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2019-2020学年福建省福州市格致中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年福建省福州市格致中学高一(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1. 已知集合A ={(x,y)|y 2<x},B ={(x,y)|xy =−2,x ∈Z ,y ∈Z},则A ∩B =( )A. ⌀B. {(2,−1)}C. {(−1,2),(−2,1)}D. {(1,−2),(−1,2),(−2,1)}2. 已知函数f (x )={x +1x−2,x >2,x 2+2,x ≤2.则f [f (1)]=( )A. −12 B. 2C. 4D. 113. 若幂函数y =(m 2+3m +3)x m2+2m−3的图象不过原点,且关于原点对称,则m 的取值是( )A. m =−2B. m =−1C. m =−2或m =−1D. −3≤m ≤−1 4. 已知a =20.3,b =23,c =2−1,那么a ,b ,c 的大小关系为( )A. c <b <aB. c <a <bC. b <a <cD. a <b <c 5. 用二分法求函数f(x)=2x −3的零点时,初始区间可选为( )A. (−1,0)B. (0,1)C. (2,3)D. (1,2) 6. 函数f(x)=√x +2+log 2(1−x)的定义域是( )A. [−1,2]B. [−2,1)C. [1,+∞)D. (−2,1)7. 已知a >0且a ≠1,若对任意的x ∈R ,y =√1−a |x|均有意义,则函数y =log a |1x |的大致图象是( )A.B.C.D.8. 已知函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0,若关于x 的方程f(f(x))=m 有两个不同的实数根x 1,x 2,则x 1+x 2的取值范围为( )A. [2,3)B. (2,3)C. [2ln2,4)D. (2ln2,4)9. 函数f(x)是R 上的增函数,点A(0,−1),B(3,1)是其图像上的两点,则|f(x +1)|<1的解集为( )A. (−∞,1]∪(4,+∞)B. (−∞,−1)∪[2,+∞)C. (−1,2)D. (1,4)10. 已知函数f(x)={(x +1)2+a,x >−1,6a x −1,x ≤−1,且对任意的实数x 1≠x 2,都有x 1−x 2f(x 1)−f(x 2)>0恒成立,则实数a 的取值范围是( )A. (1,32)B. (1,2)C. [2,+∞)D. [1,+∞)11. 若函数f(x)=ax+1x+2(a 为常数),在(−2,2)内为增函数,则实数a 的取值范围( )A. (−∞,12) B. [12,+∞) C. (12,+∞) D. (−∞,12] 12. 函数f(x)=|3−x|+|x −7|的最小值为( )A. 10B. 3C. 7D. 4二、填空题(本大题共4小题,共20.0分) 13. 不等式2<|2x +3|≤4的解集为________.14. 已知函数f(x)=x 2−2x +3在区间[0,m]上的值域是[2,3],则实数m 的取值范围是________ 15. 设偶函数f (x )在区间[0,+∞)单调递增,则使得f(x)>f(2x −1)成立的x 的取值范围是 16. 已知函数f(x)=|x 2−3|+x 2+mx ,若方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根,则实数m的取值范围是________.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分) 17. lg √10lg0.1;(2)已知a ,b ,c 为正实数,a x =b y =c z ,1x +1y +1z =0,求abc 的值.18. 已知全集U =R ,集合A ={x|x 2−4x ⩽0},B ={x|m ⩽x ⩽m +2}.(1)若m =3,求∁U B 和A ∪B ; (2)若B ⊆A ,求实数m 的取值范围; (3)若A ∩B =⌀,求实数m 的取值范围.19.如图,ΔOAB是边长为2的正三角形,记ΔOAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形的面积为f(t),(1)求出函数f(t)的解析式;(2)画出函数y=f(t)的图像。

