平方根的有关概念例1:写出下列各数的算术平方根。

81 」 2（1）0.0009 ；（2）方；（3） -549•平方根1.定义：如果一个数的平方等于 a ，这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。

即如果x负平方根用“-2 a ”表示，根指数是2时，通常省略不写。

一 J. a 记作士 Pa ，读作“正、负根号 a ”。

实数那么x 就叫做a 的平方根。

如：_22=4，所以4的平方根是_2 ；925所以93— 的平方根是 二—；02 = 0 ,所以 25 50的平方根是0。

2.表示方法一个数a 的正的平方根，用符号“2a ” 表示，a 叫做被开方数,2叫做根指数,如Va 记作需，读作“根号a ”,温馨提示① 任何数的平方都不能为负数，所以负数没有平方根。

② “ 5是25的平方根”这种说法是正确的，反过来说“25的平方根是5”就错了，因为“正数有两个平方根”，所以必须说“ 25的平方根是土 5”。

③求一个数的平方根就是把平方后等于这个数的所有数都求出来, 个数的平方根，只要把这个数平方，看其是否等于另一个数即可。

3•平方根的性质(1 )一个正数a 有两个平方根，它们互为相反数，记作 a 。

(2) 零的平方根是零。

(3)负数没有平方根。

厂温馨提示条件。

例2:判断下列说法是否正确，并说明理由。

(1) 一 6的平方根是36；( 2)1的平方根是1；( 3)-9的平方根是—3 ；( 4) 361 二-19 ；(5) 9是一 9 2的算术平方根。

而判断一个数是不是另①a _ 0时，、a 表示a 的算术平方根，-,a 表示a 的平方根。

②因为负数没有平方根，所以被开方数a _ 0。

女口 x - 3中隐含着x-3_0，即x_ 3这一■③ G/a f=a (a H 0 ), J a 2=*a, a -a, a : 0.-0,一•开平方的方法求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。

开平方运算与平方运算互为逆运算。

-..a 表示非负数a 的平方根，■■. a 表示非负数 负的平方根。

例1：下列各式中正确的是() A. : -3^-3 B. C.二3，= _3D.二•平方根的性质的应用方法要判断一个数有无平方根或平方根有几个，关键是确定这个数是正数、负数还是0。

如果m,n 是正数a 的平方根，那么有 m = n 或m ，n=0 ；但如果正数a 平方根是m, n ,那么 只能有m ■ n = 0。

例2:如果一个数的平方根是x 3与2x -15，那么这个数是多少？三.利用平方根的概念解方程的方法一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0只有一个平方根，负数没有平方根。

在解方程时，利用平方根的定义进行开方，从而求出未知数的值。

例3:求下列各式中的x 的值。

2 2(1) x =361； (2) 81x 「49 = 0 ; (3) 49 x 2 1 =50 ； (4) 3x-1 2 =：一5 2a 的算术平方根，- •. a 表示非负数a 的-.3^-3 3—3实数立方根的有关概念一.立方根例1:求下列各数的立方根：27(1) ； (2) - 27 ; (3) - 0.216642.立方根的性质（1）正数只有一个正的立方根；（2）负数只有一个负的立方根；（3）零的立方根为零。

［温馨提示\①一个数的立方根是唯一的。

②正数的奇次方根时正数，负数的奇次方根是负数，零的任何正整数次方根均为0。

③垃-a = 一翠a、傀匚7 $ = —a、％a3 =a，公式中的a可取任意数。

④当两个数相等时，这两个数的立方根相等，反过来，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等。

即若a b，则3 a 3 b;若3 a 3 b，则a b。

例2:下列说法中错误的有（)① 任何一个数都有立方根； ② 14的立方根是3 14 ; ③ 3是27的立方根；④ 正数的平方根有两个，立方根也有两个。

A.0 个B.1 个C.2二•开立方求一个数a 的立方根的运算叫做开立方。

例如：8的立方根为38 ^2。

②开立方运算与立方运算是互为逆运算的关系,负数(在实数范围内) 不能开平方但可以进行开立方运算。

③ 求一个负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，然后取它的相反数，即 站-a = -站a (a a 0 )。

④ 求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。

例3:求下列各式的值。

—丄；⑵蚯、；(3)彳27_5；(4)3三•立方根与平方根的区别和联系 1•立方根与平方根的不同点:(1 )定义不同：平方根的概念强调“平方”二字，立方根的概念强调“立方”二字，即平 方根的逆运算是平方，立方根的逆运算是立方。

(2)表示方法不同：平方根用“ 土旷”表示，根指数2可以省略，写成“土、立方 根用“ 3「”表示，根指数3不能省略，更不能写成“二3「”。

(3 )性质不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；而任何一个数的立方根却只 有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零。

