例题一、如图1，已知AB//CD ，试找出B ∠、BED ∠和D ∠的关系并证明。

我们找出他们的关系是：D B BED ∠+∠=∠。

证明如下：方法一：如图2，过点E 作EF//AB 。

因为EF AB //，所以B BEF ∠=∠；因为CD AB //，EFAB //，所以CDEF //，所以D FED ∠=∠，所以D B FED BEF BED ∠+∠=∠+∠=∠。

方法二：如图3，过点E 作EF//AB 。

因为EF AB //，所以 180=∠+∠B BEF ，即B BEF ∠-=∠ 180；因为CD AB //，EF AB //，所以CD EF //，所以 180=∠+∠D FED ，即D FED ∠-=∠ 180；因为︒=∠+∠+∠360FED BED BEF ，所以)180180(360)(360D B FED BEF BED ∠-+∠--=∠+∠-=∠︒︒ D B ∠+∠=。

方法三：如图4，连接BD 。

因为CD AB //，所以 180=∠+∠BDC ABD ，即)(180EDB EBD EDC ABE ∠+∠-=∠+∠ ；在ΔBED 中，)(180EDB EBD BED ∠+∠-=∠ ，所以EDC ABE BED ∠+∠=∠。

方法四：如图5，过点E 做AB FG ⊥，垂足为点F ，交CD 于点G 。

因为CD AB //，所以 90180=∠-=∠EFB EGD ；在直角ΔEGD 中，D GED ∠-=∠90，在直角ΔEFB中，BFEB ∠-=∠ 90，所以)9090(180)(180B D FEB GED BED ∠-+∠--=∠+∠-=∠ D B ∠+∠=。

方法五：如图6，延长BE 交CD 于点F 。

因为CD AB //，所以B EFD ∠=∠；在ΔEFD 中，FED D EFD ∠-=∠+∠ 180，又因为FED BED ∠-=∠ 180，所以D B D EFD BED ∠+∠=∠+∠=∠。

例题二、证明： 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．已知：如图1，在△ABC 中，AD=BD=CD ．求证：△ABC 是直角三角形． 证法1 如图1，利用两锐角互余． ∵AD=CD ，CD=BD ， ∴∠1=∠A ，∠2=∠B 。

在△ABC 中，∵∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°， ∴2（∠A+∠B ）=180°， ∴∠A+∠B=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC 是直角三角形。

证法2 如图2，利用等腰三角形的三线合一．延长AC 到E 使CE=AC ，连接BE ． ∵AD=BD ，∴CD 是△ABE 的中位线．∴BE 21CD =。

∵AB 21CD =， ∴AB=BE ．∴BC ⊥AC ，∴△ABC 是直角三角形．证法3 如图3，利用此三角形与某个直角三角形相似（或全等）．过点D 作DE ⊥BC 交BC 于点E ．∴CD=BD ，∴BC 21BE =，∴21AB BD BC BE ==， ∵∠B 是公共角， ∴△BDE ∽△BAC 。

∴∠ACB=∠DEB=90°，∴△ABC 是直角三角形。

证法4 如图4，利用如果一条直线垂直于两平行线中的一条，则也垂直于另一条．取BC 中点E ，连接DE ．∵AD=BD ，∴DE 是△ABC 的中位线． ∴DE ∥AC ． ∵CD=BD ，CE=BE ， ∴DE ⊥BC ．∴AC ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形．证法5 如图5，构造四边形，并证其为矩形．延长CD 到E 使DE=CD ，连接AE 、BE ． ∵AD=BD=CD ．∴AD=BD=CD=DE,且AB=CE ． ∴四边形ABCD 是矩形．∴∠ACB=90°，∴△ABC 是直角三角形． 证法6 如图6，利用勾股定理的逆定理．设AC=b ，BC=a ，AB=c ，取BC 中点E ，连接DE ． ∴DE 是△ABC 的中位线．∴b 21AC 21DE ==。

∵CD=BD ，∴DE ⊥BC 。

在Rt △DEB 中，∵222BD BE DE =+， ∴222c 21a 21b 21⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛。

