第1讲 等差数列及其前n 项和一、填空题1.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=37,则a 2+a 4+a 6+a 8=________. 2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 412-S 39=1,则公差为________. 3.在等差数列{a n }中,a 1>0,S 4=S 9,则S n 取最大值时,n =________. 4.在等差数列{a n }中,若a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,则S 9=________. 5.设等差数列{a n }的公差为正数,若a 1+a 2+a 3=15,a 1a 2a 3=80,则a 11+a 12+a 13=________.6.已知数列{a n }的前n 项和为S n =2n 2+pn ,a 7=11.若a k +a k +1>12,则正整数k 的最小值为________.7.已知数列{a n }满足递推关系式a n +1=2a n +2n-1(n ∈N *),且⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n +λ2n 为等差数列,则λ的值是________.8.已知数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,a 7-a 5=4,a 11=21,S k =9,则k =________.10.已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数,对于任意的x ,y ∈R ,都有f (x ·y )=xf (y )+yf (x )成立.数列{a n }满足a n =f (2n )(n ∈N *),且a 1=2.则数列的通项公式a n =________. 二、解答题11.已知等差数列{a n }的前三项为a -1,4,2a ,记前n 项和为S n .(1)设S k =2 550,求a 和k 的值;(2)设b n =S nn ,求b 3+b 7+b 11+…+b 4n -1的值.12.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n,若a3,a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项,试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.13.在等差数列{a n}中,公差d>0,前n项和为S n,a2·a3=45,a1+a5=18.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=S nn+c(n∈N*),是否存在一个非零常数c,使数列{b n}也为等差数列?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由.第2讲 等比数列及其前n 项和一、填空题1.设数列{a 2n }前n 项和为S n ,a 1=t ,a 2=t 2,S n +2-(t +1)S n +1+tS n =0,则{a n }是________数列,通项a n =________.解析 由S n +2-(t +1)S n +1+tS n =0,得S n +2-S n +1=t (S n +1-S n ),所以a n +2=ta n +1,所以a n +2a n +1=t ,又a 2a 1=t ,所以{a n }成等比数列,且a n =t ·t n -1=t n . 答案 等比 t n2.等比数列{a n }的前n 项和为S n,8a 2+a 5=0,则S 6S 3=________.解 ∵8a 2+a 5=8a 1q +a 1q 4=a 1q (8+q 3)=0 ∴q =-2∴S 6S 3=1-q 61-q3=1+q 3=-7. 答案 -73.数列{a n }为正项等比数列,若a 2=2,且a n +a n +1=6a n -1(n ∈N ,n ≥2),则此数列的前4项和S 4=________.解析 由a 1q =2,a 1q n -1+a 1q n =6a 1q n -2,得q n -1+q n =6q n -2,所以q 2+q =6.又q >0,所以q =2,a 1=1. 所以S 4=a 1(1-q 4)1-q =1-241-2=15.答案 154.已知等比数列{a n }的前n 项和S n =t ·5n -2-15,则实数t 的值为________.解析 ∵a 1=S 1=15t -15,a 2=S 2-S 1=45t ,a 3=S 3-S 2=4t ,∴由{a n }是等比数列知⎝ ⎛⎭⎪⎫45t 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫15t -15×4t ,显然t ≠0,所以t =5.答案 55.已知各项都为正数的等比数列{a n }中,a 2·a 4=4,a 1+a 2+a 3=14,则满足a n ·a n+1·a n +2≥18的最大正整数n 的值为________.解析 由等比数列的性质,得4=a 2·a 4=a 23(a 3>0),所以a 3=2,所以a 1+a 2=14-a 3=12,于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2=2,a 1()1+q =12,解得⎩⎨⎧a 1=8,q =12,所以a n =8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -4. 于是由a n ·a n +1·a n +2=a 3n +1=⎝⎛⎭⎪⎫123(n -3)=⎝ ⎛⎭⎪⎫18n -3≥18,得n -3≤1,即n ≤4. 答案 46.在等比数列{a n }中,a n >0,若a 1·a 2·…·a 7·a 8=16,则a 4+a 5的最小值为________. 解析 由已知a 1a 2·…·a 7a 8=(a 4a 5)4=16,所以a 4a 5=2,又a 4+a 5≥2a 4a 5=22(当且仅当a 4=a 5=2时取等号).所以a 4+a 5的最小值为2 2. 答案 2 27.