第11章幂级数
1．求在处的T aylor级数，并求其收敛半径．[浙江大学研] 解：
再求收敛半径，令，则
即
所以|x|<1．故级数收敛半径为1．
2．试求下列级数的和：
（1）
（2）[山东大学研]
解：（1）的收敛区间为（－1，1），所以
故
（2）的收敛区间为（－1，1）
所以
又
所以
故
3．已知绝对收敛，收敛，证明：级数收敛．[哈尔滨工业大学研]
证明：根据阿贝尔引理的一般形式，对任意的自然数p考虑
（1）由于级数收敛，故对，当n>N时，对任何自然数p，有
（2）由于绝对收敛，设，从而对任意的自然数n有并且由于，从而
根据①式，对，当n>N时，对任何自然数p有
由的任意性及柯西准则知，级数收敛．4．设在x=-2处条件收敛，求其收敛半径．[东南大学研]
解：当x=-2时，原幂级数为条件收敛，所以不收敛，即当x=4时不收敛．故其收敛半径为．
5．求幂级数的收敛域．[天津工业大学研]
解：由于，又，故收敛半径R=1．由积分判别法知发散，所以发散；由Leibniz判别法知
收敛．故的收敛域为[-1，1）．
6．求幂级数的收敛域及和函数．[哈尔滨工业大学2006研]
解：因为，所以收敛半径R=1．因为当x=0时，幂级数
收敛；当x=2时，幂级数发散．故该幂级数的收敛域为[0，2）．7．求的收敛域及和函数．[东南大学2006研]
解：因为，当x-1=±1时，该级数变为，其一般项均不趋于0，所以当x-1=±1时该级数发散，故该级数的收敛域为（0，2）．在（0，2）内该幂级数可以逐项求导、求积分，所以有
8．求的收敛域，并求该级数的和．[华南理工大学研]
解：因为，所以R=1．当x=±1时，有
，
所以的收敛域为（-1，1）．由于
这两个级数在（-1，1）内可以逐项求导、求积分．令
，
则有
令，则
同时令，所以
9．求的收敛域，并求其和．[中国科学院2007研]
解：因为，所以
的收敛域为（-∞，+∞），则在（-∞，+∞）内有
令，则
所以
10．将函数展开成x的幂级数．[武汉理工大学研] 解：由于，所以
则
故展开成x的幂级数为
11．求，并求证它也等于．[中国科学院2006研] 解：
由于，所以由幂级数的性质知
结论得证．。