∴222c b a =+，∴△ABC 是直角三角形。

证法7 如图7，利用两直线平行，再证同旁内角相等。

延长CD 到E 使DE=CD ，连接BE 。

∵AD=BD ，∠1=∠2， ∴△ADC ≌△BDE （SAS ）， ∴∠ACD=∠E ，AC=BE ， ∴AC ∥BE ，∴∠ACB+∠EBC=180°。

又∵AD=CD ，∴AB=CE 。

∵BC 是公共边，∴△ACB ≌△EBC （SSS ）。

∴∠ACB=∠EBC 。

∴∠ACB=90°，∴△ABC 是直角三角形。

证法8 如图8，利用直径所对的圆周角是直角。

以D 为圆心，DA 长为半径作圆。

∵AD=BD=CD ，∴点C 、B 在圆上，AB 是直径。

∴∠ACB=90°。

∴△ABC 是直角三角形。

例题三、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元，如果买2个鸡蛋、4个鸭蛋、3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个，共需多少钱？这类题目的特点是所能列出的方程的个数少于未知数的个数，看似不可解，但由于所求的并不是每一个未知数的值，而是一个代数式的值。

所以可解。

这类题对学生来说是有一些难度的，但如果掌握了以下方法，既可以化繁为简，又可以收到一题多解，提高学生能力的效果。

下面让我们先来列出方程。

设鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，可得方程⎩⎨⎧=++=++20.334225.99513z y x z y x ，求z y x ++的值。

解法一：变元法：把z 看成常数，解关于x 、y 的方程，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=20101121z y z x然后代入所求式z y x ++中，得：05.120101121=+-+-=++z zz z y x 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个，共需1.05元。

解法二：直接构造法：因为题目中要求z y x ++的值，所以将原方程互助组变形直接构造出z y x ++。

⎩⎨⎧=--++=++++⇔⎩⎨⎧=++=++20.32)(425.948)(520.334225.99513z x z y x z x z y x z y x z y x ②⨯4+①得05.22)(21=++z y x05.1=++∴z y x答：略解法三：间接构造法：将原方程组中的①两边同乘以常数a ，②的两边同乘以常数b ，得⎩⎨⎧=++=++bbz by bx aaz ay ax 20.334225.99513 ①+②得b a z b a y b a x b a 20.325.9)39()45()213(+=+++++ ∵我们想要求的代数式是x+y+z ， ∴令b a b a b a 3945213+=+=+可得a=1，b=4，代入上式得 21x+21y+21z=9.25+12.80=22.05 ∴ x+y+z=1.05例题四、三角形一题多解如图：已知AB=AC ，E 是AC 延长线上一点，且有BF=CE ，连接FE 交BC 于D 。

求证：FD=DE 。

证法一证明：过E 点作EM ∥AB 交DC 延长线于M 点，则∠M=∠B ，又因为∠ACB=∠B∠ACB=∠ECM=∠M ，所以CE=EM ， 又EC=BF 从而EM=BF ，∠BFD=∠DEM 则△DBF ≌△DME ，故 FD=DE ；证法二证明：过E 点作EM ∥AB 交DC 延长线于M 点，则∠M=∠B ，又因为∠ACB=∠B∠ACB=∠ECM=∠M ，所以CE=EM ， 又EC=BF 从而EM=BF ，∠BFD=∠DEM则△DBF ≌△DME ，故 FD=DE ； 证法二证明：过F 点作FM ∥AE ，交BD 于点M ， 则∠1=∠2 = ∠B 所以BF=FM ， 又 ∠4=∠3 ∠5=∠E所以△DMF ≌△DCE ，故 FD=DE 。

例题五、平行四边形一题多解如图4，平行四边形 ABCD 中AD=2AB,E 、F在直线AB 上，且AE=BF=AB,求证：DF ⊥CE.证法一、易知ΔADF 、ΔBCE 为等腰三角形，故∠1=∠F, ∠2=∠E,又CD ∥AB,故∠3=∠F, ∠4=∠E,从而∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800，故∠3+∠4=900，表明∠COD=900，所以DF ⊥CE 。

证法二、如图5，连接MN ，则CD=BF,且CD ∥BF ，故BFCD 为平行四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM 且CN ∥DM ，得平行四边形CDMN ，易见CD=DM ，故CDMN 也是菱形，根据菱形的对角线互相垂直，结论成立。

证法三、如图6，连接BM 、AN, 可证ΔAFN 中，BN=BF=BA,则ΔAFN 为直角三角形，即DF ⊥AN,利用中位线定理可知AN ∥CE ，故DF ⊥CE 。

证法四、如图7，作DG ∥CE 交AE 延长线于G ，则EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,从而DF ⊥DG,而DGCE,故DF ⊥CE例题六、如图所示，一个长为a ，宽为b 的矩形，两个阴影都是长为c 的矩形与平行四边形，则阴影部分面积是多少。

解法一将大矩形进行平移将平行四边形 进行转换。

(a-c)(b-c)解法二重叠面积为c 的平方，大矩形面积为ab ，小矩形为ac ，平行四边形为bc ，阴影面积为ab-ac-bc+cc=（a-c ）（b-c ）图2。