高等数学作业CⅡ吉林大学公共数学教学与研究中心2013年3月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．平面1=+z y （ ）． （A ）平行于yoz 平面； （B ）平行于x 轴； （C ）平行于xoz 面；（D ）平行于xoy 平面．2．平面1=z 与曲面14222=++z y x （ ）． （A ）不相交；（B ）交于一点； （C ）交线为一个椭圆；（D ）交线为一个圆．3．方程z y x =-4222所表示的曲面为（ ）． （A ）椭球面； （B ）柱面； （C ）双曲抛物面； （D ）旋转抛物面．4．过点(1,2,4)-且与平面234x y z -+=垂直的直线方程是（ ）． （A ）124231x y z -+-==--； （B ）238x y z -+=； （C ）124124x y z -+-==-；（D ）124231x y z ---==-． 5．设有直线182511:1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x L ，则L 1与L 2的夹角为（ ）．（A ）6π； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2π． 6．设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L （ ）．（A ）平行于π； （B ）在π上； （C ）垂直于π； （D ）与π斜交．二、填空题1．设,a b 均为非零向量，且||||+=-a b a b ，则a 与b 的夹角为 ． 2．与直线⎩⎨⎧=+-=++0132z y x z y x 平行的单位向量为 ．3．点0(1,2,1)M 到平面2210x y z π++=:的距离为 ．4．若||3=a ，||=b a ，b 间夹角为34θπ=，则||+=a b ，||⨯=a b ．5．xoz 平面上的曲线1x =绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 ．6．曲线⎩⎨⎧=-+--=032622z y y x z 在xoy 面上的投影曲线方程为 ．7．已知向量a ，b ，c 两两相互垂直，且||1=a ，||=b ，||1=c ，则有||++=a b c ．三、计算题 1．求过直线1212:102x y z L --+==-，且平行于直线221:212x y zL +-==--的平面π的方程．2．求点(2,1,3)到直线11321x y z+-==-的距离．3．设空间三点)2,1,1(-A，)4,5,4(B，)2,2,2(C，求三角形ABC的面积．4．设有直线210:210x y z L x y z ++-=⎧⎨-++=⎩，平面:0x y π+=求直线L 与平面π的夹角；如果L 与π相交，求交点．5．求过平面02=+y x 和平面6324=++z y x 的交线，并切于球面4222=++z y x 的平面方程．第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．22003limx y xyx y →→=+（ ）． （A ）32； （B ）0； （C ）65； （D ）不存在．2．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在)0,0(处（ ）．（A ）连续，偏导数存在； （B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在；（D ）不连续，偏导数不存在．3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（ ）．（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=； （B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；（D ）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--．4．若(,)f x y 的点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则（ ）． （A ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内有界； （B ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内连续；（C ）0(,)f x y 在点0x 处连续，0(,)f x y 在点0y 处连续； （D ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续．5．设22(,),2zz f x y y∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（ ）．（A ）21xy x -+； （B ）21xy y ++； （C ）221x y y -+； （D ）221x y y ++． 二、填空题1．z =的定义域为 ．2．00x y →→= ．3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f ，=')4,3(y f ． 4．设ln(32)u x y z =-+，则d u = ． 5．设yz x =，则2z x y∂=∂∂ ．三、计算题1．已知2)z f =，且当1y =时z x =，求()f t 及z 的表达式．2．讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx yf x y x yx y⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性．