已知递增的等比数列{a n }中,a 2+a 8=3,a 3·a 7=2,则a 13a 10=________.解析 ∵{a n }是递增的等比数列,∴a 3a 7=a 2a 8=2, 又∵a 2+a 8=3,∴a 2,a 8是方程x 2-3x +2=0的两根,则a 2=1,a 8=2, ∴q 6=a 8a 2=2,∴q 3=2,∴a 13a 10=q 3= 2.答案 28.设1=a 1≤a 2≤…≤a 7,其中a 1,a 3,a 5,a 7成公比为q 的等比数列,a 2,a 4,a 6成公差为1的等差数列,则q 的最小值为________.解析 由题意知a 3=q ,a 5=q 2,a 7=q 3且q ≥1,a 4=a 2+1,a 6=a 2+2且a 2≥1,那么有q 2≥2且q 3≥3.故q ≥33,即q 的最小值为33. 答案33二、解答题11.在等差数列{a n }中,a 2+a 7=-23,a 3+a 8=-29.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{a n +b n }是首项为1,公比为c 的等比数列,求{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差是d .依题意a 3+a 8-(a 2+a 7)=2d =-6,从而d =-3. 由a 2+a 7=2a 1+7d =-23,解得a 1=-1. 所以数列{a n }的通项公式为a n =-3n +2.(2)由数列{a n +b n }是首项为1,公比为c 的等比数列, 得a n +b n =c n -1,即-3n +2+b n =c n -1, 所以b n =3n -2+c n -1.所以S n =[1+4+7+…+(3n -2)]+(1+c +c 2+…+c n -1) =n (3n -1)2+(1+c +c 2+…+c n -1).从而当c =1时,S n =n (3n -1)2+n =3n 2+n2.当c ≠1时,S n =n (3n -1)2+1-c n1-c.12.设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4=1,S 8=17.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)是否存在最小的正整数m ,使得n ≥m 时,a n >2 01115恒成立?若存在,求出m ;若不存在,请说明理由.解 (1)设{a n }的公比为q ,由S 4=1,S 8=17知q ≠1,所以得a 1(q 4-1)q -1=1,a 1(q 8-1)q -1=17. 相除得q 8-1q 4-1=17,解得q 4=16.所以q =2或q =-2(舍去).由q =2可得a 1=115,所以a n =2n -115.(2)由a n =2n -115>2 01115,得2n -1>2 011,而210<2 011<211,所以n -1≥11,即n ≥12.因此,存在最小的正整数m =12,使得n ≥m 时,a n >2 01115恒成立. 13.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 2·a 4=65,a 1+a 5=18.(1)求数列{a n }的通项公式a n .(2)若1<i <21,a 1,a i ,a 21是某等比数列的连续三项,求i 的值;(3)是否存在常数k ,使得数列{S n +kn }为等差数列?若存在,求出常数k ;若不存在,请说明理由.解 (1)因为a 1+a 5=a 2+a 4=18,又a 2·a 4=65, 所以a 2,a 4是方程x 2-18x +65=0的两个根. 又公差d >0,所以a 2<a 4.所以a 2=5,a 4=13. 所以⎩⎨⎧a 1+d =5,a 1+3d =13,解得a 1=1,d =4.所以a n =4n -3.(2)由1<i <21,a 1,a i ,a 21是某等比数列的连续三项,所以a 1·a 21=a 2i ,即1·81=(4i -3)2,解得i =3. (3)由(1)知,S n =n ·1+n (n -1)2·4=2n 2-n . 假设存在常数k ,使数列{S n +kn }为等差数列,由等差数列通项公式,可设S n +kn =an +b ,得2n 2+(k -1)n =an 2+2abn +b 恒成立,可得a =2,b =0,k =1.所以存在k =1使得{S n +kn }为等差数列.第3讲 等差数列、等比数列与数列求和一、填空题1.设{a n }是公差不为0的等差数列,a 1=2且a 1,a 3,a 6成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =________.解析 由题意设等差数列公差为d ,则a 1=2,a 3=2+2d ,a 6=2+5d .又∵a 1,a 3,a 6成等比数列,∴a 23=a 1a 6,即(2+2d )2=2(2+5d ),整理得2d 2-d =0.∵d ≠0,∴d =12,∴S n =na 1+n (n -1)2d =n 24+74n . 答案 n 24+74n2.数列{a n }的通项公式a n =1n +n +1,若前n 项的和为10,则项数为________.解析 ∵a n =1n +n +1=n +1-n ,∴S n =n +1-1=10,∴n =120.答案 1203.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n +1的前100项和为________.解析 ∵a 5=5,S 5=15,∴5(a 1+a 5)2=15,即a 1=1.∴d =a 5-a 15-1=1,∴a n =n .∴1a n a n +1=1n (n +1)=1n -1n +1.设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n +1的前n 项和为T n .∴T 100=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1100-1101=1-1101=100101.答案 1001014.已知数列{a n },{b n }都是等差数列,a 1=5,b 1=7,且a 20+b 20=60.则{a n +b n }的前20项的和为________.