第一章1.1 X~N(μ,2σ)则X~N(μ,2nσ)，所以X－μ~N(0,2nσ)P{X-μ<1}= P{ ＝0.95N（0,1）,而(0.975) 1.96Φ=所以n最小要取[21.96x2σ]+11.2 （1）至800小时，没有一个元件失效这个事件等价于P{123456X X X X X X>800}的概率由已知X服从指数分布，可求得P{123456X X X X X X>800}＝7.2e-（2）至3000小时，所有六个元件都失效的概率等价与P{123456X X X X X X<3000}的概率可求得P{123456X X X X X X<3000}= 4.56(1)e--1.5 21()niiX a=-∑＝21[()()]niiX X X a=-+-∑＝22111()2()()()n n ni ii i iX X X a X X X a===-+--+-∑∑∑因为1()niiX X=-∑＝0所以21()niiX a=-∑＝2211()()n nii iX X X a==-+-∑∑＝221()ninS X a=+-∑所以当a＝X时，21()niiX a=-∑有最小值且等于2nS1.6 （1）由11niiX Xn==∑有等式的左边＝22112nnii i i XX n μμ==-+∑∑等式的右边＝22221122nnii i i XX X nX nX nX n μμ==-++-+∑∑＝222221122nnii i i XnX nX nX X n μμ==-++-+∑∑＝22112nnii i i XX n μμ==-+∑∑左边等于右边，结论得证。

（2）等式的左边＝22112nn ii i i XX X nX ==-+∑∑＝221ni i X nX =-∑等式的右边＝221nii XnX =-∑左边等于右边，结论得证。

1.7 （1）由11n n i i X X n ==∑ 及 2211()n n i n i S X X n ==-∑有左边=1111111111()1111n nnn n i i n i i i i X X X X X X n n n n ++++=====+=+++++∑∑∑ 111()111n n n n n nX X X X X n n n ++=+=+-+++=右边 左边等于右边，结论得证。

（2）由 左边=1221111()1n n i n i SX X n +++==-+∑ 121111[()]11n i n n n i X X X X n n ++==---++∑121111[()()]11n i n n n i X X X X n n ++==---++∑ 1221121121[()()()()]11(1)n i n i n n n n n i X X X X X X X X n n n +++==----+-+++∑2221121111()()()]11(1)n i n n n n n i X X X X X X n n n ++==-+---+++∑ 2212()1(1)n n n nS nX X n n +=+-++ 2211[()]11n n n n S X X n n +=+-++=右边 左边等于右边，结论得证。

1.9 因为 i i y ax b =+所以 111111()n n ni i i i i i y y ax b ax b ax b n n n =====+=+=+∑∑∑222111111()()()n n n yi i i i i i S y y ax b ax b ax ax n n n ====-=+--=-∑∑∑22x a S =再令179.98y =，……，1479.96y =再令 a=1,b=80由80ii i y ax b x =+=+得：i x 为：-0.02，0.04，0.02，0.04，0.03，0.03，0.04，-0.03，0.05，0.03，0.02，0.00，0.02，-0.0414110.016414i i x x ===∑14142221111()(0.0164)0.00071414xi ii i S x x x ===-=-=∑∑0.01648080.0164y ax b =+=+=2220.0007y x S a S ==1.10 由 11ni i X X n ==∑2211()ni i S X X n ==-∑故1111()()()()n ni i i i E X E X E X E X n n =====∑∑211111()()()()n n i i i i D X D X D X D X n n n =====∑∑()222211111[()][(2)()n n i i i i i n E S E X X E X X X X D X n n n==-=-=-+=∑∑（1） 二项分布()E X mp = ()(1)D X m p p=- ()()E X E X mp ==1(1)()()mp p D X D X n n -== 211()()(1)n n E S D X mp p n n--==- （2） 泊松分布()E X λ= ()D X λ=()()E X E X λ==1()()D X D X n n λ== 211()()n n E S D X n nλ--== （3） 均匀分布()2a b E X += 2()()12b a D X -=()()2a bE X E X +==2()1()()12b a D X D X n n -==22()11()()12b a n n E S D X n n ---== （4） 指数分布1()E X λ=21()D X λ=1()()E X E X λ==211()()D X D X n n λ== 2211()()n n E S D X n n λ--== （5） 正态分布()E X μ= 2()D X σ=()()E X E X μ==21()()D X D X n nσ==2211()()n n E S D X n nσ--==1.11 统计量有：（1），（3），（4），（5），（6），（7） 顺序统计量有：（5）1.12顺序统计量为：-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21 所以 1317()20e m XX +===131 3.21(4)7.21r X X =-=--=添加2.7后：顺序统计量为：-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，2.7，3.2，3.21 所以 781()0.62e m X X =+=1.16因为X 服从正态分布故 (0,1)X Z N μσ-=故由定理1.2.1知： 222221111()()()nnni ii i i i X Y ZX n μμχσσ===-===-∑∑∑ 1.20已知~()X t n ，即有Y~N(0,1), 2~()Z n χ使得X =则22/Y X Z n= 而 22~(1)Y χ所以2~(1,)X F n 结论得证。

