第五章成本论1. 表5—1(即教材第147页的表5—2)是一张关于短期生产函数Q＝f(L， eq \o(K,\s\up6(－)) )的产量表：表5—(2)根据(1)，在一张坐标图上作出TP L曲线，在另一张坐标图上作出AP L曲线和MP L曲线。
(提示：为了便于作图与比较，TP L曲线图的纵坐标的刻度单位大于AP L曲线图和MP L 曲线图。
)(3)根据(1)，并假定劳动的价格w＝200，完成下面相应的短期成本表，即表5—2(即教材第147页的表5—3)。
线和MC曲线。
(提示：为了便于作图与比较，TVC曲线图的纵坐标的单位刻度大于A VC 曲线图和MC曲线图。
)(5)根据(2)、(4)，说明短期生产曲线和短期成本曲线之间的关系。
解答：(1)经填空完成的短期生产的产量表如表5—3所示：L L L所示。
图5—1(3)令劳动的价格w＝200，与(1)中的短期生产的产量表相对应的短期生产的成本表如表5—4所示：所示：图5—2(5)公式A VC＝ eq \f(w,AP L) 和MC＝ eq \f(w,MP L) 已经清楚表明：在w给定的条件下，A VC值和AP L值成相反方向的变化，MC值和MP L值也成相反方向的变化。
换言之，与由边际报酬递减规律决定的先递增后递减的MP L值相对应的是先递减后递增的MC 值；与先递增后递减的AP L值相对应的是先递减后递增的A VC值。
而且，AP L的最大值与A VC的最小值相对应；MP L的最大值与MC的最小值相对应。
以上关系在(2)中的图5—1和(4)中的图5—2中得到体现。
在产量曲线图5—1中，MP L 曲线和AP L曲线都是先上升各自达到最高点以后再下降，且AP L曲线与MP L曲线相交于AP L 曲线的最高点。
相应地，在成本曲线图5—2中，MC曲线和A VC曲线便都是先下降各自达到最低点以后再上升，且A VC曲线与MC曲线相交于A VC曲线的最低点。
此外，在产量曲线图5—1中，用MP L曲线先上升后下降的特征所决定的TP L曲线的斜率是先递增，经拐点之后再递减。
相对应地，在成本曲线图5—2中，由MC曲线先下降后上升的特征所决定的TVC曲线的斜率是先递减，经拐点之后再递增。
1总之，通过读者亲自动手编制产量表和相应的成本表，并在此基础上绘制产量曲线和相应的成本曲线，就能够更好地理解短期生产函数及其曲线与短期成本函数及其曲线之间的关系。
2. 图5—3(即教材第148页的图5—15)是某厂商的LAC曲线和LMC曲线图。
1由于图5—1和图5—2中的坐标点不是连续绘制的，所以，曲线的特征及其相互之间的数量关系在图中只能是一种近似的表示。
图5—3请分别在Q1和Q2的产量上画出代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线。
解答：本题的作图结果见图5—4。
图5—43. 假定某企业的短期成本函数是TC(Q)＝Q3－5Q2＋15Q＋66。
(1)指出该短期成本函数中的可变成本部分和不变成本部分；(2)写出下列相应的函数：TVC(Q)、AC(Q)、A VC(Q)、AFC(Q)和MC(Q)。
解答：(1)在短期成本函数TC(Q)＝Q3－5Q2＋15Q＋66中，可变成本部分为TVC(Q)＝Q3－5Q2＋15Q；不变成本部分为TFC＝66。
(2)根据已知条件和(1)，可以得到以下相应的各类短期成本函数TVC(Q)＝Q3－5Q2＋15QAC(Q)＝ eq \f(TC(Q),Q) ＝ eq \f(Q3－5Q2＋15Q＋66,Q) ＝Q2－5Q＋15＋eq \f(66,Q)A VC(Q)＝ eq \f(TVC(Q),Q) ＝ eq \f(Q3－5Q2＋15Q,Q) ＝Q2－5Q＋15AFC(Q)＝ eq \f(TFC,Q) ＝ eq \f(66,Q)MC(Q)＝ eq \f(d TC(Q),d Q) ＝3Q2－10Q＋154. 已知某企业的短期总成本函数是STC(Q)＝0.04Q3－0.8Q2＋10Q＋5，求最小的平均可变成本值。
