江苏省2018年普通高校对口单招文化统考数 学 试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑）1.设集合M ={1，3}，N ={a +2，5}，若N M ={3}，则a 的值为 （ ）A.-1B.1C.3D.52.若实系数一元二次方程02=++n mx x 的一个根为1-i ，则另一个根的三角形式为 （ ）A.4sin 4cos ππi +B.）（43sin 43cos 2ππi - C.）（4sin 4cos 2ππi + D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4sin 4cos 2ππi3.在等差数列{}n a 中，若20163a a ，是方程0201822=--x x 的两根，则2018133a a •的值为 （ ）A.31B.1C.3D.94.已知命题p ：(1101)2=(13)10和命题q :11=•A （A 为逻辑变量），则下列命题中为真命题的是（ ）A.p ⌝B.q p ∧C.q p ∨D.q p ∧⌝5.用1， 2， 3， 4， 5这五个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数是 （ ） A.18 B.24 C.36 D.486.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=62，则对角线BD 1与底面ABCD 所成的角是 （ ）A.6πB.4πC.3πD.2π7.题7图是某项工程的网络图，若最短总工期是13天，则图中x 的最大值为（ ）8.若过点P （1,3）和点Q （1,7）的直线l 1与直线l 2：05)73(=+-+y m mx 平行，则m 的值为 （ ） A.2 B.4 C.6 D.89.设向量)6,4(),52,2(cos ==b a θ，若53)sin(=-θπ，则|25|b a -的值为 （ ） A.53B.3C.4D.6 10.若函数c bx x x f +-=2)(满足)-1()1(x f x f =+，且)()(,5)0(x x c f b f f 与则=的大小关系是 （ ） A.)()(x x c f b f ≤ B.)()(x x c f b f ≥ C.)()(x x c f b f < D.)()(x x c f b f > 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.设数组)4,2,1(-=a ，)2,,3(-=m b ，若1=•b a ，则实数m = .12.若=∈-=θππθθtan ),23,(,32sin 则 .13.题13图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的m 值是 .14.若双曲线12222=-b y a x (a >0,b >0)的一条渐近线把圆⎩⎨⎧+=+=θθsin 32cos 31y x (θ为参数)分成面积相等的两部分，则该双曲线的离心率是_______.15.设函数=)(x f ⎩⎨⎧>+--≤2,942,||2x a x x x x ，若关于x 的方程1)(=x f 存在三个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________________. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16.（8分）设实数a 满足不等式|a -3|<2. （1）求a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式27log 3log 12a x a >+.17.（10分）已知)(x f 为R 上的奇函数，又函数11)(2+=-x a x g (a >0且1≠a )恒过定点A .（1）求点A 的坐标；（2）当x <0时，mx x x f +-=2)(，若函数)(x f 也过点A ,求实数m 的值；（3）若)()2(x f x f =-，且0<x <1时，32)(-=x x f ，求)27(f 的值.18.（14分）已知各项均为正数的数列{n a }满足62=a ，122log log 1+=+n n a a ，+∈N n .（1）求数列{n a }的通项公式及前n 项和n S ；（2）若)(9log 22+∈=N n a b nn ，求数列{n b }的前n 项和n T .19.（12分）某校从初三年级体育加试百米测试成绩中抽取100个样本，所有样本成绩全部在11秒到19秒之间. 现将样本成绩按如下方式分为四组：第一组[11，13)，第二组[13,15），第三组[15，17），第四组[17,19]，题19图是根据上述分组得到的频率分布直方图.（1）若成绩小于13秒被认定为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）是估算本次测试的平均成绩；（3）若第四组恰有3名男生，现从该组随机抽 取3名学生，求所抽取的学生中至多有1名女 生的概率.20.（12分）已知正弦型函数)sin()(ϕω+=x H x f ，其中常数0>H ，0>ω，20πϕ<<，若函数的一个最高点与其相邻的最低点的坐标分别是⎪⎭⎫⎝⎛312，π，⎪⎭⎫ ⎝⎛-3127，π. （1）求)(x f 的解析式； （2）求)(x f 的单调递增区间；（3）在△ABC 中A 为锐角，且0)(=A f .若3=AB ,33=BC ,求△ABC 的面积S .21.(10分)某学校计划购买x 咯篮球和y 个足球.（1）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥-7252x y x y x ，问该校计划购买这两种球的总数最多是多少个？（2）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧<<->-7252x y x y x ，已知每个篮球100元，每个足球70元，求该校最少要投入多少元？22.（10分）某辆汽车以x 千米/小时[]()120,60∈x 的速度在高速公路上匀速行驶，每小时的耗油量为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x k x 360051升，其中k 为常数. 若该汽车以120千米/小时的速度匀速行驶时，每小时的耗油量是12升.（1）求常数k 值；（2）欲使每小时的耗油量不超过8升，求x 的取值范围；（3）求该汽车匀速行驶100千米的耗油量y （升）的最小值和此时的速度.23.（14分）已知椭圆13222=+y x C ：和直线m x y l +=:，直线l 与椭圆C 交于A ,B两点.(1) 求椭圆C 的准线方程；(2) 求△)(为坐标原点O ABO 面积S 的最大值；(3) 如果椭圆C 上存在两个不同的点关于直线l 对称，求m 的取值范围.江苏省2018年普通高校对口单招文化统考数学试题答案及评分参考二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.6 12.552 13.48 14.5 15.4>a 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16.（8分）解：（1）由题意知：232<-<-a , ·····························2分即51<<a .··········································2分 （2）因为51<<a ，所以3123273=>+x ，······················2分于是312>+x ，故1>x .·······························2分 17.