选：B ．7.答案：B解析： 【分析】本题考查函数图象及指数对数函数的性质，由已知得a 的范围，然后分析单调性求解即可． 【解答】解： 由对数函数的定义知a >0且a ≠1，函数y =log a |1x |的定义域(−∞,0)∪(0,+∞)， 当x ∈R,y =√1−a |x |均有意义，则1−a |x |≥0恒成立，可得0<a <1，又x >0时y =log a u ，因为u =1x 单调递减，y =log a u 单调递减，所以，由复合函数单调性可知y =log a 1x 单调递增，因为y =log a |1x |=log a 1|x |为偶函数，其图像应关于y 轴对称， 所以x <0时y =log a 1x 单调递减， 综上知，选项B 符合， 故选B ．8.答案：A解析：解：函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，的图象如下：当m ≥1时，f(t)=m ，有两个解t 1，t 2，其中t 1≤0，t 2≥2， f(x)=t 1有一个解，f(x)=t 2有两个解，不符合题意．当m <0时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈(0,1)，f(x)=t 有一个解，不符合题意．当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意． 可得1−x 1=log 2x 2=t ，且t ∈[1,2)， x 1+x 2=2t −t +1，令g(t)=2t −t +1，g′(t)=2t lnt −1>0， 故g(t)在[1,2)单调递增， ∴g(t)∈[2,3)． 故选：A ．画出函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，的图象，可求得当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意．可得1−x 1=log 2x =t ，且t ∈[1,2)，x 1+x 2=2t −t +1， 令g(t)=2t −t +1，利用导数求解．本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．9.答案：C解析： 【分析】本题考查函数的单调性的应用，以及绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想．由题意，得|f (x +1)|<1⇔−1<f (x +1)<1，即f (0)<f (x +1)<f (3)，根据f (x )为R 上的增函数，可得0<x +1<3，解出x ． 【解答】解：由题意知f(0)=−1,f(3)=1，又|f(x+1)|<1⇔−1<f(x+1)<1，即f(0)<f(x+1)<f(3).又f(x)为R上的增函数，∴0<x+1<3.∴−1<x<2，故选C．10.答案：C解析：【分析】本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力，考查逻辑推理、数学运算核心素养．因为对任意的实数x1≠x2，都有x1−x2f(x1)−f(x2)>0，所以函数f(x)为单调递增函数，所以a>1，且a≥ba−1，解出即可．【解答】解：因为对任意的实数x1≠x2，都有x1−x2f(x1)−f(x2)>0，所以函数f(x)为单调递增函数，所以a>1，且a≥ba−1，解得a≥2，故选C．11.答案：C解析：【分析】首先对已知函数进行化简，根据在(−2,2)内为增函数判断出a的取值范围．本题考查函数单调性的应用，通过对函数的分析，判断各部分的单调性，属于中档题．【解答】解：∵f(x)=ax+1x+2(a为常数)，而ax+1x+2=a(x+2)−2a+1x+2=a+−2a+1x+2．∵f(x)在(−2,2)内为增函数，而x+2为增函数，1x+2为减函数，∴要使f(x)在(−2,2)内为增函数，∴−2a+1<0，解得：a >12， 故答案为：C ．12.答案：D解析：【分析】本题考查分段函数的知识，属于基础题．通过３，７将函数分类讨论，求出每种情况的最小值，取取小值即可．【解答】解：当x ≥7时，f(x)=x −3+x −7=2x −10≥4; 当3<x <7时，f(x)=x −3+7−x =4; 当x ≤3时，f(x)=3−x +7−x =10−2x ≥4． 故函数f(x)=|3−x|+|x −7|的最小值为4．13.答案：{x|−12<x ≤12或−72≤x <−52}解析： 【分析】本题考查绝对值不等式的求解，属于基础题． 原不等式等价于{2<|2x +3||2x +3|≤4，解出即可．【解答】解：因为2<|2x +3|≤4，等价于{2<|2x +3||2x +3|≤4，又因为2<|2x +3|⇔2x +3<−2或2x +3>2⇔x <−52或x >−12; 且|2x +3|≤4⇔−4≤2x +3≤4⇔−72≤x ≤12; 所以解集为{x|−12<x ≤12或−72≤x <−52}. 