排列组合问题的求解策略
杨昌叶
求解排列组合的综合问题，一般是先选元素（组合），后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生连续性过程“分步”，在计数时注意不重复，不遗漏。
常见的解题策略有以下几种：
1. 特殊位置（或元素）优先安排
例1. 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）
A. 300种
B. 240种
C. 144种
D. 96种
（05年福建卷）
解析：因为甲、乙不去巴黎，故从其余4人选1人去巴黎有C 41
种方法，再从剩余5人中选3人去其余3市，有A 53种方法，所以共有方案C A 4153240=（种）
，故选（B ）。
2. 合理分类与准确分步
例2. 从集合{O ，P ，Q ，R ，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），每排中字母P 、Q 和数字0至多只出现一个的不同排法种数是____________（用数字作答）。
（05年浙江卷）
解析：（1）每排中只有数字0的排法有C C A 91
32
44
； （2）每排中只有字母P 或Q 的排法都有C C A 31
92
44
； （3）每排中无数字0，字母P 、Q 的排法有C C A 32
92
44。
所以不同的排法种数共有：
()C C C C C C A 91323192329244
28424++=
3. 排列、组合混合问题先选元（组合）后排列
例3. 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共_________________种（用数字作答）。
（全国高考）
解析：先将4个球分成3组，每组至少1个（即必有一组为2个），分法有C 42
种，然后再将这3组球放入4个盒子中每盒最多装一组，则恰有一个空盒的放法种数为C A 4243144
=（种）。
4. 正难则反、等价转化
例4. 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_____________个。
（05年全国卷） 解析：用排除法解决。
（1）总的四位数有C A 5153
；
（2）个位数字为0的四位数有A 53；
（3）个位数字为5的四位数有C A 4142。
所以符合条件的四位数个数共有：
C A A C A 51535341423006048192--=--=
另解：直接求有4442
⨯⨯A 法（想一想，为什么？）
5. 相邻问题捆绑处理
例5. 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同放法种数为（ ）
A. 96
B. 48
C. 24
D. 0
（05年江苏卷）
解析：在四棱锥S ABCD -中
（1）先把安全的产品捆绑在一起有2种方法
①()()()()SA CD SB AD SC AB SD BC ，，，，，，，；
②()()()()SA BC SB CD SC AD SD AB ，，，，，，，。
（2）四组产品放在4个编号不同的仓库里有A 44
种，所以安全存放的方法共有：
22244844
A =⨯=（种）。
故选（B ）。
6. 不相邻问题插空处理
例6. 用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4
相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有________________个（用数字作答）。
（05年辽宁卷）
解析：此题是捆绑法和插空法的综合应用问题。
把相邻的两个数捆成一捆，分成四个空，
然后再将7与8插进空中有A 42种插法；而相邻的三捆都有A 22种排法，再它们之间又有A 33种
排序方法。
故这样的八位数共有：
A A A A A 2222223342
8612576=⨯⨯=（个）
7. 定序问题排除处理
例7. 在7名运动员中选4名运动员组成接力队，参加4100⨯接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法共有多少种？
解析：先从7人中任选4人接力有A 74
种方法，排除甲和乙跑中间棒的221
63
A A 种方法，
但甲、乙二人都跑中间的减了两次，故再加上二人都跑中间棒的A A 2252
种方法，即
A A A A A 7421632252
2400-+=（种）
另解：直接求有A A 5252法（想一想，为什么？）
8. 分排问题直接处理
例8. 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）
A. 234
B. 346
C. 350
D. 363
（04年辽宁卷）
解析：在排列问题中，站若干排与站一排一样，故一共可坐的位子有20个，2个人就座
方法数为A 202
，还需排除两人左右相邻的情况，把可坐的20座位排成连续一行（一排末位B 与二排首位C 相接），任两个座位看成一个整体，即相邻的坐法有A A 1912
2，但这其中包括B 、C 相邻与E 、F （前排中间3座的左E 、右F ）相邻，而这种相邻在实际中是不相邻的，还应
再加上222A 。
所以不同排法的种数为：
A A A A 2021912222
2346-+=
故选B 。
9. 构造模型
例9. 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种方法？ （1）一堆一本，一堆两本，一堆三本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人得一本，一人得二本，一人得三本； （4）平均分给甲、乙、丙三人；
（5）平均分成三堆。
解析：本问题中的每一小题都提出了一种类型问题，要搞清类型的归属。
（1）属非均匀分组问题，先在6本书中任取一本，作为一堆，有C 61
种取法，再从余下的5本书中任取2本作为一堆，有C 52种取法，最后余下的3本作为一堆有C 33种取法，故共
有分法：
C C C 615233
60=（种）
（2）属非均匀定向分配问题，与（1）同解，因每种分组方法仅对应一种分配方法，故也共有分法60种。
（3）属非均匀不定向分配问题，由（1）知分成三堆有60种，但每一种分组方法又有A 33
种不同的分配方案，故共有分法6036033
A =（种）。
（4）属均匀定向分配问题，3个人一个一个地来取书，甲取有C 62种，乙再去取有C 42
种，最后余下的归丙有C 22种，故共有
C C C 624222
90=（种）
（5）属均匀分组问题，把6本不同的书分成三堆，每堆2本与把6本不同的书分给甲、乙、丙三，每人2本的区别在于后者相当于把6本不同的书，平均分成三堆后再把分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人，因此设把6本不同的书平均分成三堆的方法有x 种，由（4）知
把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有C C C 624222
种。
所以xA C C C 33624222
= 则x =15（种）
10. 用“树型”图处理
例10. 设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两个顶点之一，若在5次之内跳到D 点，则停止跳动，若在5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法的种数是（ ）
A. 6
B. 8
C. 16
D. 26
（05年贵州）
解析：青蛙从A点开始，往相邻两个顶点B和F跳到D点的次数是相同的，又青蛙第一次往B方向跳的跳法可用“树型”图表示如下：
由图知有13种跳法，所以共有跳法2×13=26（种），故选（D），此种方法是解决数量较小排列问题的常用方法之一，优点是把抽象变为直观。