（10分）解：（1）因为当02=-x ，即0=x 时，····························1分 12)(=x g ，···········································1分 所以定点A 的坐标为（2,12）.·························1分（2）因为)(x f 是奇函数，所以)2()2(--=f f ，·································2分 于是1224=---）（m ，4=m 即.·······················2分 （3）由题意知：773311()(2)()(2)()()222222f f f f f f =-==-=-=-.23212=-⨯-=）（···························3分 18.（14分）解：（1）由题意知1log log 212=--n n a a ，得21=+nn a a ， 所以数列{n a }是公比q =2，3221==a a 的等比数列，·······2分 于是11231--•=•=n n q a a n ，·····························3分).12(321213-=--=n n n S ）（·······························3分 （2）因为222log 9)23(log 9log 22221222-==•==--n a b n n n n ，·······2分 所以数列{n b }是首项为0，公差为2的等差数列，·········2分 于是.2222n n n n T n -=•-=·····························2分 19.（12分）解：（1）由频率分布直方图可得成绩优秀的人数为0.1×2×100=20.······································4分（2）因为12×0.1+14×0.15+16×0.2+18×0.05=7.4， (2)分所以本次测试的平均成绩为7.4×2=14.8秒.··············2分（3）由频率分布直方图得第四组有100×0.05×2=10人，其中由7名女生，3名男生.·········································1分设“所抽取的3名学生中至多有1名女生”记作事件A所求事件的概率为.6011)(310172333=+=C C C C A P ·················3分 20.（12分） 解：（1）由题意知3=H ，········································1分因为2121272πππ=-=T ，所以π=T ,即22==Tπω，··········1分于是)2sin(3)(ϕ+=x x f ，把点）（3,12π代入可得3πϕ=，即)32sin(3)(π+=x x f .·································2分（2）由πππππk x k 223222+≤+≤+-，························2分 解得ππππk x k +≤≤+-12125，Z k ∈, )(x f 的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 12125，，Z k ∈.······2分（3）由0)32sin(3)(=+=πA A f ,A 为锐角，得3π=A ，··········1分在△ABC 中，216279cos 2=-+=AC AC ，解得6=AC .·······1分故.2393sin 6321=⨯⨯⨯=πS ····························2分21.（10分）解：（1）设该校一共购买z 个球，则目标函数是y x z +=，··········1分作出约束条件所表示的平面区域（答21图），解方程组⎩⎨⎧==-752x y x 得⎩⎨⎧==97y x ，···········2分图中阴影部分是问题的可行域，根据题意,,N y N x ∈∈从图中看出目标函数在点）（9,7A 处取得最大值， 即max z=7+9=16个，所以该校最多一共可购买16个球.········3分 （2）设该校需要投入w 元，则目标函数是y x w 70100+=，·························1分约束条件的可行域是答21图中不包含边界的部分，根据,,N y N x ∈∈ 容易得到满足条件的整数点只有三个，分别是（5,4），（6,5），（6,6）， ·························································2分 显然点（5,4）是最优解，此时min w =100×5+70×4=780元， 所以该校最少投资780元.··································1分22.（10分）解：（1）由题意知：)1203600120(5112+-=k ，解得90=k .···········3分 （2）由题意知8)36009051≤+-x x （，··························2分 化简得036001302≤+-x x ，解得9040≤≤x ，·····································1分 因为]120,60[∈x ，故x 的范围是9060≤≤x .······························1分 （3）由题意知 )360090(51100x x x y +-•=,·····························1分 ）（2360090120xx +-= 令)601,1201(,1∈=t t x ，则201800720002+-=t t y 当801=t 时，即80=x 千米/小时，最低耗油量75.8435==y 升. ···················································2分23.（14分）解：（1）易知32=a ，22=b ，得1=c ，·······················2分所以准线方程为32±=±=ca y .·····················2分 （2）联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=13222y x m x y ，化简得0624522=-++m mx x ，由0120242>+-=∆m 得55<<-m 设),(),(2211y x B y x A ，，则5421mx x -=+，562221-=•m x x ，于是|AB |=5)62(20162||112221--=-+m m x x25534m -=，·························2分 又原点O 到直线m x y +=的距离2||m d =，············1分 所以225||562||553421m m m m S -••=•-•=262556)5(562222=+-•≤•-•=m m m m ， 当210±=m 时，等号成立， 即△ABO 面积的最大值为26.·····················3分 （3）),(),(4433y x N y x M ，是椭圆上不同的两点，它们关于直线l对称，所以直线MN 的方程可设为n x y +-=，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=13222y x n x y ，化简得0624522=-+-n nx x ，于是0120401622>+-=∆n n ，解得55<<-n ，·····1分 又5443n x x =+，56-4343nn x n x y y =+-+=+，因此MN 的中点坐标)53,52(n n P ，点P 必在直线l 上， 代入直线方程得5n m =，····························1分 又55<<-n ， 所以5555<<-m .·······························2分。