解析 由题意知{a n +b n }也为等差数列,所以{a n +b n }的前20项和为:S 20=20(a 1+b 1+a 20+b 20)2=20×(5+7+60)2=720.答案 7205.已知等比数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则a 21+a 22+…+a 2n =________.解析 当n =1时,a 1=S 1=1,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -1-(2n -1-1)=2n -1,又∵a 1=1适合上式.∴a n =2n -1,∴a 2n =4n -1. ∴数列{a 2n }是以a 21=1为首项,以4为公比的等比数列.∴a 21+a 22+…+a 2n =1·(1-4n )1-4=13(4n -1). 答案 13(4n -1) 6.定义运算:⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd =ad -bc ,若数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 122 1=1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3 a n a n +1=12(n ∈N *),则a 3=________,数列{a n }的通项公式为a n =________. 解析 由题意得a 1-1=1,3a n +1-3a n =12即a 1=2,a n +1-a n =4. ∴{a n }是以2为首项,4为公差的等差数列, ∴a n =2+4(n -1)=4n -2,a 3=4×3-2=10. 答案 10 4n -27.在等比数列{a n }中,a 1=12,a 4=-4,则公比q =________;|a 1|+|a 2|+…+|a n |=________.解析 ∵a 4a 1=q 3=-8,∴q =-2.∴a n =12·(-2)n -1,∴|a n |=2n -2,∴|a 1|+|a 2|+…+|a n |=12(1-2n )1-2=2n -1-12.答案 -2 2n -1-128.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,且S 11=35+S 6,则S 17的值为________.解析 因S 11=35+S 6,得11a 1+11×102d =35+6a 1+6×52d ,即a 1+8d =7,所以S 17=17a 1+17×162d =17(a 1+8d )=17×7=119. 答案 1199.等差数列{a n }的公差不为零,a 4=7,a 1,a 2,a 5成等比数列,数列{T n }满足条件T n =a 2+a 4+a 8+…+a 2n ,则T n =________.解析 设{a n }的公差为d ≠0,由a 1,a 2,a 5成等比数列,得a 22=a 1a 5,即(7-2d )2=(7-3d )(7+d )所以d =2或d =0(舍去).所以a n =7+(n -4)×2=2n -1.又a 2n =2·2n -1=2n +1-1, 故T n =(22-1)+(23-1)+(24-1)+…+(2n +1-1) =(22+23+…+2n +1)-n =2n +2-n -4. 答案 2n +2-n -410.数列{a n }的通项公式a n =2n-1,如果b n =2n a n +a n +1,那么{b n }的前n 项和为________. 解析 b n =2na n +a n +1=2n2n -1+2n +1-1=2n +1-1-2n -1, 所以b 1+b 2+…+b n =22-1-2-1+23-1-22-1+…+2n +1-1-2n -1=2n +1-1-1.答案 2n +1-1-1二、解答题11.已知{a n }为等差数列,且a 3=-6,a 6=0.(1)求{a n }的通项公式;(2)若等比数列{b n }满足b 1=-8,b 2=a 1+a 2+a 3,求{b n }的前n 项和公式. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 3=-6,a 6=0,所以⎩⎨⎧a 1+2d =-6,a 1+5d =0.解得a 1=-10,d =2.所以a n =-10+(n -1)·2=2n -12. (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2=a 1+a 2+a 3=-24,b 1=-8, 所以-8q =-24,即q =3.所以{b n }的前n 项和公式为S n =b 1(1-q n )1-q=4(1-3n ).13. 记公差d ≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=2+2,S 3=12+3 2.(1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .(2)已知等比数列{b nk },b n +2=a n ,n 1=1,n 2=3,求n k .(3)问数列{a n }中是否存在互不相同的三项构成等比数列,说明理由. 解 (1)因为a 1=2+2,S 3=3a 1+3d =12+32, 所以d =2.所以a n =a 1+(n -1)d =2n +2, S n =n (a 1+a n )2=n 2+(2+1)n .(2)因为b n =a n -2=2n , 所以bn k =2n k .又因为数列{bn k }的首项bn 1=b 1=2,公比q =b 3b 1=3,等差数列及其前n 项和练习题11 / 11 所以bn k =2·3k -1.所以2n k =2·3k -1,则n k =3k -1.(3)假设存在三项a r ,a s ,a t 成等比数列,则a 2s =a r ·a t , 即有(2s +2)2=(2r +2)(2t +2), 整理得(rt -s 2)2=2s -r -t . 若rt -s 2≠0,则2=2s -r -trt -s 2,因为r ,s ,t ∈N *,所以2s -r -trt -s 2是有理数,这与2为无理数矛盾;若rt -s 2=0,则2s -r -t =0,从而可得r =s =t ,这与r <s <t 矛盾. 综上可知,不存在满足题意的三项a r ,a s ,a t .。