函数的奇偶性1 .函数f (x) =x(-1 < x三1)的奇偶性是( )A .奇函数非偶函数B .偶函数非奇函数C .奇函数且偶函数D .非奇非偶函数2. 已知函数f(x) =ax2+ bx + c (a工0)是偶函数，那么g(x) =ax3+ bx2+ ex 是()A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数3. 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0］上是减函数，且f(2)=0，贝U使得f(x)<0的x的取值范围是()A.(- 乂2)B. (2,+ £C. (- M-2) e(2,+ £D. (-2,2)4 .已知函数f(x)是定义在(一％，+ %)上的偶函数.当x € ( —X ,0)时，f(x)=x-x4，则当x € (0.+ g)时，f(x)= __________ .5. 判断下列函数的奇偶性：⑴f(x)二lg( x21-x);(2) f(x)=x 2+ 2 xx(1 x) (x 0),⑶ f (x) = x(1 x) (x 0).6. 已知g(x)= —x2—3, f(x)是二次函数，当x € ［-1,2］时，f(x)的最小值是1，且f(x)+g(x) 是奇函数，求f(x)的表达式。
7. 定义在(-1 , 1 )上的奇函数f (x)是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求a的取值范围ax2 18. 已知函数f(x) (a,b,c N)是奇函数，f(1) 2, f(2) 3,且f (x)在［1,)上是bx c增函数，(1)求a,b,c的值;⑵当x €［-1,0)时,讨论函数的单调性.9. 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)= log 2 3且对任意x ,y € R都有f(x+y )=f(x)+f(y).(1) 求证f(x)为奇函数；(2) 若f(k • 3x )+f(3 x -9 x -2) v 0对任意x € R恒成立，求实数k的取值范围.10下列四个命题：(1) f (x) =1是偶函数；(2)g (x) =x3, x € (— 1 , 1 ］是奇函数；(3)若f (x)是奇函数，g (x)是偶函数，贝U H (x) =f (x) • g (x)一定是奇函数；(4)函数y=f (| x| )的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是( )A. 1 B . 2 C . 3 D . 411下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是()A. f(x) sinxB. f(x) x 1C. f(x) 1a x a xD. f (x) In 2 2 x12若y=f (x) (x € R)是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y=f (x)上的是( )C - ( —iga，— f(ig 丄))D - ( —a，—f(a))a13. 已知f (x) =x4+ax3+bx —8，且f ( —2) =10，则f (2) = _____________ 。
A. (a，f(一a)) B . ( —sin a，—f (—sin a))a 2x a 214. 已知f(x) a一仝一是R上的奇函数，贝U a =2x1 ----------------------------------------------------15. 若f(x)为奇函数，且在(-g ,0)上是减函数又f(-2)=0，则xf(x)<0的解集为_____________16. 已知y=f(x)是偶函数，且在[0,)上是减函数，则f(1 —x2)是增函数的区间是 _ 17・已知f(x) x(J [)2x1 2(1)判断f (x)的奇偶性；(2)证明f (x) >0答案1. I提示或答案】D【基础知识聚焦】掌握函数奇偶性的定义。
2. I提示或答案】A【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念3. I提示或答案】D【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念及数形结合的思想【变式与拓展】1: f(x)是定义在R上的偶函数，它在［0,)上递减，那么一定有()3 3A- f( 4)f(a2 a 1) B. f( 4) f(a2 a 1)3 2 3 2C - f( 4) f(a2 a 1)D . f( -) f(a2 a 1)【变式与拓展】2 :奇函数f(x)在区间［3,7］上递增，且最小值为5，那么在区间［-7 , - 3］上是() A•增函数且最小值为—5B•增函数且最大值为—5C •减函数且最小值为—5D •减函数且最大值为—54. 【提示或答案】f(x)=-x-x4【变式与拓展】已知f (x)是定义在R上的奇函数，x>0时，f (x) =x2—2x+3，则f (x) = ____________________ 。
