k 0 n n
rxx(λ-k)
rzx(λ)
第八章 维纳滤波 维纳-何甫积分方 程式(离散形式)：
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N xx
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h(k )r
k 0
N
( k ) rzx ( ) 或 h(k )rxx (k ) rzx ( )
k 0
自相关函数为偶函数
▲ 维纳滤波器 如果已知x(n)与所要求的输出信号z(n)，则当x(n)的自相关函 数和z(n)与x(n)的互相关函数为已知时，求解维纳-何甫方程，即可求得满足均 方误差最小的滤波因子h(n)。这就是按照最小平方准则设计的线性滤波系统， 它是一个最佳系统，通常称为维纳滤波器。 这是一个对 称 矩阵 。 卷积形式：
第八章 维纳滤波
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第二节
反滤波
一、回声鸣震现象及反滤波
问题的提出：在某些情况下（例如，在大礼堂内演讲，由于墙壁多次反射， 而造成回声交混，形成一片轰鸣声，使人们听不清讲话内容）所录取的信号， 可认为是原始信号经过几个物理系统（信号传输的路径或通道）作用的结果， 或者看成是源信号经过几个物理滤波器以串联形式滤波的结果。这时，采用 反滤波方法可以使真正源信号从干扰中恢复出来。
n n n n
期望输出s(n)与输入x(n)的互相关函数为
n n
rsx (k ) s(n k ) x(n) s(n k )[s(n) n(n)] rss (k )
如果以 Rss(ejω) 和 Rnn(ejω) 分别表示 rss(k) 和 rnn(k) 的频谱，即分别为 s(n) 和 n(n) 的功率谱，则在对维纳滤波的时间范围不加限制的情况下，由式H(ejω)=Rzs(ejω)/ Rxx(ejω)，可以得到维纳滤波器的频率响应应为：
Q 0, 0 n N h(n)
x(n) 的 自 相关函数
λ=nT,T 是 采样周期 z(n) 与 x(n) 的 互相关函数
N Q 2[ h(k ) x(n k ) z (n)]x(n ) h(n) n k 0 N
2 h(k ) x(n k ) x(n ) 2 z (n) x(n ) 0
第一节
一、最小平方滤波
维纳滤波
滤波因子h(t)
y (t ) h(t ) x(t )
▲ 现在的问题：设计一种滤波 器，希望获得的输出为z(t)，那么， 用什么标准来衡量 y(t) 与 z(t) 的接近 程度呢？答：最小平方标准。 ▲ 最小平方滤波器：其实际输出与
希望输出之间的均方差为最小。
输入x(t)
二、最小平方反滤波
设滤波器的冲激响应为 {h(n)}={h(0) ， h(1) ， … ， h(N)} ，使得序列 {p(n)} 经 过这个滤波器的滤波，其输出尽可能接近于单位样值序列{δ(n)}，即
h(n) p(n) y(n) (n)
h(n) [ p(n) s( n)] [ h( n) p( n)] s( n) (n) s(n) s(n)
滤波器
输出y(t)
第八章 维纳滤波
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设 h(n) 为有限长序列，除 0≤n≤N 以外均为零； ε(n)为输出误差； E(•) 对误差 的平方求数学期望或平均值；Q为均方误差，Qmin为最小均方误差，则有
输出误差：
2 Q [ （ y n ） （ z n ） ] 均方误差： n
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x(n) r k s(n kn 0 )
k 0
此式表达了回声干扰信号的数学模型，根据此式，可求得传输函数（或称 为由于鸣震效应而产生的反射函数） 1 n
X ( z) 1 k kn0 反射函数 P( z ) r z S ( z ) k 0 1 rz n0
(n) y(n) （ z n）
滤波器输出 y (n)
N
h( k ) x ( n k )
k 0
N
Q [ h( k ) x ( n k ) （ z n） ]2
n k 0
▲ 按照最小平方滤波准则，如果h(n)是所求的最小平方滤波因子，则它的 每一个数值必须满足Q对它的一阶导数等于零的条件，即
j R ( e ) j ss H (e ) Rss (e j ) Rnn (e j )
期 望 输 出 z(n) (=s(n)) 与 输 入信号x(n)的互功率谱
输入信号x(n)的自功率谱
可见：维纳滤波器的频率响应取决于源信号与噪声的自功率谱。具有这一 频响函数的滤波器就是最小平方滤波器，即维纳滤波器。
(0) 1, (n) |n0 0
p(n i) (n) p(i)
n