解答：根据题意，可知A VC(Q)＝ eq \f(TVC(Q),Q) ＝0.04Q2－0.8Q＋10。
因为当平均可变成本A VC函数达到最小值时，一定有 eq \f(d A VC,d Q) ＝0。
故令eq \f(d AVC,d Q) ＝0，有 eq \f(d A VC,d Q) ＝0.08Q－0.8＝0，解得Q＝10。
又由于 eq \f(d2A VC,d Q2) ＝0.08＞0，所以，当Q＝10时，A VC(Q)达到最小值。
最后，以Q＝10代入平均可变成本函数A VC(Q)＝0.04Q2－0.8Q＋10，得A VC＝0.04×102－0.8×10＋10＝6。
这就是说，当产量Q＝10时，平均可变成本A VC(Q)达到最小值，其最小值为6。
5. 假定某厂商的边际成本函数MC＝3Q2－30Q＋100，且生产10单位产量时的总成本为1 000。
求：(1)固定成本的值。
(2)总成本函数、总可变成本函数，以及平均成本函数、平均可变成本函数。
解答：(1)根据边际成本函数和总成本函数之间的关系，由边际成本函数MC＝3Q2－30Q ＋100积分可得总成本函数，即有TC＝∫(3Q2－30Q＋100)d Q＝Q3－15Q2＋100Q＋α(常数)又因为根据题意有Q＝10时的TC＝1 000，所以有TC＝103－15×102＋100×10＋α＝1 000解得α＝500所以，当总成本为1 000时，生产10单位产量的总固定成本TFC＝α＝500。
(2)由(1)，可得TC(Q)＝Q3－15Q2＋100Q＋500TVC(Q)＝Q3－15Q2＋100QAC(Q)＝ eq \f(TC(Q),Q) ＝Q2－15Q＋100＋ eq \f(500,Q)A VC(Q)＝ eq \f(TVC(Q),Q) ＝Q2－15Q＋1006.假定生产某产品的边际成本函数为MC＝110＋0.04Q。
求：当产量从100增加到200时总成本的变化量。
解答：因为TC＝∫MC(Q)d Q所以，当产量从100增加到200时，总成本的变化量为ΔTC＝∫ eq \o\al(200,100) MC(Q)d(Q)＝∫ eq \o\al(200,100) (110＋0.04Q)d Q ＝(110Q＋0.02Q2) eq \o\al(200,100)＝(110×200＋0.02×2002)－(110×100＋0.02×1002)＝22 800－11 200＝11 6007. 某公司用两个工厂生产一种产品，其总成本函数为C＝2Q eq \o\al(2,1) ＋Q eq \o\al(2,2) －Q1Q2，其中Q1表示第一个工厂生产的产量，Q2表示第二个工厂生产的产量。
求：当公司生产的产量为40时能够使得公司生产成本最小的两工厂的产量组合。
解答：此题可以用两种方法来求解。
第一种方法：当一个厂商用两个工厂生产同一种产品时，他必须使得两个工厂生产的边际成本相等，即MC1＝MC2，才能实现成本最小的产量组合。
根据题意，第一个工厂生产的边际成本函数为MC1＝ eq \f(∂C,∂Q1) ＝4Q1－Q2第二个工厂生产的边际成本函数为MC2＝ eq \f(∂C,∂Q2) ＝2Q2－Q1于是，由MC1＝MC2的原则，得4Q1－Q2＝2Q2－Q1即Q1＝ eq \f(3,5) Q2(1)又因为Q＝Q1＋Q2＝40，于是，将式(1)代入有eq \f(3,5) Q2＋Q2＝40Q eq \o\al(*,2) ＝25再由Q1＝ eq \f(3,5) Q2，有Q eq \o\al(*,1) ＝15。
