算步骤.
9. 已知数列 {an} 满足 a1 = 3，且对任意正整数 m, n，均有 am+n = am +an +2mn.
( 1 ) 求数列 {an} 的通项公式；
( 2 ) 如果实数 c 使得 ∑k 1 < c 对所有正整数 k 都成立，求 c 的取值范围.
解答
i=1 ai
(1) 令 m = 1 ⇒ an+1 = an + a1 + 2n ⇒ an+1 − an = 2n + 3，
圆的离心率 e = c 的取值范围. a
解答
依题意，直线 l 的斜率不为 0. 设 l : x = ky + c， b2x2 + a2y2 = a2b2,
A(x1, y1), B(x2, y2)，联立 x = ky + c
⇒ (b2k2 + a2)y2 + 2b2kcy − b4 = 0，
则
y1
+
y2
2
2
2 [√
)
2
所以该椭圆的离心率的取值范围是 5 − 1, 1 .
2
第4页 共4页
则
#» |OAi
+
#» OAj |
⩾
1
的概率是
.
解答
第2页 共4页
如图，A, B, C 将单位圆 O 三等分，设 Ai 与点 A
由重于合，[ 2依01题5 ]意=，6A7j1，应则位于A˜BA˜和B
和 A˜C 上. A˜C 上含有正
2015
3
边形的 671 × 2 个顶点，即 Aj 有 671 × 2 种取法.
比数列，则使得 a1 + a2 + · · · + ak > 100a1 的最小正整数 k 的值是
.
解答
第1页 共4页
设数列 {an} 的公差为 d，a25 = a2a9 ⇒ (a1 + 4d)2 = (a1 + d)(a1 + 8d)
⇒ a1 = 8d ⇒ an = (n + 7)d, n ∈ N∗.
4
4
10.
设
a1,
a2,
a3,
a4 是 4 {aiaj |1
个有理数，使得 {
⩽ i < j ⩽ 4} = −24,
−2,
−
3 2
,
−
1 8
,
1,
} 3，
第3页 共4页
求 a1 + a2 + a3 + a4 的值. 解答
依题意，不妨设 a1 < a2 < 0 < a3 < a4 ⇒ a1a4 = −24.
2015 年全国高中数学联合竞赛一试试题 (B 卷)
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分.
a − x, x ∈ [0, 3],
1. 已知函数 f (x) = a log2 x,
其中 a 为实数. 如果 f (2) < f (4)， x ∈ (3, +∞),
则 a 的取值范围是
由于两个正数
a1a2, a3a4
分别为
1, 3，则
a1a2a3a4
=
3
⇒
a2a3
=
−
1. 8
当
a1a2
=
1, a3a4
=
3
时，a21a2a4
=
−24
⇒
a2a4
=
3 −
2
⇒
a1
=
−4, a2
=
1 −4, a3
=
1 2, a4
=
6
⇒
a1
+
a2
+
a3
+
a4
=
9； 4
当 a1a2 = 3, a3a4 = 1 时，a21a2a4 = −72 ⇒ a2a4 = −2
的大小是
π ，则 3
AA1
=
.
解答
如图，底面 ABCD 的中心为 O，则 ∠A1OC1
为二面角 A1 − BD − C1 的平面角.
于是
∠A1OC1
=
π 3
⇒
∠AOA1 √
= ∠COC1 √
=
π 3
√
√
⇒ AA1 = 3AO = 3 ·
2 =
2
6. 2
5. 已知数列 {an} 是一个等差数列，首项与公差均为正数，且 a2, a5, a9 依次成等
.
解答
f (2) = a − 2 < f (4) = 2a ⇒ a > −2，所以 a 的取值范围是 (−2, +∞).
2. 已知 y = f (x) + x3 为偶函数，f (10) = 15. 则 f (−10) 的值为
.
解答
f (−10) − 103 = f (10) + 103 ⇒ f (−10) = f (10) + 2 · 103 = 2015.
>
512
=
32
> 33 ⇒ k ⩾ 34.
2
2
所以使得 a1 + a2 + · · · + ak > 100a1 的最小正整数 k 的值是 34.
6. 设 k 为实数，在平面直角坐标系 xOy 中有两个点集 A = {(x, y)|x2 + y2 =
2(x
+
y)}
和
B
=
{(x, y)|kx
−
y
+k
+3
故满足
#» #» |OAi + OAj|
⩾
1
的
Ai, Aj
的取法有
2015 × 671 × 2 = 2015 × 671 种.
2
设
D
=“|O# A»i
+
#» OAj |
⩾
1”，所以
P (D)
=
2015 × 671 C22015
=
671 . 1007
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演
=
2b2kc −b2k2 + a2 , y1y2
=
b4 −b2k2 +
. a2
于是 OA ⊥ OB ⇒ x1x2 + y1y2 = (ky1 + c)(ky2 + c) + y1y2 = 0
⇒ (k2 + 1)y1y2 + kc(y1 + y2) + c2 = 0 ⇒ −(k2 + 1)b4 − 2b2k2c2 + c2(b2k2 + a2) = 0
π)
且
tan φ
=
b.
于是
√ 2 a2
+
b2
=
10
⇒
a2 +b2
=
25
⇒
2 (a + b)2
⩽
a 2(a2 +b2)
=
50
⇒
a+b
⩽
5√2，
等号成立时
a
=
b
=
5
√ 2.
即
a
+
b
的最大值是
√ 5 2.
2
4. 设正四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 的底面 ABCD 是单位正方形，如果二面角
A1
− BD − C1
⩾
0}.
若
∩ AB
是单元素集，则
k
的
值是
.
解答
点集
A
表示
⊙ C
:
(x − 1)2
+ (y − 1)2
=
2，点集
B
表示直线
y
=
k(x + 1) + 3
下方的区域. 由于直线与 ⊙ C 相切，则圆心 C(1, 1)√到直线的距离
d
=
√|2k
+ 2|
=
√ 2
⇒
k2
+ 4k + 1
=
0
⇒
k
=
−4 ± 2
3
=
⇒
a2c2
−
b4
=
b2k2(b2
+
c2)
=
a2b2k2
⇒
k2
=
a2c2 − a2b2
b4
⩾
0，
从而 a2√c2 − b4 = a2c2 −√(a2 − c2)2 √⩾ 0 ⇒ a4 − 3a2c2 + c[4√⩽ 0 ⇒ e4)− 3e2 + 1 ⩽ 0
⇒ 3 − 5 ⩽ e2 ⩽ 3 + 5 ⇒ 3 − 5 ⩽ e2 < 1 ⇒ e ∈ 5 − 1, 1 .
−2
±
√ 3.
k2 + 1 结合图像可得
k
的值是
√ −2 − 3.
2
7.
在平面直角坐标系
xOy
中，P
是椭圆
y2
x2 +
=1
上的一个动点，点
A, B
的
43
坐标分别为 (1, 1), (0, −1)，则 |P A| + |P B| 的最大值为
.
解答 注意到 B 为椭圆 y2 + x2 = 1 的一个焦点，
⇒
a1
=
−6, a2
=
1 −2, a3
=
1 4, a4