20.函数f(x)=ax−b9−x2是定义在(−3,3)上的奇函数,且f(1)=18.(1)求f(x)的解析式;(2)判断并证明f(x)的单调性;(3)解不等式f(t−1)+f(t)<021.设f(x)=x2+(5−6a)x+a−2.(1)若g(x)=f(x)+a2x为偶函数,求a的值;(2)若f(x)在(1,2)内是单调函数,求a的取值范围.22.对于定义在区间D上的函数f(x),若任给x0∈D,均有f(x0)∈D,则称函数f(x)在区间D上封闭.(1)试判断f(x)=x−1在区间[−2,1]上是否封闭,并说明理由;(2)若函数g(x)=3x+a在区间[3,10]上封闭,求实数a的取值范围;x+1|在区间[a,b]上封闭?试证明你的结论.(3)已知a<b,是否存在a,b,使函数ℎ(x)=|1−1x-------- 答案与解析 --------1.答案:B解析:【分析】本题考查了元素与集合关系和交集及其运算,属于基础题.利用交集的运算,结合元素与集合的关系计算得结论.【解答】解:因为B={(x,y)|xy=−2,x∈Z,y∈Z}={(1,−2),(−1,2),(2,−1),(−2,1)},而A={(x,y)|y2<x},因此(2,−1)∈A,所以A∩B={(2,−1)}.故选B.2.答案:C解析:【分析】本题主要考查了分段函数的求值问题,属于基础题.【解答】解:∵函数f(x)={x+1x−2,x>2, x2+2,x≤2.则f(1)=1+2=3;f[f(1)]=f(3)=3+13−2=4;故选C.3.答案:A解析:解:由题意,m2+3m+3=1∴m2+3m+2=0∴m=−1或m=−2当m=−1时,幂函数为y=x−4,图象不过原点,但关于y轴对称,不合题意;当m=−2时,幂函数为y=x−3,图象不过原点,且关于原点对称,符合题意;故选:A.根据函数为幂函数,可知函数的系数为1,从而可求m的取值,再根据具体的幂函数,验证是否符合图象不过原点,且关于原点对称即可.本题以幂函数性质为载体,考查幂函数的解析式的求解.函数为幂函数,可知函数的系数为1是解题的关键.4.答案:B解析:【分析】本题主要考查指数函数的单调性,属于基础题.由题意利用指数函数的单调性,得出结论.【解答】解:∵函数y=2 x在R上单调递增,3>0.3>−1,a=2 0.3 ,b=2 3 ,c=2 −1,∴b>a>c,故选B.5.答案:D解析:解:函数f(x)=2x−3在区间(1,2)上连续且单调递增,f(1)=−1<0,f(2)=1>0,f(1)f(2)<0,故用二分法求函数f(x)=2x−3的零点时,初始的区间大致可选在(1,2)上.故选:D.函数f(x)=2x−3在区间(1,2)上连续且单调递增,f(1)=−1<0,f(2)=1>0,即可得出结论.本题主要考查函数的零点的定义,注意函数只有满足在零点两侧的函数值异号时,才可用二分法求函数f(x)的零点,属于基础题.6.答案:B解析: 【分析】本题主要考查函数定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件. 根据函数成立的条件,即可得到结论. 【解答】解:要使函数f(x)有意义,则{x +2≥01−x >0,即{x ≥−2x <1, 解得−2≤x <1, 故函数的定义域为[−2,1), 故选:B .7.答案:B解析: 【分析】本题考查函数图象及指数对数函数的性质,由已知得a 的范围,然后分析单调性求解即可. 【解答】解: 由对数函数的定义知a >0且a ≠1,函数y =log a |1x |的定义域(−∞,0)∪(0,+∞), 当x ∈R,y =√1−a |x |均有意义,则1−a |x |≥0恒成立,可得0<a <1,又x >0时y =log a u ,因为u =1x 单调递减,y =log a u 单调递减,所以,由复合函数单调性可知y =log a 1x 单调递增,因为y =log a |1x |=log a 1|x |为偶函数,其图像应关于y 轴对称, 所以x <0时y =log a 1x 单调递减, 综上知,选项B 符合, 故选B .8.答案:A解析:解:函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0,的图象如下:当m ≥1时,f(t)=m ,有两个解t 1,t 2,其中t 1≤0,t 2≥2, f(x)=t 1有一个解,f(x)=t 2有两个解,不符合题意.当m <0时,f(t)=m ,有一个解t ,且t ∈(0,1),f(x)=t 有一个解,不符合题意.当0≤m <1时,f(t)=m ,有一个解t ,且t ∈[1,2),f(x)=t 两个不同的实数根x 1,x 2,符合题意. 