故答案为{x|−12<x ≤12或−72≤x <−52}.14.答案：[1,2]解析： 【分析】本题考查二次函数的定义域与值域，可结合二次函数图象解题，属于基础题． 【解答】解：f(x)=(x −1)2+2的图象如图所示，由图，得1≤m≤2．故答案为[1,2]．15.答案：(13,1)解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，不等式的解法，属于中档题．【解答】解：因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调递增，所以f(x)>f(2x−1)成立可转化为：|x|>|2x−1|，解得x∈(13,1).故答案为(13,1).16.答案：(−294,−√3)解析：【分析】本题主要考查了函数零点与方程根的关系，分段函数性质，函数图像的运用，考查了数形结合思想，属于中档题．函数f(x)=|x2−3|+x2+mx=0，可化为|x2−3|+x2=−mx，记g(x)=|x2−3|+x2，x∈(0,4)，ℎ(x)=−mx，，x∈(0,4)，方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根，等价于函数g(x)与ℎ(x)图像在区间(0,4)上有两个不同的交点，作出函数图像进行分析即可求解．【解答】解：函数f(x)=|x2−3|+x2+mx=0，可化为|x2−3|+x2=−mx，记g(x)=|x2−3|+x2，x∈(0,4)，ℎ(x)=−mx，x∈(0,4)，方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根，等价于函数g(x)=|x2−3|+x2={3,0<x<√32x2−3,√3≤x<4与函数ℎ(x)=−mx图像在区间(0,4)上有两个不同的交点，作出函数g(x)，ℎ(x)在同一坐标系中的图像如下：结合函数图像可得：要使g(x)与ℎ(x)在(0,4)内有两个交点，则直线ℎ(x)的斜率−m 应在两虚直线斜率之间，即3√3<−m <294， 解得：−294<m <−√3，故答案为(−294,−√3)．17.答案：解：(1)原式=lg 8×1252×512lg10×(−lg10)=lg102−12=−4．(2)设a x =b y =c z =k(k >0)，则x =log a k ，y =log b k ，z =log c k.所以1x =log k a ，1y =log k b ，1z =log k c ．所以1x +1y +1z =log k a +log k b +log k c =log k (abc)=0．所以abc =1．解析：本题主要考查对数的运算性质、指数与对数互化，考查了运算能力．(1)利用对数的运算性质进行计算即可；(2)设a x =b y =c z =k(k >0)，指数与对数互化，则有，，再利用对数的运算性质进行计算即可．18.答案：解：(1)当m =3时，B ={x|3≤x ≤5}，∴C U B ={x|x <3或x >5}，集合A ={x|x 2−4x ≤0}={x|0≤x ≤4}，∴A ∪B ={x|0≤x ≤5}；(2)∵集合A ={x|0≤x ≤4}，B ={x|m ≤x ≤m +2}，B ⊆A ，∴{m ≥0m +2≤4，解得0≤m ≤2． ∴实数m 的取值范围[0,2]；(3)∵集合A ={x|0≤x ≤4}，B ={x|m ≤x ≤m +2}.A ∩B =⌀，∴m +2<0或m >4，解得m <−2或m >4．∴实数m 的取值范围(−∞,−2)∪(4,+∞)．解析：本题考查补集、并集、实数的范围的求法，考查补集、并集、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．(1)当m =3时，B ={x|3≤x ≤5}，集合A ={x|x 2−4x ≤0}={x|0≤x ≤4}，由此能求出∁U B 和A ∪B ．(2)由集合A ={x|0≤x ≤4}，B ={x|m ≤x ≤m +2}，B ⊆A ，列出不等式组，能求出实数m 的取值范围．(3)由集合A ={x|0≤x ≤4}，B ={x|m ≤x ≤m +2}，A ∩B =⌀，得到m +2<0或m >4，由此能求出实数m 的取值范围．19.答案：解：(1)当0<t ≤1时，如图，设直线x =t 与△OAB 分别交于C 、D 两点，则|OC|=t ， 又CD OC =BE OE =√3，∴|CD|=√3t ， ∴f(t)=12|OC|⋅|CD|=12⋅t ⋅√3t =√32t 2 当1<t ≤2时，如图，设直线x =t 与△OAB 分别交于M 、N 两点，则|AN|=2−t ，又|MN||AN|=|BE||AE|=√31=√3，∴|MN|=√3(2−t)∴f(t)=12⋅2⋅√3−12⋅|AN|⋅|MN|=√3−√32(2−t)2=−√32t 2+2√3t −√3 当t >2时，f(t)=√3综上所述f(t)={ √32t 2,0<t ≤1−√32t 2+2√3t −√3,1<t ≤2√3,t >2(2)由(1)可画函数y =f(t)的图像为解析：在求f(t)的解析式时，关键是要根据图象，对t 的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象．