【基础知识聚焦】利用函数性质求函数解析式5 •【提示或答案】解(1)此函数的定义域为R.f(-x)+f(x)= lg(、.x2 1+x)+lg( ,x2 1-x) = lg1 = 0f(-x) = -f(x)，即f(x)是奇函数。
(2)此函数定义域为｛2｝，故f(x)是非奇非偶函数。
(3函数f (x)定义域(一％, 0)U( 0，+ %)，当x>0 时，一x V0，• •• f ( — x ) = ( — x ) [ 1 —(— x ) ] = — x (1 + x ) = — f (x ) (x > 0 ) 当 x V 0 时，一x > 0 , • f ( — x ) = — x (1 — x ) = — f (x ) ( x V 0 ) 故函数f (x )为奇函数.【基础知识聚焦】考查奇偶性的概念并会判断函数的奇偶性ax 2 bx【基础知识聚焦】 利用函数性质求函数解析式，渗透数形结合 7. 【提示或答案】-1<1-a<1 -1<1-a 2<1f(1-a)<- f(1-a 2)=f(a 2-1),1-a> a 2-1 得 0<a<1 【基础知识聚焦】考查奇偶性解决抽象函数问题b2迈 f(x)x 2 2、2X 3 (2 )当b2即b2 4时,f(2)=1无解;(3 )当 b1即b 2时，2f( 1) 1 b 3, f(x)x 2 3x 3综上得： f(x) x 2 2、、2x 3或 f (x)2即-4(1) b 2小x 3x当f(x) g(x)(a 1)x 2bx c 3是奇函数a 1c 3,f(x)bx 3(b 2 (x 2)1b24b 21 b 2迂2时，最小值为:2【基础知识聚焦】结合具体函数，考查函数性质 9【提示或答案】分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x 都有f(-x)=-f(x)成立.在式子f(x+y )=f(x)+f(y) 中，令y= — x 可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值•令x=y= 0可得 f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0 , f(x)是奇函数得到证明.(1)证明：f(x+y )=f(x)+f(y)(x , y € R), ①令 x=y =0，代入①式，得 f(0+0)= f(0)+ f(0)，即 f(0)=0 . 令 y= - x ，代入①式，得 f(x-x )=f(x)+f(-x)，又 f(0)=0，则有 0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)对任意x € R 成立，所以f(x)是奇函数.⑵解：f( 3)=log 2 3 > 0,即f(3) > f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数.f(k • 3x )<-f(3x -9 x -2) =f(-3 x +9 x +2)， k • 3x < -3 x +9 x +2，32x -(1+k) -3x +2 >0 对任意 x € R 都成立•令 t=3x >0，问题等价于 t 2-(1+k)t+2 > 0对任意t > 0恒成立.令 f(t)=t 2 - (1 + k)t+2,其对称轴 x解(1) f(x)日六 疋奇函数，则ax 2 12ax 1 ax 2 1bx c bx c bx c由 f (2)3a 2 0 1a 1 又 a N, a 0,1. 当 a 0时,b1 N,舍去.28 •【提示或答案】2a 1当 a=1 时,b=1, f(x)2c 0 由 f(1) 2得 a 1 2b ,1 k当」0,即k 1时,f(0)=2>0,符合题意; 21 k当0时,对任意t>0, f(t)>0恒成立21 k(1 0 k)2解得1 k 1 2.2综上所述,所求k的取值范围是(，1 2. 2)【基础知识聚焦】考查奇偶性解决抽象函数问题，使学生掌握方法。
10【提示或答案】B11【提示或答案】D12【提示或答案】D【基础知识聚焦】掌握奇偶函数的性质及图象特征13【提示或答案】6【基础知识聚焦】考查奇偶性及整体思想【变式与拓展】：f (x)=ax3+bx —8，且f ( —2) =10，则f(：14【提示或答案】由f(0)=0得a=1【基础知识聚焦】考查奇偶性。
若奇函数f(x)的定义域包含0,则f(0)=0 ；f(x)为偶函数f(x)=f(| x|)15【提示或答案】画图可知，解集为(，2)U(2,)；16【提示或答案】x<-1,0<x<1 17【提示或答案】(1)偶函数 (2) x>0时，f(x)>0,x<0 时-x>0,f(x)=f(-x)>0。