则 P(A) 0.7, P(B) 0.56 所求概率为 P(B A) P( AB) P(B) 0.8
P( A) P( A)
思考：条件概率是否满足概率的公理化定义？ 非负性、规范性、可列可加性
思考：条件概率是否满足概率的公理化定义呢？
(1) 非负性 : P ( A B ) ≥ 0;
( 2 ) 规范性 : P ( S B ) = 1;
(3)可列可加性：设 B1, B2 , ... 是两两互不相容事件,则
U P Bi B P(Bi B).
i1
i1
(4) P(A B) 1 P(A B).
(5) P(A1 U A2 B) P(A1 B) P(A2 B) P(A1A2 B);
解
以Ai (i
Hale Waihona Puke 1,2,3)表示事件"透镜第 i
次落下打破", 还有其他方法吗？
以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
因为 B A1 A2 A3 , 所以 P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
(1 1 )(1 7 )(1 9 ) 3 . 2 10 10 200
教学重难点：全概率公式、贝叶斯公式的关系及其 应用 。
引例：10张彩票中有2张能中奖，甲、乙两人 各抽1次奖。若甲先抽，而乙并不知道甲抽得 的结果，求乙抽到奖的概率？
分类讨论。乙抽到奖可以分为两种情况，即甲抽到奖乙也抽 到奖或甲没有抽到奖乙抽到奖，并且这两种情况是互不相容
的（即甲要么抽到奖，要么抽不到）。
P( AB) P( A)P(B | A) 6 4 24 10 9 90
P( ABC) P( A)P(B | A)P(C | AB) 4 3 2 24 10 9 8 720
2.1-2 全概率公式 与贝叶斯公式
知识点与基本要求：
理解全概率公式的意义和方法，会应用全概率公 式求解事件概率； 理解贝叶斯公式的意义和方法，会应用贝叶斯公 式求解事件概率。
解：设A表示“甲抽到奖”，B表示“乙抽到奖”
P(AB) P(A)P(B A) 2 1 1 , P(AB) P(A)P(B A) 8 2 8
10 9 45
10 9 45
P(B) P(AB) P(AB) 1 8 1 45 45 5
A
A
P( A) P( A) 1
练习8：10个考签中有4个难签, 3人参加抽签(不放回), 甲先, 乙次, 丙最后, 求①甲抽到难签;②甲,乙都抽到 难签; ③甲没抽到难签而乙抽到难签; ④甲,乙,丙都抽 到难签的概率.
本节小结
(1) 条件概率 P(B A) P( AB) P( A) > 0 P( A)
(2)乘法公式 P(AB) P(B A)P(A) P(A) > 0
解法二一（缩条减件样概本率空的间定法义）法）
当于由 由已是条于知件PPＡ概((BA发率|BA生的))时定AAN，43义22N((样得AS43B本)P) (32空B间A12)减 缩PP((为AAB))SAA3AA423

3 4
3


P( A)
在Ａ发生的条件下，考虑Ｂ发生的概率，样本空间缩减为
S A {HH, HT,TH},
条件概率的定义
设 A, B 是两个事件, 且 P( A) > 0, 称 P(B A) P( AB) P( A)
为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.
S
BA
BA
Sample space S
（1）P( A) 6 0.6
10
（2）P( AB) P(A)P(B A)

6
5 0.33
（3）P( AB)