可得1−x 1=log 2x 2=t ,且t ∈[1,2), x 1+x 2=2t −t +1,令g(t)=2t −t +1,g′(t)=2t lnt −1>0, 故g(t)在[1,2)单调递增, ∴g(t)∈[2,3). 故选:A .画出函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0,的图象,可求得当0≤m <1时,f(t)=m ,有一个解t ,且t ∈[1,2),f(x)=t 两个不同的实数根x 1,x 2,符合题意.可得1−x 1=log 2x =t ,且t ∈[1,2),x 1+x 2=2t −t +1, 令g(t)=2t −t +1,利用导数求解.本题考查了函数与方程思想、数形结合思想,属于中档题.9.答案:C解析: 【分析】本题考查函数的单调性的应用,以及绝对值不等式的解法,体现了转化的数学思想.由题意,得|f (x +1)|<1⇔−1<f (x +1)<1,即f (0)<f (x +1)<f (3),根据f (x )为R 上的增函数,可得0<x +1<3,解出x . 【解答】解:由题意知f(0)=−1,f(3)=1,又|f(x+1)|<1⇔−1<f(x+1)<1,即f(0)<f(x+1)<f(3).又f(x)为R上的增函数,∴0<x+1<3.∴−1<x<2,故选C.10.答案:C解析:【分析】本题考查分段函数的单调性,考查运算求解能力,考查逻辑推理、数学运算核心素养.因为对任意的实数x1≠x2,都有x1−x2f(x1)−f(x2)>0,所以函数f(x)为单调递增函数,所以a>1,且a≥ba−1,解出即可.【解答】解:因为对任意的实数x1≠x2,都有x1−x2f(x1)−f(x2)>0,所以函数f(x)为单调递增函数,所以a>1,且a≥ba−1,解得a≥2,故选C.11.答案:C解析:【分析】首先对已知函数进行化简,根据在(−2,2)内为增函数判断出a的取值范围.本题考查函数单调性的应用,通过对函数的分析,判断各部分的单调性,属于中档题.【解答】解:∵f(x)=ax+1x+2(a为常数),而ax+1x+2=a(x+2)−2a+1x+2=a+−2a+1x+2.∵f(x)在(−2,2)内为增函数,而x+2为增函数,1x+2为减函数,∴要使f(x)在(−2,2)内为增函数,∴−2a+1<0,解得:a >12, 故答案为:C .12.答案:D解析:【分析】本题考查分段函数的知识,属于基础题.通过3,7将函数分类讨论,求出每种情况的最小值,取取小值即可.【解答】解:当x ≥7时,f(x)=x −3+x −7=2x −10≥4; 当3<x <7时,f(x)=x −3+7−x =4; 当x ≤3时,f(x)=3−x +7−x =10−2x ≥4. 故函数f(x)=|3−x|+|x −7|的最小值为4.13.答案:{x|−12<x ≤12或−72≤x <−52}解析: 【分析】本题考查绝对值不等式的求解,属于基础题. 原不等式等价于{2<|2x +3||2x +3|≤4,解出即可.【解答】解:因为2<|2x +3|≤4,等价于{2<|2x +3||2x +3|≤4,又因为2<|2x +3|⇔2x +3<−2或2x +3>2⇔x <−52或x >−12; 且|2x +3|≤4⇔−4≤2x +3≤4⇔−72≤x ≤12; 所以解集为{x|−12<x ≤12或−72≤x <−52}. 故答案为{x|−12<x ≤12或−72≤x <−52}.14.答案:[1,2]解析: 【分析】本题考查二次函数的定义域与值域,可结合二次函数图象解题,属于基础题. 【解答】解:f(x)=(x −1)2+2的图象如图所示,由图,得1≤m≤2.故答案为[1,2].15.答案:(13,1)解析:【分析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性,不等式的解法,属于中档题.【解答】解:因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调递增,所以f(x)>f(2x−1)成立可转化为:|x|>|2x−1|,解得x∈(13,1).故答案为(13,1).16.答案:(−294,−√3)解析:【分析】本题主要考查了函数零点与方程根的关系,分段函数性质,函数图像的运用,考查了数形结合思想,属于中档题.函数f(x)=|x2−3|+x2+mx=0,可化为|x2−3|+x2=−mx,记g(x)=|x2−3|+x2,x∈(0,4),ℎ(x)=−mx,,x∈(0,4),方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根,等价于函数g(x)与ℎ(x)图像在区间(0,4)上有两个不同的交点,作出函数图像进行分析即可求解.