3．设(1)yz xy=+，求d z．4．求2e d yzt xz u t =⎰的偏导数．四、应用题某种数码相机的销售量Q A 除与它自身的价格P A 有关外，还与彩色喷墨打印机的价格P B 有关，具体为210250120BB AA P P P Q --+=，求50=A P ，50=B P 时 （1）Q A 对P A 的弹性；（2）Q A 对P B 的交叉弹性．五、证明题1．设r=0r≠时，有2222222r r rx y z r∂∂∂++=∂∂∂．2．证明函数(,)f x y=(0, 0)处：（1）连续；（2）偏导数存在；（3）不可微．第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．设22()y z f x y =-，其中()f u 为可导函数，则zx∂∂=（ ）． （A ）2222()xyf x y --；（B ）222222()()xyf x y f x y '---；（C ）22222()()yf x y f x y '---；（D ）2222222()()()f x y yf x y f x y '-----． 2．()u f r =，而r =，且函数()f r 具有二阶连续导数，则22ux∂+∂2222u uy z ∂∂+=∂∂( )． （A ）1()()f r f r r '''+；（B ）2()()f r f r r '''+； （C ）211()()f r f r r r'''+；（D ）212()()f r f r r r '''+．3．设方程(,,)0F x y y z z x ---=确定z 是x ，y 的函数，F 是可微函数，则z x∂∂=（ ）．（A ）13F F '-'； （B ）13F F ''； （C ）x zy zF F F F --；（D ）1323F F F F ''-''-．4．设(,),(,),(,)x x y z y y z x z z x y ===都由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数，则下列等式中，不正确的一个是（ ）．（A ）1x yy x∂∂=∂∂； （B ）1x zz x∂∂=∂∂； （C ）1x y zy z x∂∂∂=∂∂∂；（D ）1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂．5．设(,)u x y 在平面有界闭区域D 上是C (2)类函数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂，则(,)u x y 的 ( )． （A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上； （C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最得到值点在D 的边界上． 二、填空题 1．设yx u xsin e-=，则y x u ∂∂∂2在⎪⎭⎫⎝⎛π1,2处的值为 ． 2．已知(1,2)4,d (1,2)16d 4d ,d (1,4)64d 8d f f x y f x y ==+=+，则(,(,))z f x f x y =在点（1, 2）处对x 的偏导数为 ．3．由方程e z xy yz zx -+=所确定的隐函数(,)z z x y =在点（1, 1）处的全微分为 ．4．22z x y =+在条件1x y +=下的极小值是 ． 三、计算与解答题1．设f 是C (2)类函数，22(e ,)xyz f x y =-，求2zx y∂∂∂．2．设32(32)x y z x y -=-，求d z ．3．设arctan yx，求22d d y x ．4．设⎰+-=u v ut t z 222d e ，x u sin =，x v e =，求xz d d ．5．求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值．6．求函数22=+≤上的最大值和{(,)|25}D x y x yf x y x y x y(,)1216=+-+在区域22最小值．四、应用题某企业在雇用x名技术工人，y名非技术工人时，产品的产量232+-=，若企业只能雇用230人，那么该雇用多少技术工人，多少非技术12Q-8yxyx工人才能使产量Q最大？第四次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+⎰⎰，其中D 是由0y =，2y x =，1x =所围区域，则(,)f x y 等于( )．（A ）xy ；（B ）2xy ；（C ）18xy +； （D ）1xy +．2．设D 是xOy 平面上以(1, 1), (-1, 1)和(-1, -1)为顶点的三角形区域，D 1是D 的第一象限部分，则(cos sin )d d Dxy x y x y +⎰⎰等于( )．（A ）12cos sin d d D x y x y ⎰⎰；（B ）12d d D xy x y ⎰⎰；（C ）；14cos sin )d d D xy x y x y +⎰⎰（ （D ）0．3．设平面区域22:14,(,)D x y f x y ≤+≤是在区域D 上的连续函数，则d d Df x y ⎰⎰等于 ( )．（A ）212()d rf r r π⎰；（B ）21002()d ()d rf r r rf r r π⎡⎤+⎣⎦⎰⎰；（C ）2212()d rf r r π⎰； （D ）2122002()d ()d rf r r rf r r π⎡⎤+⎣⎦⎰⎰．4．设有空间区域22221:,0x y z R z Ω++≤≥及22222:x y z R Ω++≤，0x ≥，0y ≥，0z ≥，则( )．