第二种方法：运用拉格朗日函数法来求解。
eq \o(min,\s\do4(Q1，Q2)) C＝2Q eq \o\al(2,1) ＋Q eq \o\al(2,2) －Q1Q2s.t.Q1＋Q2＝40L(Q1，Q2，λ)＝2Q eq \o\al(2,1) ＋Q eq \o\al(2,2) －Q1Q2＋λ(40－Q1－Q2)将以上拉格朗日函数分别对Q1、Q2和λ求偏导，得最小值的一阶条件为eq \f(∂L,∂Q1) ＝4Q1－Q2－λ＝0(1)eq \f(∂L,∂Q2) ＝2Q2－Q1－λ＝0(2)eq \f(∂L,∂λ) ＝40－Q1－Q2＝0(3)由式(1)、式(2)可得4Q1－Q2＝2Q2－Q15Q1＝3Q2Q1＝ eq \f(3,5) Q2将Q1＝ eq \f(3,5) Q2代入式(3)，得40－ eq \f(3,5) Q2－Q2＝0解得Q eq \o\al(*,2) ＝25再由Q1＝ eq \f(3,5) Q2，得Q eq \o\al(*,1) ＝15。
在此略去关于成本最小化二阶条件的讨论。
稍加分析便可以看到，以上的第一种和第二种方法的实质是相同的，都强调了MC1＝MC2的原则和Q1＋Q2＝40的约束条件。
自然，两种方法的计算结果也是相同的：当厂商以产量组合(Q eq \o\al(*,1) ＝15，Q eq \o\al(*,2) ＝25)来生产产量Q＝40时，其生产成本是最小的。
8. 已知生产函数Q＝A1/4L1/4K1/2；各要素价格分别为P A＝1，P L＝1，P K＝2；假定厂商处于短期生产，且 eq \o(K,\s\up6(－)) ＝16。
推导：该厂商短期生产的总成本函数和平均成本函数；总可变成本函数和平均可变成本函数；边际成本函数。
解答：本题应先运用拉格朗日函数法，推导出总成本函数TC(Q)，然后再推导出相应的其他各类函数。
具体地看，由于是短期生产，且 eq \o(K,\s\up6(－)) ＝16，P A＝1，P L＝1，P K＝2，故总成本等式C＝P A·A＋P L·L＋P K· eq \o(K,\s\up6(－)) 可以写成C＝1·A＋1·L＋32＝A＋L＋32生产函数Q＝A eq \f(1,4) L eq \f(1,4) K eq \f(1,2) 可以写成Q＝A eq \f(1,4) L eq \f(1,4) (16) eq \f(1,2) ＝4A eq \f(1,4) Leq \f(1,4)而且，所谓的成本函数是指相对于给定产量而言的最小成本。
因此，根据以上的内容，相应的拉格朗日函数法表述如下mi eq \o(n,\s\do4(A，L)) A＋L＋32s.t.4A1/4L1/4＝Q(其中，Q为常数)L(A，L，λ)＝A＋L＋32＋λ(Q－4A1/4L1/4)将以上拉格朗日函数分别对A、L、λ求偏导，得最小值的一阶条件为eq \f(∂L,∂A) ＝1－λA－ eq \f(3,4) L eq \f(1,4) ＝0(1)eq \f(∂L,∂L) ＝1－λA eq \f(1,4) L－ eq \f(3,4) ＝0(2)eq \f(∂L,∂λ) ＝Q－4A eq \f(1,4) L eq \f(1,4) ＝0(3)由式(1)、式(2)可得eq \f(L,A) ＝ eq \f(1,1)即L＝A将L＝A代入约束条件即式(3)，得Q－4A eq \f(1,4) A eq \f(1,4) ＝0解得A*＝ eq \f(Q2,16)且L*＝ eq \f(Q2,16)在此略去关于成本最小化问题的二阶条件的讨论。