山东省滕州市第一中学2021-2022高一数学下学期第一次月考试题一、单选题1．复数(3＋i )m －(2＋i )对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＜23B ．m ＜1C ．23＜m ＜1 D ．m ＞12．已知()3,1A -，()3,2B ，O 为坐标原点，()2R OP OA OB λλ=+∈.点P 在x 轴上，则λ的值为A ．0B ．1C ．1-D ．2-3．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）A ．2B ．122C ．22+ D ．1+4．已知i 为虚数单位,复数14z a i =+,23z bi =-+,若它们的和12z z +为实数,差12z z -为纯虚数,则a ,b 的值分别为( ) A ．3-,4-B ．3-,4C ．3,4-D ．3,45．在ABC ∆中，60B =︒，2b ac =，则ABC ∆一定是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形6．63a =，1b =，9a b ⋅=-，则a 与b 的夹角（ ） A ．120︒B ．150︒C ．60︒D ．307．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β8．ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，，.①若A B >，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则ABC ∆一定为直角三角形；④若3B π=，2a =，且该三角形有两解，则b 的范围是)+∞.以上结论中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个二、多选题9．对任意向量a ，b 下列关系式中恒成立的是( ) A ．a b a b ⋅ B ．a b a b -≤-C ．()22a ba b +=+D ．()()22a b a b a b +⋅-=-10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AB ==，2BC =，M ，N 分别为棱11C D ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．A M NB 、、、四点共面 B ．平面ADM ⊥平面11CDDC C ．直线BN 与1B M 所成角的为60D ．//BN 平面ADM11．已知集合{},nM m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ） A ．()()11i i -+B ．11ii-+ C ．11ii+- D ．()21i -12．若,,a b c 均为单位向量,且0,()()0a b a c b c ⋅=-⋅-≤,则a b c +-的值可能为( ) A 21 B ．1C 2D ．2三、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2c a =，1sin sin sin 2b B a A a C -=，则cos B =______.14．若复数z 满足：(1i)2z ⋅+=，则||z =______.15．如图，E 是棱长为1正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CE ，则线段CE 的长度为___________．16．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b a +=-=，则向量a b a +与夹角为____.四、解答题17．已知平面向量(1,)a x =，(23,)()b x x x =+-∈N ． （1）若a 与b 垂直，求x ； （2）若//a b ，求a b -．18．已知复数12z i =-（i 为虚数单位）. （1）若002z z z z ⋅=+，求复数0z 的共轭复数；（2）若z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，求实数m 的值.19．如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点.（1）求证：EF 平面PAB ；（2）若AP AD =，且平面PAD ⊥平面ABCD ，证明AF ⊥平面PCD .20．已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2cos 2c bC a+=． （1）求A ；（2）已知点D 在BC 边上，22DC BD ==，3AC =，求AD ．21．如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面ABCD ，1SD =，.（1）求证BC SC ⊥；（2）求平面SBC 与平面ABCD 所成二面角的大小；（3）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小22．已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),a M b O =为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM 的伴随函数. （1）设函数3()3)sin 2g x x x ππ⎛⎫=+--⎪⎝⎭，试求()g x 的伴随向量OM ； （2）记向量(1,3)ON =的伴随函数为()f x ，求当()85f x =且,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时sin x 的值；（3）由（1）中函数()g x 的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移23π个单位长度得到()h x 的图象，已知()2,3A -，()2,6B ，问在()y h x =的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.参考答案1．A复数()()()32321i m i m m i +-+=-+-在第三象限，则{32010m m -<-<， 解得23m <.2．B根据向量的坐标运算知()263,22OP OA OB λλλ+==+-+，因为P 在x 轴上，所以22=0λ-+，即=1λ. 3．A根据题意，画出图形，如图所示：则原来的平面图形上底是1，下底是12+2，∴它的面积是(11122222⨯+⨯=4．A 解：14z a i =+,23z bi =-+12(3)(4)z z a b i ∴+=-++为实数,所以40b +=,解得4b =-.因为12(4)(3)(3)(4)z z a i bi a b i -=+--+=++-为纯虚数,所以30a +=且40b -≠,解得3a =-且4b ≠.故3a =-,4b =-. 5．DABC 中，60B =︒，2b ac =,()2222221cos 20022a cb B ac ac a c ac +-==⇒+-=⇒-= 故得到a c =，故得到角A 等于角C ，三角形为等边三角形. 6．B由已知cos 263a b a b a b⋅<⋅>===-⨯，∴150a b <⋅>=︒．7．C设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则： 在A 中，若//m α，//m β，则α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，故B 错误；在C 中，若m α⊥，//m n ，则由线面垂直的判定定理得n α⊥，故C 正确； 在D 中，若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，故D 错误． 8．B①由正弦定理及大边对大角可知①正确； ②可得A B =或2A B π+=，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以②错误； ③由正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=， 结合()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+ 可知cos sin 0=A B ，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =， 因为0A π<<，所以2A π=，因此③正确；④由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin sin a B b A A==， 因为三角形有两解，所以2,332A B A πππ>>=≠所以3sin ,12A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，即()3,2b ∈，故④错误.9．