1.给出五种常用小波基的时域和频域波形图。
与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数(t)ψ 具有多样性。
小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。
目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。
常用小波基有Haar 小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet 小波、Meyer 小波等5种。
（1）Haar 小波Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简答的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t围的单个矩形波。
Haar 函数的定义如下：其他12121001-1(t)≤≤≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=ψt tHaar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。
但它也有自己的优点，如： 计算简单；(t)ψ不但与t)2(j ψz][j ∈正交，而且与自己的整数位移正交。
因此，在2j a =的多分辨率系统中Haar 小波构成一组最简单的正交归一的小波族。
()t ψ的傅里叶变换是：2/24=sin ()j e a ψ-ΩΩΩΩ（）jHaar 小波的时域和频域波形图-1.5-1-0.50.511.5thaar 时域x 10512345675fhaar 频域i=20; wav = 'haar';[phi,g1,xval] = wavefun(wav,i); subplot(1,2,1);plot(xval,g1,'-r','LineWidth',1.5); xlabel('t')title('haar 时域'); g2=fft(g1); g3=abs(g2);subplot(1,2,2);plot(g3); xlabel('f') title('haar 频域')（2）Daubechies(dbN)小波Daubechies 小波是世界著名的小波分析学者Inrid Daubechies 构造的小波函数，简写为dbN ，N 是小波的阶数。
小波(t)ψ和尺度函数(t)φ中的支撑区为12-N ，(t)ψ的消失矩为N 。
除1=N 外，dbN 不具有对称性（即非线性相位）。
dbN 没有明确的表达式（除1=N外），但转换函数h 的平方模是明确的。
Daubechies 小波系是由法国学者Daubechies 提出的一系列二进制小波的总称，在Matlab 中记为dbN ，N 为小波的序号，N 值取2，3，…，10。
该小波没有明确的解析表达式，小波函数φ与尺度函数Φ的有效支撑长度为2N-1.当N 取1时便成为Haar 小波。
令kN k kN kyp C∑-=+=11-(y)，其中C kN k+1-为二项式的系数，则有)2)p(sin2(cos)(2220ωωω=m式中，eh jk N k kωω-12021)(m ∑-==。
Daubechies 小波具有以下特点：（1）在时域是有限支撑的，即(t)ψ长度有限。
（2）在频域)(ωψ在ω=0处有N 阶零点。
（3）(t)ψ和它的整数位移正交归一，即⎰=δψψkk)dt -(t (t)。
（4）小波函数(t)ψ可以由所谓“尺度函数”(t)φ求出来。
尺度函数(t)φ为低通函数，长度有限，支撑域在t=0~(2N-1)围。
Daubechies 小波的时域和频域波形图2468-1-0.50.511.5tdb4 时域200040006000800001002003004005006007008009001000fdb4 频域i=10;wname = 'db4';[phi,g1,xval] = wavefun(wname,i); subplot(1,2,1);plot(xval,g1,'-r','LineWidth',1.5); xlabel('t')title('db4 时域'); g2=fft(g1); g3=abs(g2);subplot(1,2,2);plot(g3,'-r','LineWidth',1.5); xlabel('f') title('db4 频域')注意Daubechies 小波常用来分解和重构信号，作为滤波器使用。
波形如下：-0.200.20.40.60.8分解低通滤波器02468-1-0.500.51分解高通滤波器2468-0.50.51重构低通滤波器2468-1-0.50.51重构高通滤波器wname = 'db4'; % 计算该小波的4个滤波器[Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R] = wfilters(wname); subplot(2,2,1); stem(Lo_D); title('分解低通滤波器'); subplot(2,2,2); stem(Hi_D); title('分解高通滤波器'); subplot(2,2,3); stem(Lo_R); title('重构低通滤波器'); subplot(2,2,4); stem(Hi_R); title('重构高通滤波器');（3）Mexican Hat(mexh)小波Mexican Hat 函数为Gauss 函数的二阶导数：et 2-22)-(1(t)t=ψe2-222)(ωωπωψ=因为它的形状像墨西哥帽的截面，所以也称为墨西哥帽函数。