1.22已知 X~N(2.5,36) ，222~(1)nS n χσ-，~(0,1)N（1） 2222555{3044}{}69nS P S P σ≤≤=≤≤=15522925622(/2)n x nxedx n --Γ⎰＝552925262(4/2)x x edx -Γ⎰＝0.19294 （2） 2{3044 1.3 3.5}P S X ≤≤≤≤ =2{3044}P S ≤≤{1.3 3.5}P X ≤≤＝222555{}69nS P σ≤≤{P -≤＝0.19294*0.638=0.123 1.23（1）将21()nii X =∑和21()n mii nX +=+∑各看成一个整体，可得 a=21n σ，b=21m σ原式服从2(2)χ（2）原式服从t(m) （3）d=m n原式服从(,)F n m1.25令11X Z μσ-=，22Y Q μσ-=因为 211(,)X N μσ ，222(,)Y N μσ所以 (0,1)Z N ，(0,1)Q N所以12211()n ii Zn χ=∑ ，22221()n i i Q n χ=∑由定理1.2.3知：1221112212(,)n i i n ii Z n F n n Qn ==∑∑ 即：1222221112221121()(,)()n ii n i i n XF n n n Y σμσμ==--∑∑第二章2.2 （1）~()X Exp λ,则X 的概率密度为,0(;)0,0x e x f x x λλλ-⎧>=⎨≤⎩故λ的似然函数为11()(),(0,1,2,,)niii nx x ni i L eex i n λλλλλ=--=∑==>=∏对数似然函数为1ln ()ln ni i L n x λλλ==-∑令1ln ()0n i i L x n λλλ=∂=-=∂∑解得11nii nxxλ∧===∑ 所以λ的极大似然估计量1Xλ∧=（2）~(,)X U a b ，X 的概率密度为1,(;,)0,a x b f x a b b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他由于12,,,n a x x x b ≤≤ ，等价于(1)(),n a x x b ≤≤。

作为a ，b 的函数的似然函数为(1)()1,,()(,)0,n na x xb b a L a b ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他对于满足条件(1)(),n a x x b ≤≤ 的任意a ，b 有()(1)11(,)()()n nn L a b b a x x =≤-- 即(,)L a b 在(1)(),n a x b x ==时取到最大值()(1)()nn x x -- 故a ，b 的极大似然估计值为(1)()ˆˆ,n a x b x == 所以a ，b 的极大似然估计量为(1)()ˆˆ,n a X b X == （3）θ的似然函数为1111()()()nnnii i i L xx θθθθθ--====∏∏，其中12(0,,,1)n x x x <<对数似然函数为1ln ()ln (1)(ln )nii L n x θθθ==+-∑令1ln ()ln 0ni i L n x θθθ=∂=+=∂∑解得1ˆln nii nxθ==-∑故θ的极大似然估计量是1ˆln nii nXθ==-∑（4）β的似然函数是11111()()(1)![(1)!]nii i k nknnx x k k i i ni i L x e x e k k βββββ=----==∑⎛⎫== ⎪--⎝⎭∏∏，其中，12(,,,0)n x x x >对数似然函数11ln ()ln ln[(1)!](1)ln n niii i L nk n n k x xβββ===--+--∑∑令1ln ()0ni i L nk x βββ=∂=-=∂∑得1ˆnii nkkxxβ===∑ 故β的极大似然估计量是ˆkXβ= （5）a ,λ的似然函数为),,,(,),(21)(1)(11a x x x eee a L n nax n a x n n i a x ni i ni i i >∑=∑====+---=--∏ λλλλλλλλ易知，)1()()min(x x a i =≤，当)(!x a =时，),(a L λ取最大值，所以)1(111ˆx x a x naxnni i-=-=-=∑=λλ的极大似然估计量为)1(1ˆX x -=λa 的极大似然估计量为)1(ˆX a= （6）X 的分布律为m x p p C x X P x m xx m ,1,0,)1(}{=-==-故似然函数为∑-⋅∑⋅=-===-⋅=-=∏∏ni ini ii iiix m n x ni x mx m x ni x mp pC p p C p L 11)1()(])1([)(11对数似然函数)1ln()(ln )(ln )(ln 111p x m n p x C p L ni i n i i x mni i -∑-⋅+∑+====∑令01)(ln 11=-∑-⋅-∑===px m n p x p L dp d ni in i i 解得p 的极大似然估计值mxnmx pni i =∑==1ˆ 所以p 的极大似然估计量mXp=ˆ 2.3因X 的概率因数为1{}(1)k P x k p p -==- (1,2,)k =⋅⋅⋅⋅⋅⋅P 的似然函数为 111()(1)(1)(1)nii i nx x n ni L P p p p p p =--=∑⎡⎤=-=--⎣⎦∏ 对数似然函数1()()(1)nii LnL p nLn p nLn p x==--+∑令()0Ln p p∂=∂ 1111011ni i n n x p p p =∴+-=--∑有1ˆpx = 所以p 的极大似然估计为1ˆpx=2.6 （1） 2.14 2.090.05R =-=故5ˆ0.4299*0.050.214950.0215Rd σ===≈ （2） 分为三组2.14 2.10 2.152.13 2.12 2.102.132.10 2.152.12 2.14 2.132.11 2.14 2.102.11 2.15 2.101230.050.050.05R R R ===61(0.050.050.05)0.053ˆ0.3946*0.050.0197R R d σ=++====2.72E(X)=+1-/2=0.5D(X)=1/12(b-a)1/12()(1/)1/**0.50()0.5()()2()2/**0.5i E X E n X n n X E X X YE Y E X E X n n X θθθθθθθθθθθθ===≠=====∑（1）所以，是的一个有偏估计量偏差是－＝－（2）取22所以，2是的一个无偏估计2.8 由11212121212ˆ()()333333E E X X EX EX μμμμ=+=+=+=21232ˆ()55E EX EX μμ=+=31211ˆ()22E EX EX μμ=+= 所以，1ˆμ，2ˆμ，3ˆμ都是μ的无偏估计量。