分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选相应的关系式．对于分段函数，注意处理好各段的端点． 20.答案：解：(1)∵函数f(x)=ax−b 9−x 2是定义在(−3,3)上的奇函数， ∴f(−x)=−f(x)，即 −ax−b9−x 2=−ax−b 9−x 2，∴−ax −b =−ax +b ，∴b =0，∵f(1)=18，∴a 9−1=18，解得a =1，∴f(x)=x 9−x 2.(2)f(x)在区间(−3,3)上是增函数．证明如下：在区间(−3,3)上任取x 1，x 2，令−3<x 1<x 2<3，∴f(x 1)−f(x 2)=x 19−x 12−x 29−x 22=(x 1−x 2)(9+x 1x 2)(9−x 12)(9−x 22)；∵−3<x 1<x 2<3，∴x 1−x 2<0，，9+x 1x 2>0，9−x 12>0，9−x 22>0，∴f(x 1)−f(x 2)<0即f(x 1)<f(x 2)，故函数f(x)在区间(−3,3)上是增函数．(3)∵f(x)是奇函数，∴不等式f(t −1)+f(t)<0等价为f(t −1)<−f(t)=f(−t)，∵函数f(x)在区间(−3,3)上是增函数，，解得−2<t <12，即不等式的解集为(−2,12). 解析：本题考查函数奇偶性与单调性的性质应用，着重考查学生理解函数奇偶性与用定义证明单调性及解方程，解不等式组的能力，属于中档题．(1)由f(−x)=−f(x)，代入可求b ，然后由f(1)=18可求a ，进而可求函数解析式；(2)先判断，然后利用函数单调性的定义进行证明；(3)利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可． 21.答案：解：(1)g(x)=f(x)+a 2x=x 2+(5−6a +a 2)x +a −2为偶函数，则5−6a +a 2=0，解得a =1或a =5;(2)∵f (x )对称轴为x =6a−52，又f (x )在(1,2)内是单调函数， ∴6a−52≥2或6a−52≤1，解得a ≥32或a ≤76，∴a 的取值范围为．解析：本题考查的是二次函数的性质，属于基础题．(1)利用二次函数为偶函数，一次项系数为零求解a 的值；(2)f (x )在(1,2)内是单调函数，对称轴为x =6a−52，满足6a−52≥2或6a−52≤1，求解即可．22.答案：解：(1)因为f(x)=x −1在区间[−2,1]上单调递增， 所以f(x)在[−2,1]上的值域为[−3,0]，而[−3,0]⊄[−2,1]，所以f(x)在区间[−2,1]上不是封闭的．(2)g(x)=3x+ax+1=3+a−3x+1． ①当a =3时，函数g(x)在[3,10]上的值域为{3}⊆[3,10]，适合题意；②当a >3时，函数g(x)在区间[3,10]上单调递减，故它在[3,10]上的值域为[30+a 11,9+a 4]， 由[30+a 11,9+a4] ⊆[3,10]得{30+a11⩾39+a4⩽10, 解得3≤a ≤31，故a 的取值范围3<a ≤31；③当a <3时，在区间[3,10]上有g(x)=3+a−3x+1<3，故g(x)不封闭，即a <3均不符合．综上所述，实数a 的取值范围是[3,31]．(3)作出函数ℎ(x)=|1−1x |的图象如图，则ℎ(x)≥0，当b <0时，定义域为[a,b]，则不满足条件，函数ℎ(x)的定义域为{x|x ≠0}，则必有a >0，当a ≥1时，函数ℎ(x)在[a,b]上为增函数， 此时ℎ(b)=|1−1b |=1−1b <1，此时函数的值域[ℎ(a),ℎ(b)]⊄[a,b]，此时不满足条件， 若0<a <1，b >1，此时函数在[a,b]上的最小值为ℎ(1)=0，而a >0，此时不满足条件， 若0<a <b <1，此时函数ℎ(x)在[a,b]上为减函数， 则函数的值域为[ℎ(b),ℎ(a)]，即函数的值域为[1b −1,1a −1]，若[1b −1,1a −1]⊆[a,b]，则满足{1b −1≥a 1a −1≤b ，即{1b ≥a +11a ≤b +1, 即{−1b ≤−a −11a ≤b +1，则1a −1b ≤b −a ， 即b−a ab ≤b −a ，则1ab ≤1，则ab ≥1，与0<a <b <1，ab <1矛盾，综上不存在a ，b ，使函数ℎ(x)=|1−1x |在区间[a,b]上封闭．解析：本题考查了创新问题专题，函数的单调性与单调区间，函数的定义域与值域，分类讨论思想，属于难题．(1)利用题目所给定义，结合利用函数单调性求值域计算得结论；(2)利用题目所给定义，结合对a 的讨论，利用函数单调性求值域计算得结论；(3)假设ℎ(x)=|1−1x |在区间[a,b]上封闭，作出函数ℎ(x)的图象，讨论a ，b 的取值范围，结合函数的单调性进行判断即可．。