毫无疑问，当i＞0，p(-i)=0，所以只有rpd(0)=p(0)不为零。可以假定p(0)=1， 根据前面的“ 时域中实现这种数字滤波的矩阵形式”，可得最小平方反滤波的矩 阵方程： rpp (1) rpp ( N ) h(0) 1 rpp (0)
反射函数 P( z ) (k 1)r z
k k 0
k 0
kn0
1 (1 rz n0 )2
反鸣震的滤波器的传输函数应为
H ( z) 1 P( z) (1 rz n0 )2 1- 2rz n0 r 2 z 2n0
这是一个简单的FIR滤波器的传输函数，写成差分方程的滤波运算式为
反滤波的目的：就是从这个关系式中提取原信号s(n)。因此，反滤波的传输 函数H(z)和滤波因子h(n)应当满足下列关系：
第八章 维纳滤波
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H ( z) X ( z) H ( z) P( z)S ( z), h(n) x(n) h(n) [ p(n) s(n)] s(n)
可见，上式是对卷积求卷积，故反滤波又称为反卷积。但在实际应用中，由 于对P(z)不可能掌握得很详细，例如，很难确切知道 r和n0的数值，尤其是r的 数值，往往需从{x(n)}本身去测定，而且描述鸣震的模型在数学上也只能是一 种近似的模拟。因此，在信号处理上避开了对P(z)和1/P(z)的计算，而是从时域 的途径去寻求逼近的算法。
rxx (1) rxx (0) 时域中实 rxx (0) 现这种数 rxx (1) 字滤波的 矩阵形式 r ( N ) r ( N 1) xx xx
而且，沿着主对角 线的平行线排列的 元素全部相等。因 此 ， 这 个 N+1 阶 方 阵 实 际 上 由 N+1 个 值完全确定。这种 方阵称为托布列兹 (Toepliz) 阵 ， 相 应 的方程组称为托布 列兹方程组。它的 解可以用一组递推 公式算出，从而求 出所需滤波器的滤 波因子.
▲ 当 y(n)尽可能接近于 δ(n) 时，就能达到反滤波的目的。因此，要求它们 满足最小平方的关系：
2 [ y ( n ) ( n )] Qmin n
第八章 维纳滤波 最小平方反滤波模型：
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rxz (i) rp (i) 输入与希望输出的互相关函数为：
输入的自相关函数为： rxx (i) rpp (i)
y(n) s(n) x(n) 2rx(n n0 ) r 2 x(n 2n0 )
▲ 推广到一般情况
设声源信号为{s(n)}，接收到的信号为{x(n)}，相应的Z变换分别为S(z)和X(z)， 而反射函数P(z)及其序列为p(n)，则有
X ( z) P( z)S ( z) x(n) p(n) s(n)
▲ 回声鸣震问题 【例1】
设信号序列为 {s(n)}，经过延迟 n0，其一次回声序列为 {rs(n-n0)}，二次回声 序列为 {r2s(n-2n0)} ，三次回声序列为 {r3s(n-3n0)} ，等等。其中 r 为反射因子， |r|≤1。滤波器的输入x(n)是信号序列与回声序列的叠加，即
第八章 维纳滤波
k 0
消除鸣震现象的滤波器的传输函数应为
H ( z) 1 P( z) 1 rz
▲ 回声鸣震问题 【例2】
n0
在海上石油勘探技术中，要考虑海水中的声音在海面和海底来回反射的鸣 震现象。由于回声反射的途径不止一种，可以推出接收的信号是：
第八章 维纳滤波

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x(n) (k 1)r k s(n kn 0 )
其中 X ( z )
n

a
n 0

1 a



x ( n) z
k kn0
n
r
k 0

k
n m


s(n kn0 ) z

n
r
k 0

k
m


s (m) z mkn0
r zk 0Fra bibliotekm
s ( m) z
r k z kn0 S ( z )
第八章 维纳滤波
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第八章
维纳滤波
▲ 问题：在雷达、通讯、控制和测量系统中，需要从被干扰了的观测数据 中提取传输的参数和信息。解决这类问题的数学理论称为估计或滤波。 ▲ 维纳滤波理论所解决的问题：最小均方误差准则下的线性估计。 ▲ 维纳滤波的基本思想：将研究对象视为平稳随机过程，已知相关函数， 在白噪声假设条件下，确立了最优传输函数应满足维纳 –何甫（Wiener-Hopf） 方程的理论。这为设计滤波器提供了一种频域方法。
第八章 维纳滤波
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二、维纳滤波的物理解释
设输入信号x(n)由源信号s(n)和干扰噪声n(n)混合，且s(n)与n(n)不相关，那 么维纳滤波器的期望输出就是源信号本身，即z(n)=s(n)，则x(n)的自相关函数