【解答】解:函数f(x)=|x2−3|+x2+mx=0,可化为|x2−3|+x2=−mx,记g(x)=|x2−3|+x2,x∈(0,4),ℎ(x)=−mx,x∈(0,4),方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根,等价于函数g(x)=|x2−3|+x2={3,0<x<√32x2−3,√3≤x<4与函数ℎ(x)=−mx图像在区间(0,4)上有两个不同的交点,作出函数g(x),ℎ(x)在同一坐标系中的图像如下:结合函数图像可得:要使g(x)与ℎ(x)在(0,4)内有两个交点,则直线ℎ(x)的斜率−m 应在两虚直线斜率之间,即3√3<−m <294, 解得:−294<m <−√3,故答案为(−294,−√3).17.答案:解:(1)原式=lg 8×1252×512lg10×(−lg10)=lg102−12=−4.(2)设a x =b y =c z =k(k >0),则x =log a k ,y =log b k ,z =log c k.所以1x =log k a ,1y =log k b ,1z =log k c .所以1x +1y +1z =log k a +log k b +log k c =log k (abc)=0.所以abc =1.解析:本题主要考查对数的运算性质、指数与对数互化,考查了运算能力.(1)利用对数的运算性质进行计算即可;(2)设a x =b y =c z =k(k >0),指数与对数互化,则有,,再利用对数的运算性质进行计算即可.18.答案:解:(1)当m =3时,B ={x|3≤x ≤5},∴C U B ={x|x <3或x >5},集合A ={x|x 2−4x ≤0}={x|0≤x ≤4},∴A ∪B ={x|0≤x ≤5};(2)∵集合A ={x|0≤x ≤4},B ={x|m ≤x ≤m +2},B ⊆A ,∴{m ≥0m +2≤4,解得0≤m ≤2. ∴实数m 的取值范围[0,2];(3)∵集合A ={x|0≤x ≤4},B ={x|m ≤x ≤m +2}.A ∩B =⌀,∴m +2<0或m >4,解得m <−2或m >4.∴实数m 的取值范围(−∞,−2)∪(4,+∞).解析:本题考查补集、并集、实数的范围的求法,考查补集、并集、交集等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.(1)当m =3时,B ={x|3≤x ≤5},集合A ={x|x 2−4x ≤0}={x|0≤x ≤4},由此能求出∁U B 和A ∪B .(2)由集合A ={x|0≤x ≤4},B ={x|m ≤x ≤m +2},B ⊆A ,列出不等式组,能求出实数m 的取值范围.(3)由集合A ={x|0≤x ≤4},B ={x|m ≤x ≤m +2},A ∩B =⌀,得到m +2<0或m >4,由此能求出实数m 的取值范围.19.答案:解:(1)当0<t ≤1时,如图,设直线x =t 与△OAB 分别交于C 、D 两点,则|OC|=t , 又CD OC =BE OE =√3,∴|CD|=√3t , ∴f(t)=12|OC|⋅|CD|=12⋅t ⋅√3t =√32t 2 当1<t ≤2时,如图,设直线x =t 与△OAB 分别交于M 、N 两点,则|AN|=2−t ,又|MN||AN|=|BE||AE|=√31=√3,∴|MN|=√3(2−t)∴f(t)=12⋅2⋅√3−12⋅|AN|⋅|MN|=√3−√32(2−t)2=−√32t 2+2√3t −√3 当t >2时,f(t)=√3综上所述f(t)={ √32t 2,0<t ≤1−√32t 2+2√3t −√3,1<t ≤2√3,t >2(2)由(1)可画函数y =f(t)的图像为解析:在求f(t)的解析式时,关键是要根据图象,对t 的取值进行恰当的分类,然后分类讨论,给出分段函数的解析式后,再根据解析式画出函数的图象.分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的,处理分段函数的问题时,首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段,从而选相应的关系式.对于分段函数,注意处理好各段的端点. 20.