必修1综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．函数y ＝xln(1－x)的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]2．已知U ＝{y|y ＝log 2x ，x>1}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝1x ，x>2，则∁U P ＝( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 3．设a>1，函数f(x)＝log a x 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．44．设f(x)＝g(x)＋5，g(x)为奇函数，且f(－7)＝－17，则f(7)的值等于( )A ．17B ．22C ．27D ．125．已知函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点是( )A ．－1和－2B ．1和2 C.12和13 D ．－12和－136．下列函数中，既是偶函数又是幂函数的是( )A ．f(x)＝xB ．f(x)＝x 2C ．f(x)＝x －3D ．f(x)＝x －17．直角梯形ABCD 如图Z-1(1)，动点P 从点B 出发，由B →C →D →A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为f(x)．如果函数y ＝f(x)的图象如图Z-1(2)，那么△ABC 的面积为( )A ．10B ．32C ．18D ．168．设函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x>0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)f(y)”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．一次函数10．甲用1000元人民币购买了一支股票，随即他将这支股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这支股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将这支股票卖给了乙，在上述股票交易中( )A ．甲刚好盈亏平衡B ．甲盈利1元C ．甲盈利9元D ．甲亏本1.1元二、填空题(每小题5分，共20分)11．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg25÷10012-＝__________. 12．已知f(x)＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋3是偶函数，则f(x)的最大值是__________．13．y ＝f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝x 2＋ax ，且f(2)＝6；则当x ≥0时，f(x)的解析式为_______．14．函数y ＝2x －1x ＋1，x ∈[3,5]的最小值为________；最大值为________． 三、解答题(共80分)15．(12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|log 2(11－x 2)>1}，B ＝{x|x 2－x －6>0}，M ＝{x|x 2＋bx ＋c ≥0}。
(1)求A ∩B ；(2)若∁U M ＝A ∩B ，求b ，c 的值。
16．(12分)已知函数f(x)＝bx ax 2＋1(b ≠0，a>0)。
(1)判断f(x)的奇偶性；(2)若f(1)＝12，log 3(4a －b)＝12log 24，求a ，b 的值。
17．(14分)方程3x 2－5x ＋a ＝0的一根在(－2,0)内，另一根在(1,3)内，求参数a 的取值范围．18．(14分)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3600时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大收益为多少元？19．(14分)已知函数f(x)＝2x ＋2ax ＋b ，且f(1)＝52，f(2)＝174。
(1)求a ，b 的值；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)试判断f(x)在(－∞，0]上的单调性，并证明；(4)求f(x)的最小值．20．(14分)已知函数f(x)＝lnx ＋2x －6。
(1)证明：函数f(x)在其定义域上是增函数；(2)证明：函数f(x)有且只有一个零点；(3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14。
参考答案：1．B2．A 解析：由已知U ＝(0，＋∞)．P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以∁U P ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.故选A. 3．D 4.C 5.D 6.B 7.D8．C 解析：由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，可得b ＝4，c ＝2，所以f(x)＝⎩⎨⎧ x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x>0，所以方程f(x)＝x 等价于⎩⎨⎧ x>0，x ＝2或⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＋4x ＋2＝x. 所以x ＝2或x ＝－1或x ＝－2.故选C. 9．C10．B 解析：由题意知，甲盈利为1000×10%－1000×(1＋10%)×(1－10%)×(1－0.9)＝1(元)． 11．－2012．3 解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即(m －2)·(－x)2－(m －1)x ＋3＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋3， ∴m ＝1.∴f(x)＝－x 2＋3.f(x)max ＝3. 13．－x 2＋5x14.54 32 解析：y ＝2x －1x ＋1＝2x ＋2－3x ＋1＝2－3x ＋1，显然在(－1，＋∞)单调递增， 故当x ∈[3,5]时，f(x)min ＝f(3)＝54，f(x)max ＝f(5)＝32.15．解：(1)∵⎩⎨⎧ 11－x 2>0，11－x 2>2⇒－3<x<3，∴A ＝{x|－3<x<3}． ∵x 2－x －6>0，∴B ＝{x|x<－2或x>3}． ∴A ∩B ＝{x|－3<x<－2}．(2)∁U M ＝A ∩B ＝{x|－3<x<－2}＝{x|x 2＋bx ＋c<0}，∴－3，－2是方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根，则⎩⎨⎧ －b ＝(－3)＋(－2)，c ＝(－3)·(－2)⇒⎩⎨⎧b ＝5，c ＝6. 16．解：(1)函数f(x)的定义域为R ，f(－x)＝－bx ax 2＋1＝－f(x)，故f(x)是奇函数． (2)由f(1)＝b a ＋1＝12，则a －2b ＋1＝0. 又log 3(4a －b)＝1，即4a －b ＝3. 由⎩⎨⎧ a －2b ＋1＝0，4a －b ＝3，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.17．解：令f(x)＝3x 2－5x ＋a ，则其图象是开口向上的抛物线．因为方程f(x)＝0的两根分别在(－2,0)和(1,3)内， 故⎩⎨⎧ f (－2)＞0，f (0)＜0，f (1)＜0，f (3)＞0，即⎩⎨⎧ 3×(－2)2－5×(－2)＋a ＞0，a ＜0，3－5＋a ＜0，3×9－5×3＋a ＞0，解得－12＜a ＜0. 故参数a 的取值范围是(－12,0)．18．解：(1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为3600－300050＝12(辆)． 所以这时租出的车辆数为100－12＝88(辆)．(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x －300050(x －150)－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －300050×50 所以f(x)＝－150x 2＋162x －21 000＝－150(x －4050)2＋307 050.所以当x ＝4050时，f(x)最大，最大值为307 050，即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307 050元．19．解：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＋b ＝52，4＋22a ＋b ＝174，解得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝0. (2)由(1)，知f(x)＝2x ＋2－x ，任取x ∈R ， 有f(－x)＝2－x ＋2－(－x)＝2－x ＋2x ＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (3)任取x 1，x 2∈(－∞，0]，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝(12x ＋12x -)－(22x ＋22x -) ＝(12x －22x )＋121122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(12x －22x )121122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(12x －22x )121222122x x x x -. ∵x 1，x 2∈(－∞，0]且x 1<x 2，∴0<12x <22x ≤1.从而12x －22x <0,12x ·22x －1<0,12x ·22x >0，故f(x 1)－f(x 2)>0. ∴f(x)在(－∞，0]上单调递减． (4)∵f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(x)为偶函数，可以证明f(x)在[0，＋∞)上单调递增(证明略)．∴当x ≥0时，f(x)≥f(0)；当x ≤0时，f(x)≥f(0)．从而对任意的x ∈R ，都有f(x)≥f(0)＝20＋20＝2， ∴f(x)min ＝2.20．(1)证明：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，设0<x 1<x 2，则lnx 1<lnx 2,2x 1<2x 2.∴lnx 1＋2x 1－6<lnx 2＋2x 2－6. ∴f(x 1)<f(x 2)． ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)证明：∵f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，∴f(2)·f(3)<0. ∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点， 又由(1)，知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此函数至多有一个根，从而函数f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．(3)解：f(2)<0，f(3)>0， ∴f(x)的零点x 0在(2,3)上，取x 1＝52，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ln 52－1<0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52·f(3)<0.∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3. 取x 1＝114，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114＝ln 114－12>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52·⎝ ⎛⎭⎪⎫114<0.∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114. 而⎪⎪⎪⎪⎪⎪114－52＝14≤14， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114即为符合条件的区间．。