(4) a 的取值范围不同：平方根- a 中a 的取值范围必须是非负数， 而立方根3 a 中a 的取值为任何数，即正数、负数、零均可。

2•立方根与平方根的相同点:(1)都是求根：平方根与立方根的定义都是建立在乘方概念的基础上。

在指数式x^a 中，当n = 2时，求x 的值就是求a 的平方根；当n =3时，求x 的值就是求a 的立方根。

这就 表明无论是求平方根①被开方数的数可以是正数、负数和0。

个 D.3还是求立方根，都是已知指数和幕，求底数。

(2 )都与乘方知识有关：不论是求平方根还是求立方根，都属于开方运算。

开方是乘方的逆运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算。

(3 )零的平方根与立方根都是零。

(4)都可以归结为非负数的非负方根来研究：平方根主要是通过算术平方根来研究；而负数的立方根也可以通过3= -3 a a 0转化为整数的立方根来研究。

1掌握方法=一.立方根性质的应用方法(1)正数、0、负数都有立方根，且只有一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号是一致的；(2 )一个数的立方的立方根、一个数的立方根的立方都等于其本身；(3)互为相反数的立方根仍互为相反数，互为相反数的立方仍互为相反数。

例1:若3 2a -1 一3一5a 8，求a2015的值。

二.利用立方根的概念解方程的方法正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；o的立方根是o。

在解方程时，利用立方根的定义进行开立方，从而求出未知数的值，在求立方根时，常需转化为X3二a的形式，也常常将x a 3中的x a看作一个整体。

例2：求下列各式中x的值：(1) 8x327 =0 ； (2) x -1 3=64；(3) 64(x+1^=27 ； (4) 3(x—3^—24= 0。

三•方根中小数点移动规律的应用在开方运算中，被开方数的小数点移动时，其方根的小数点相应地移动是有规律的：(1) 在开平方运算中，被开方数的小数点向左(右)移动两位时，其平方根的小数点向左(右) 移动一位；(2)在开立方运算中，被开方数的小数点向左(右)移动三位时，其立方根的小数点向左（右）移动一位。

例3:填空：(1)已知3216=6，贝『0.216= ________ , 3 216000= ________(2)已知3.1331 =11，则3 1.331= _______ , 3 1331000= _______［夯实基础J ---- - -----一•无理数无限不循环小数叫做无理数。

/温馨提示① 无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，而无理数是指无限不循环小数。

② 常遇到的无理数有三类：开放开不尽的数的方根，如 .3， - 3 5等；特定结构的数，如0.303 003 0003…；特定意义的数，如 二。

③ 许多带根号的数是无理数，如,5、-.7等，但带根号并不是无理数的本质特征，因为像v4 , J9 , V8,等都是有理数。

\27④ 有限小数和无限循环小数都可以化为分数， 所以都是有理数；而无限不循环小数不能化为分数，是无理数。

⑤ 无理数与有理数的和、差一定是无理数。

⑥ 无理数乘或除以一个不为 0的有理数，结果一定是无理数。

二•实数及其分类有理数和无理数统称为实数。

1•按定义分类- 正整数 整数〈零负整数2•按性质分类实数实数有理数《 实数分数*正分数负分数无理数丿正无理数负无理数正整数 正分数 正无理数 负整数负分数负无理数例1：把下列各数填入相应的集合内:(3)实数的倒数1实数的倒数和有理数的倒数一样，如果 a 表示一个非零的实数，那么 a 与一互为倒数。

a实数a 与b 互为倒数，则ab =1,反之也成立。

(4) 实数与数轴上的点是 对应的关系，数轴上每一个点都表示一个实数；反过来，每 一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。

在数轴上，右边点对应的实数比左边点对应的实数大；正实数大于一切负实数， 0大于一切负实数，正实数都大于 0。

任意两个实数间都有无数个有理数和无理数。

（5）实数和有理数一样，可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算；有理数范围内的运算正实数负实数』负有理数」-0.55 , 3-8 , i ，0, "，-31，34，-4.85 ,-9,0.232232223(每两个3之间依次多1个2 ), -6.1整数集合｛ 正无理数集合｛ ...}; 负分数集合｛ ...};负实数集合｛三.实数的性质 (1)实数的相反数实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义是一样的。

只有符号不同的两个数互为相反数，即实数a 的相反数是-a 。

实数a 与b 互为相反数，则a •b = 0，反之也成立。

(2)实数的绝对值实数的绝对值和有理数的绝对值的意义相同， 一个正实数的绝对值等于它本身；一个负实数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0。

一个实数a 的绝对值:a 手0 a =0 ,-a a ：：律、运算法则在实数范围内仍适用。

交换律：a b = b a，ab = ba ；结合律：a b c 二a b c，abc = abc ；分配律：a b c = ab ac。

例2：求下列各数的相反数和绝对值。

（1）.7 ；（2）一3 9 ；（3）；（4）1-2。

2［掌握方法=一•无理数的识别方法判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写成无限不循环小数的形式，而把无理数写成无限不循环小数的形式不但很麻烦，而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。

初中常见的无理数有三种类型：（1）开方开不尽的数的方根，但切不可认为带根号的数都是无理数；（2）化简后含二；（3）不循环的无限小数。

掌握常见无理数的类型有助于识别无理数。

例1：把下列各数分别填入相应的括号内。

33 二0 , 1.5789 , 16 , 0.3 , - 0.202002000200002 , ，—。