答案:解:(1)∵函数f(x)=ax−b 9−x 2是定义在(−3,3)上的奇函数, ∴f(−x)=−f(x),即 −ax−b9−x 2=−ax−b 9−x 2,∴−ax −b =−ax +b ,∴b =0,∵f(1)=18,∴a 9−1=18,解得a =1,∴f(x)=x 9−x 2.(2)f(x)在区间(−3,3)上是增函数.证明如下:在区间(−3,3)上任取x 1,x 2,令−3<x 1<x 2<3,∴f(x 1)−f(x 2)=x 19−x 12−x 29−x 22=(x 1−x 2)(9+x 1x 2)(9−x 12)(9−x 22);∵−3<x 1<x 2<3,∴x 1−x 2<0,,9+x 1x 2>0,9−x 12>0,9−x 22>0,∴f(x 1)−f(x 2)<0即f(x 1)<f(x 2),故函数f(x)在区间(−3,3)上是增函数.(3)∵f(x)是奇函数,∴不等式f(t −1)+f(t)<0等价为f(t −1)<−f(t)=f(−t),∵函数f(x)在区间(−3,3)上是增函数,,解得−2<t <12,即不等式的解集为(−2,12). 解析:本题考查函数奇偶性与单调性的性质应用,着重考查学生理解函数奇偶性与用定义证明单调性及解方程,解不等式组的能力,属于中档题.(1)由f(−x)=−f(x),代入可求b ,然后由f(1)=18可求a ,进而可求函数解析式;(2)先判断,然后利用函数单调性的定义进行证明;(3)利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可. 21.答案:解:(1)g(x)=f(x)+a 2x=x 2+(5−6a +a 2)x +a −2为偶函数,则5−6a +a 2=0,解得a =1或a =5;(2)∵f (x )对称轴为x =6a−52,又f (x )在(1,2)内是单调函数, ∴6a−52≥2或6a−52≤1,解得a ≥32或a ≤76,∴a 的取值范围为.解析:本题考查的是二次函数的性质,属于基础题.(1)利用二次函数为偶函数,一次项系数为零求解a 的值;(2)f (x )在(1,2)内是单调函数,对称轴为x =6a−52,满足6a−52≥2或6a−52≤1,求解即可.22.答案:解:(1)因为f(x)=x −1在区间[−2,1]上单调递增, 所以f(x)在[−2,1]上的值域为[−3,0],而[−3,0]⊄[−2,1],所以f(x)在区间[−2,1]上不是封闭的.(2)g(x)=3x+ax+1=3+a−3x+1. ①当a =3时,函数g(x)在[3,10]上的值域为{3}⊆[3,10],适合题意;②当a >3时,函数g(x)在区间[3,10]上单调递减,故它在[3,10]上的值域为[30+a 11,9+a 4], 由[30+a 11,9+a4] ⊆[3,10]得{30+a11⩾39+a4⩽10, 解得3≤a ≤31,故a 的取值范围3<a ≤31;③当a <3时,在区间[3,10]上有g(x)=3+a−3x+1<3,故g(x)不封闭,即a <3均不符合.综上所述,实数a 的取值范围是[3,31].(3)作出函数ℎ(x)=|1−1x |的图象如图,则ℎ(x)≥0,当b <0时,定义域为[a,b],则不满足条件,函数ℎ(x)的定义域为{x|x ≠0},则必有a >0,当a ≥1时,函数ℎ(x)在[a,b]上为增函数, 此时ℎ(b)=|1−1b |=1−1b <1,此时函数的值域[ℎ(a),ℎ(b)]⊄[a,b],此时不满足条件, 若0<a <1,b >1,此时函数在[a,b]上的最小值为ℎ(1)=0,而a >0,此时不满足条件, 若0<a <b <1,此时函数ℎ(x)在[a,b]上为减函数, 则函数的值域为[ℎ(b),ℎ(a)],即函数的值域为[1b −1,1a −1],若[1b −1,1a −1]⊆[a,b],则满足{1b −1≥a 1a −1≤b ,即{1b ≥a +11a ≤b +1, 即{−1b ≤−a −11a ≤b +1,则1a −1b ≤b −a , 即b−a ab ≤b −a ,则1ab ≤1,则ab ≥1,与0<a <b <1,ab <1矛盾,综上不存在a ,b ,使函数ℎ(x)=|1−1x |在区间[a,b]上封闭.解析:本题考查了创新问题专题,函数的单调性与单调区间,函数的定义域与值域,分类讨论思想,属于难题.(1)利用题目所给定义,结合利用函数单调性求值域计算得结论;(2)利用题目所给定义,结合对a 的讨论,利用函数单调性求值域计算得结论;(3)假设ℎ(x)=|1−1x |在区间[a,b]上封闭,作出函数ℎ(x)的图象,讨论a ,b 的取值范围,结合函数的单调性进行判断即可.。

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