（A ）12d 4d x V x V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （B ）12d 4d y V y V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（C ）12d 4d z V z V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（D ）12d 4d xyz V xyz V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．二、填空题1．积分2220d e d y x x y -=⎰⎰ ． 2．交换积分次序：14012d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y -+=⎰⎰⎰⎰ ．3．设区域D 为||||1x y +≤，则(||||)d d Dx y x y +=⎰⎰ ． 4．设区域D 为222x y R +≤，则2222d d D x y x y ab ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰⎰ ．5．直角坐标中三次积分22110d (,,)d x y I x y f x y z z +-=⎰⎰⎰在柱面坐标中先z 再r 后θ顺序的三次积分是 ．三、计算题1．计算|cos()|d d Dx y x y +⎰⎰，其中D 是由直线,0,2y x y x π===所围成的三角形区域．2．计算sin d d Dx yx y y⎰⎰，其中D 是由2y x =和y x =所围成的区域．3．计算22()d d Dx y x y +⎰⎰，其中{(,)|02,D x y x y =≤≤≤≤．4．计算23d xy z V Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z xy =与平面,1y x x ==和0z =所围成的闭或区域．5．计算d I xyz V Ω=⎰⎰⎰，其中222{(,,)|1,0,0,0}x y z x y z x y z Ω=++≤≥≥≥．6．设()d F t fV Ω=⎰⎰⎰，其中2222:,()x y z t f t Ω++≤在0t =可导，且(0)0f =，求4()lim t F t t π+→．四、证明题设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且恒大于零，证明2d ()d ()()bbaaxf x x b a f x ≥-⎰⎰．阶段测试题学院 班级 姓名 学号一、单项选择题（每小题3分，满分21分）1．(3,5,2),(2,1,4),λμ=-=+a b a b 与z 轴垂直，则,λμ满足条件（ ）． （A ）λμ=；（B ）λμ=-； （C ）2λμ=； （D ）2μλ=．2．二元函数(,)z f x y =在00(,)x y 连续，且00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)z f x y =在00(,)x y 可微的（ ）条件．（A ）充分（B ）必要（C ）充分必要（D ）非充分非必要3．已知(,)x f x y 、(,)y f x y 在（0，0）连续，则(,)z f x y =在（0，0）处，()(,0)x f x φ=在0x =处（ ）． （A ）均连续 （B ）均不一定连续（C ）均不连续（D ）()x φ一定连续，(,)f x y 不一定连续4．设区域D 由曲线x y =与2x y =围成，则⎰⎰Dxy σd 的值为（ ）．（A ）121-； （B ）121； （C ）241； （D ）241-．5．设D 由y =0y =围成，则(e sin )d d y Dx y x y +=⎰⎰（ ）． （A ）0（B ）1（C ）2/3（D ）4/36．将极坐标系下的二次积分r r r rf I d )sin ,cos (d sin 20⎰⎰=θπθθθ化为直角坐标系下的二次积分，则I =（ ）．（A ）x y x f y y y d ),(d 22111111⎰⎰-+---； （B ）y y x f x x x x x d ),(d 22222⎰⎰---； （C ）x y x f y y y y y d ),(d 222211⎰⎰----；（D ）y y x f x x x d ),(d 22111111⎰⎰-+---．7．设Ω由22222,2(0)z x y x y z z =+++=≥围成，则三重积分222()d x y z VΩ++⎰⎰⎰化为柱面坐标系下三次积分为（ ）．（A ）22222d d )d rr r r z z πθ+⎰⎰⎰（B ）22220d d )d rr r z z πθ+⎰⎰⎰（C ）221d d rr r z πθ⎰⎰⎰（D ）221220d d )d rr r r z z πθ+⎰⎰⎰二、填空题（每小题3分，满分18分）1．已知a ，b ，c 都是单位向量，且满足0++=a b c ，则⋅+⋅+⋅=a b b c c a ． 2．通过点（1,2,1）且与直线⎩⎨⎧=--+=-+-04230532z y x z y x 垂直的平面方程 ．3．已知3(,)e ln 2x f x y y =，则1(0,)2x f '= ，(0,1)yyf ''= ． 4．11[()()]()d 22x at x atu x at x at f t ta φφ+-=++-+⎰，其中(2),f C φ∈，则 22222u u a t x∂∂-=∂∂ ．5．设Ω为由z =2z =围成的空间区域，a 为常数，则d a V Ω=⎰⎰⎰ ．6．设I d (,)d d (,)d x R x f x y y x f x y y =+⎰⎰⎰，改变积分次序I = ；化为极坐标下二次积分为I = ．三、计算题（每小题8分，满分40分）1．(2,sin )(e ln )x z f x y y x xg y =-+，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶导数。