ACD解：||||||cos ,||||a b a b a b a b ⋅=⋅⋅〈〉,故A 正确；由向量的数量积的运算法则知C ，D 正确；当0b a =-≠时, ||||a b a b -≥-,故B 错误. 故选：ACD .10．对于A ，由图显然AM 、BN 是异面直线，故A M N B 、、、四点不共面，故A 错误； 对于B ，由题意AD ⊥平面11CDD C ，故平面ADM ⊥平面11CDD C ，故B 正确；对于C ，取CD 的中点O ，连接BO 、ON ，可知三角形BON 为等边三角形，故C 正确；对于D ，//BN 平面11AA D D ，显然BN 与平面ADM 不平行，故D 错误； 故选：BC 11．BC根据题意，{},nM m m i n N ==∈中，()4n k k N =∈时，1n i =； ()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-， {}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i ii i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i ii i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉. 12．AB因为,,a b c 均为单位向量,且0,()()0a b a c b c ⋅=-⋅-≤， 所以2()0a b c a b c ⋅-⋅++≤， 所以()1c a b ⋅+≥， 而2222||()222a b c a b c a b c a b a c b c +-=+-=+++⋅-⋅-⋅=1≤=，所以选项,C D 不正确，13．34解：因为1sin sin sin 2b B a A a C -=， 所以由正弦定理可得2212b a ac -=. 又2c a =， 所以222122b a ac a =+=， 所以2223cos 24b ac B ac +-==.14因为(1i)2z ⋅+=，故211z i i==-+，故||z =.15．5连接1BC ，交1B C 与O ，连接EO ，则O 为1BC 的中点，因为1//BD 平面1B CE ，1BD ⊂平面1D BC ，平面1D BC ⋂平面1B CE OE =， 所以1//OE BD ，故E 为11D C 的中点，所以112EC =， 在1Rt EC C ∆中，221115142CE CC EC +=+=. 5. 16．3π由|a+b|=|a-b|，得a 2+2a·b+b 2=a 2-2a·b+b 2，即a·b=0，所以(a+b)·a=a 2+a·b=|a|2.故向量a+b 与a 的夹角θ的余弦值为cosθ=()222+⋅=+⋅a b a aa b aa a()a b ?aa b a++=12. 又0≤θ≤π，所以θ=3π. 17．解：（1）由已知得,1(23)()0x x x ⋅++-=,解得3x =或1x =-． 因为x N ∈,所以3x =．（2）若//a b ,则1()(23)0x x x ⋅--⋅+=,所以0x =或2x =-． 因为x N ∈,所以0x =．所以(2,0)a b -=-,所以||2a b -=． 18．解：（1）因为002z z z z ⋅=+，所以()02122212i zz i z i-===+--， 所以复数0z 的共轭复数为2i -.（2）因为z 是关于x 的方程250x mx -+=的一个虚根，所以()()2121250i m i ---+=，即()()2240m m i -+-=.又因为m 是实数，所以2m =.19．（1）证明：因为点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点，所以EF CD ∥，又在矩形ABCD 中，AB CD ∥，所以EF AB ∥， 又AB面PAB ，EF ⊄面PAB ，所以EF 平面PAB（2）证明：在矩形ABCD 中，AD CD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，CD ⊂面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AF ⊂面PAD ，所以CD AF ⊥①因为PA AD =且F 是PD 的中点，所以AF PD ⊥，②由①②及PD ⊂面PCD ，CD ⊂面PCD ，PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面 PCD .20．解：（Ⅰ）∵2222cos 22c b a b c C a ab++-==， ∴整理可得：222b c a bc +-=-，∴2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，∵(0,)A π∈，∴23A π=， （Ⅱ）∵23A π=，22DC BD ==，3b AC ==，可得：3a BC ==，∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2193232c c ⎛⎫=+-⨯-⎪⎝⎭，可得：2360c c -=，∴解得：3c = （负值舍去）， ∴2223cos 2233a b c C ab +-===⨯⨯， ∴ADC 中，由余弦定理可得：222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅=33423212+-⨯⨯⨯=． 21．（I ）∵底面ABCD 是正方形， ∴BC CD ⊥，∵SD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，∴SD BC ⊥，又DCSD D =， ∴BC ⊥平面SDC ，∵SC ⊂平面SDC ，∴BC SC ⊥.（II ）由（I ）知BC SC ⊥，又CD BC ⊥,∴SCD ∠为所求二面角的平面角， 在Rt DSC ∆中，∵1SD DC ==，∴45SCD ∠=︒. （III ）取AB 中点P ，连结,MP DP ，在ABS ，由中位线定理得MP SB ， DMP ∴∠或其补角是异面直线DM 与SB 所成角，∵132MP SB ==2151242DM DP ==+=， 所以DMP ∆中，有222DP MP DM =+，90DMP ∴∠=︒.22．（1）∵3()sin 3)2g x x x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭∴()cos cos g x x x x x =-=+∴()g x 的伴随向量OM (=-（2）向量(1,ON =的伴随函数为()sin f x x x =， ()8sin 2sin()35f x x x x π=+=+=，4sin()35x π∴+=,(0,)3632x x ππππ⎛⎫∈-∴+∈ ⎪⎝⎭，，3cos()35x π∴+=14sin sin sin cos 33232310x x x x ππππ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）由（1）知：()cos 2sin 6g x x x x π⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭将函数()g x 的图像（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，得到函数12sin 26y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭再把整个图像向右平移23π个单位长得到()h x 的图像，得到1211()2sin 2sin 2cos 236222h x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设1,2cos 2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵(2,3),(2,6)A B -∴12,2cos 32AP x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，12,2cos 62BP x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭又∵AP BP ⊥，∴0AP BP ⋅=∴11(2)(2)2cos 32cos 6022x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 221144cos 18cos 18022x x x -+-+=∴2219252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（*）∵122cos 22x -≤≤，∴131952cos 2222x -≤-≤- ∴225191692cos 4224x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭ 又∵2252544x -≤∴当且仅当0x =时，2192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭和2254x -同时等于254，这时（*）式成立∴在()y h x =的图像上存在点()0,2P ，使得AP BP ⊥.。