P( A)P(B
A)
104
9

6

0.27
（4）P(B)= 6
10 9
10
练习6:某人忘记了电话号码的最后一位数字,因而他随 意拨号.求他拨号不超过三次才接通所需电话的概率.
P(AB) P(A B)P(B) P(B) > 0
综合练习 一个盒子中有６只白球、４只黑球,从中不放 回地每次任取１只,连取２次,求(1) 第一次取得白球的概 率;(2) 第一、第二次都取得白球的概率 (3) 第一次取得 黑球而第二次取得白球的概率;(4)第二次取得白球的概 率.
解 设Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球
2.1 条件概率
2.1-1 条件概率与乘法公式 2.2-2 全概率公式与贝叶斯公式
2.1-1 条件概率与乘法公式
知识点与基本要求：
理解条件概率的概念及其应用； 掌握条件概率的计算方法， 会应用条件概率进行概率计算； 理解概率的乘法公式的概念及其应用； 会两个及多个事件之积的概率计算
教学重难点：条件概率、乘法公式的关系及计算。
引例 掷一枚骰子，求 (1)出现3个点的概率 ；
A AB B
(2)在已出现奇数点的条件下，
出现3个点的概率。→条件概率
S
解：设事件A表示出现3个点，事件B表示出现奇数点 即事件B已发生,求事件A的条件概率P(A|B)
A,B都发生,但样本空间缩小到只包含A的样本点
P(A B) N(AB) 1
方法1:样本空间S
Reduced sample space A
方法2：B|A缩减的样本 空间为A
例1 袋中装有6只球，4只红球，2只白球，先后两次 从袋子中各取1球，取后不放回。求在第一次取到红 球的条件下，第二次取到红球的概率。
解 设Ａi表示“第i次取得红球”, i=1,2 P(Ａ2|A1)= P(Ａ1A2)/ P(A1)=(12/30)/(20/30)=3/5
A2 A3)

P(
A1)P(
A1
|
A2)P( A3
|
A1
A2 )

9 10

8 9

1 8

1 10
P( A) 3
10
练习7：设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打 破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破 的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破 的概率为9/10.试求透镜落下三次均未打破的概率.
S
AB
A
AB
B
S
P(AB) P(AB) P(AB) P(AB) 1
设 B1,, Bn 是 两 两 互 不 相 容 的 事 件 , 且
n
Bi S , P(Bi ) > 0 ,称事件 B1,, Bn 为样本
i1
空间 S 的一个划分(或完备事件组)。
P(B1) P(B2 ) ... P(Bn ) 1
P(B A) N ( AB) , P( AB) N ( AB) ,
N (SB )
N (S )
一般来说, P(B A)比 P( AB) 大.
例3 设 P(A | B) P(B | A) 1 , P(A) 1 ,求 P( A U B)
2
3
解：由于 P(AB) P(A)P(B | A) 1 1 1
练习5：袋子中装有a个红球,b个白球,任取1球,取后放 回，并加入c个同色的球,问连续3次都取到红球的概率。
解：设Bi表示第i次取到红球，i=1,2,3
条件概率 P(A B) 与乘积事件概率 P(AB) 的区别.
P( AB) 表示在样本空间 S 中, AB 发生的概率,
而 P( A B) 表示在缩小的样本空间SB B 中, AB 发生的概率. 用古典概率公式, 则
解：设 Ai 表示“第 i 次拨通电 话”,i=1,2,3;
P(A)A表P(示A “U A不A超U过A 三A A次) 拨 P通(A电)话 P”(A A ) P(A A A )
1
12
1 23
1
12
1 23
P
(
A1
)

1 10
P( A1A2 )

P( A1)P( A2
|
A1)

1 10
P( A1
Ａ表示“有两个男孩” A={(b,b) }是B的子集
B1表示“第一个是男孩”B1={(b,b) , (b,g) }
P(Ａ|B)=1/3, P(Ａ|B1)=1/2
练习3：某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7, 活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种动物 活到25岁的概率.
解 设A表示“活到20岁”,B表示“活到25岁”
P(B A) N ( AB) N ( AB) N (S) N ( A)
1 3
易知
P(B | A)
N ( AB) N (S )
P( AB) 1
P( A) N ( A) 3 N(S) 4
N ( A)
P( A) 3 P(AB) N(AB) 1
N (S )
N(S) 4
N(B) 3
P(A) 1 6
思考：通过这个例子你有什么发现吗？
例如P(A)=P(A|B)吗？ P(A|B)如何求解？
引例 将一枚硬币抛掷两次, 设事件A为“至少有一
次正面”,事件B为“两次掷出同一面”. 求事件A已
发生的条件下,事件 B 发生的概率.
分析：样本空间为 S { HH, HT, TH, TT }. A = {HH , HT ,TH }, B = {HH ,TT },
32 6
P(AB) P(B)P(A | B) 1

P(B) P(AB) P(A | B)
6 1
1 3