Mexican Hat(mexh)小波的时域和频域波形图-10-50510-0.500.51tMexihat 时域5010051015fmexihat 频域d=-6; h=6; n=100;[g1,x]=mexihat(d,h,n);subplot(2,2,1);plot(x,g1,'-r','LineWidth',1.5); xlabel('t')title('Mexihat 时域'); g2=fft(g1); g3=(abs(g2));subplot(2,2,2);plot(g3); xlabel('f')title('mexihat 频域');特点：墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足0(t)=⎰dt Rψ。
由于它不存在尺度函数，所以小波函数不具有正交性。
（4）Morlet 小波它是高斯包络下的单频率副正弦函数：(5x)cos (t)2-2e tC =ψC 是重构时的归一化常数。
Morlet 小波没有尺度函数(t)φ，而且是非正交分解。
Morlet 小波的时域波形图和频域波形图-10-50510-1-0.500.51tMorlet 时域5010051015fMorlet 频域d=-6; h=6; n=100;[g1,x]=morlet(d,h,n);subplot(2,2,1);plot(x,g1,'-r','LineWidth',1.5); xlabel('t')title('Morlet 时域'); g2=fft(g1); g3=abs(g2);subplot(2,2,2);plot(g3); xlabel('f')title('Morlet 频域')（5）Meyer 小波Meyer 小波的小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的，其定义为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∉≤≤≤≤=38,32038341))-23v(2(cos )(234321))-23v(2(sin )(2)(221-221-ππωπωπωππππωπωπππωψe e jw jw其中，v(a)为构造Meyer 小波的辅助函数，具有[]0,1a )20-7084a -(35(a)a a 324∈+=a v3434323201))-23v(2(cos )(2)(2)(21-21-πωπωππωωππππωφ>≤≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧= Meyer 小波不是紧支撑的，但它收敛的速度很快：n-2)t (1(t)+≤C nψ(t)ψ无限可微。
Meyer 小波的时域和频域波形图-1012tMeyer 时域51015fmeyer 频域d = -6; h = 6; n = 128;[psi,x] = meyer(d,h,n,'psi');subplot(2,1,1), plot(x,psi,'-r','LineWidth',1.5) xlabel('t')title('Meyer 时域'); PSI=fft(psi); PSII=abs(PSI);subplot(2,1,2), plot(PSII); xlabel('f')title('meyer 频域')2、在信号 x （t ）=sin(2π*30t)+cos （2π*50t ）加上噪音后分别进行FFT 和CWT 变换。
解：引入随机噪声randn(1,N)50100-22tx (t )原信号x(t)波形图5010050f x(t)的fft 变换图5010050fx(t)加噪声后fft 变换图morlettime (or space) bs c a l e s a204060801001246050100-11尺度为1050100-22尺度为2N=100;fs=1000;.n=0:N-1;t=n/fs;x=sin(60*pi*t)+cos(100*pi*t); %原信号subplot(3,2,1);plot(x,'-r','LineWidth',1.5);xlabel('t')ylabel('x(t)')title('原信号x(t)波形图')F1=fft(x);m1=abs(F1);subplot(3,2,2);plot(m1);xlabel('f')title('x(t)的fft变换图')x1=randn(1,N); %加入噪声x2=x+x1;F2=fft(x2);m2=abs(F2);subplot(3,2,3);plot(m2);xlabel('f')title('x(t)加噪声后fft变换图')scale=[1 2 4 6]; %设置尺度subplot(3,2,4);x3=cwt(x2,scale,'morl','plot');title('morlet'); %加噪声后CWT变换结果图subplot(3,2,5);plot(x3(1,:));title('尺度为1');subplot(3,2,6);plot(x3(2,:));title('尺度为2');.专业WORD.。