第1讲 等差数列及其前n 项和一、填空题1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________． 3．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，则S n 取最大值时，n ＝________. 4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则S 9＝________. 5．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11.若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________．7．已知数列{a n }满足递推关系式a n ＋1＝2a n ＋2n－1(n ∈N *)，且⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为等差数列，则λ的值是________．8．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.10．已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2.则数列的通项公式a n ＝________. 二、解答题11．已知等差数列{a n }的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为S n .(1)设S k ＝2 550，求a 和k 的值；(2)设b n ＝S nn ，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值．12．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n，若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.13．在等差数列{a n}中，公差d＞0，前n项和为S n，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝S nn＋c(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{b n}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．第2讲 等比数列及其前n 项和一、填空题1．设数列{a 2n }前n 项和为S n ，a 1＝t ，a 2＝t 2，S n ＋2－(t ＋1)S n ＋1＋tS n ＝0，则{a n }是________数列，通项a n ＝________.解析 由S n ＋2－(t ＋1)S n ＋1＋tS n ＝0，得S n ＋2－S n ＋1＝t (S n ＋1－S n )，所以a n ＋2＝ta n ＋1，所以a n ＋2a n ＋1＝t ，又a 2a 1＝t ，所以{a n }成等比数列，且a n ＝t ·t n －1＝t n . 答案 等比 t n2．等比数列{a n }的前n 项和为S n,8a 2＋a 5＝0，则S 6S 3＝________.解 ∵8a 2＋a 5＝8a 1q ＋a 1q 4＝a 1q (8＋q 3)＝0 ∴q ＝－2∴S 6S 3＝1－q 61－q3＝1＋q 3＝－7. 答案 －73．数列{a n }为正项等比数列，若a 2＝2，且a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N ，n ≥2)，则此数列的前4项和S 4＝________.解析 由a 1q ＝2，a 1q n －1＋a 1q n ＝6a 1q n －2，得q n －1＋q n ＝6q n －2，所以q 2＋q ＝6.又q ＞0，所以q ＝2，a 1＝1. 所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1－241－2＝15.答案 154．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－15，则实数t 的值为________．解析 ∵a 1＝S 1＝15t －15，a 2＝S 2－S 1＝45t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列知⎝ ⎛⎭⎪⎫45t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15t －15×4t ，显然t ≠0，所以t ＝5.答案 55．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n＋1·a n ＋2≥18的最大正整数n 的值为________．解析 由等比数列的性质，得4＝a 2·a 4＝a 23(a 3＞0)，所以a 3＝2，所以a 1＋a 2＝14－a 3＝12，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2，a 1()1＋q ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝8，q ＝12，所以a n ＝8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4. 于是由a n ·a n ＋1·a n ＋2＝a 3n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫123(n －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18n －3≥18，得n －3≤1，即n ≤4. 答案 46．在等比数列{a n }中，a n >0，若a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则a 4＋a 5的最小值为________． 解析 由已知a 1a 2·…·a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，所以a 4a 5＝2，又a 4＋a 5≥2a 4a 5＝22(当且仅当a 4＝a 5＝2时取等号)．所以a 4＋a 5的最小值为2 2. 答案 2 27．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＋a 8＝3，a 3·a 7＝2，则a 13a 10＝________.解析 ∵{a n }是递增的等比数列，∴a 3a 7＝a 2a 8＝2， 又∵a 2＋a 8＝3，∴a 2，a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 2＝1，a 8＝2， ∴q 6＝a 8a 2＝2，∴q 3＝2，∴a 13a 10＝q 3＝ 2.答案 28．设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值为________．解析 由题意知a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3且q ≥1，a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2且a 2≥1，那么有q 2≥2且q 3≥3.故q ≥33，即q 的最小值为33. 答案33二、解答题11．在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差是d .依题意a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6，从而d ＝－3. 由a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2.(2)由数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列， 得a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1， 所以b n ＝3n －2＋c n －1.所以S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1) ＝n (3n －1)2＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)．从而当c ＝1时，S n ＝n (3n －1)2＋n ＝3n 2＋n2.当c ≠1时，S n ＝n (3n －1)2＋1－c n1－c.12．设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝1，S 8＝17.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在最小的正整数m ，使得n ≥m 时，a n >2 01115恒成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由．解 (1)设{a n }的公比为q ，由S 4＝1，S 8＝17知q ≠1，所以得a 1(q 4－1)q －1＝1，a 1(q 8－1)q －1＝17. 相除得q 8－1q 4－1＝17，解得q 4＝16.所以q ＝2或q ＝－2(舍去)．由q ＝2可得a 1＝115，所以a n ＝2n －115.(2)由a n ＝2n －115>2 01115，得2n －1>2 011，而210<2 011<211，所以n －1≥11，即n ≥12.因此，存在最小的正整数m ＝12，使得n ≥m 时，a n >2 01115恒成立． 13．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2·a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式a n .(2)若1＜i ＜21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值；(3)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由．解 (1)因为a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2·a 4＝65， 所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根． 又公差d ＞0，所以a 2＜a 4.所以a 2＝5，a 4＝13. 所以⎩⎨⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，解得a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝4n －3.(2)由1＜i ＜21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，所以a 1·a 21＝a 2i ，即1·81＝(4i －3)2，解得i ＝3. (3)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n . 假设存在常数k ，使数列{S n ＋kn }为等差数列，由等差数列通项公式，可设S n ＋kn ＝an ＋b ，得2n 2＋(k －1)n ＝an 2＋2abn ＋b 恒成立，可得a ＝2，b ＝0，k ＝1.所以存在k ＝1使得{S n ＋kn }为等差数列．第3讲 等差数列、等比数列与数列求和一、填空题1．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝________.解析 由题意设等差数列公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n . 答案 n 24＋74n2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为________．解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.答案 1203．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100项和为________．解析 ∵a 5＝5，S 5＝15，∴5(a 1＋a 5)2＝15，即a 1＝1.∴d ＝a 5－a 15－1＝1，∴a n ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n .∴T 100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1100－1101＝1－1101＝100101.答案 1001014．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 20＋b 20＝60.则{a n ＋b n }的前20项的和为________．解析 由题意知{a n ＋b n }也为等差数列，所以{a n ＋b n }的前20项和为：S 20＝20(a 1＋b 1＋a 20＋b 20)2＝20×(5＋7＋60)2＝720.答案 7205．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，又∵a 1＝1适合上式．∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1. ∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1·(1－4n )1－4＝13(4n －1)． 答案 13(4n －1) 6．定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 122 1＝1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3 a n a n ＋1＝12(n ∈N *)，则a 3＝________，数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 解析 由题意得a 1－1＝1,3a n ＋1－3a n ＝12即a 1＝2，a n ＋1－a n ＝4. ∴{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列， ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2，a 3＝4×3－2＝10. 答案 10 4n －27．在等比数列{a n }中，a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.解析 ∵a 4a 1＝q 3＝－8，∴q ＝－2.∴a n ＝12·(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12.答案 －2 2n －1－128．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 11＝35＋S 6，则S 17的值为________．解析 因S 11＝35＋S 6，得11a 1＋11×102d ＝35＋6a 1＋6×52d ，即a 1＋8d ＝7，所以S 17＝17a 1＋17×162d ＝17(a 1＋8d )＝17×7＝119. 答案 1199．等差数列{a n }的公差不为零，a 4＝7，a 1，a 2，a 5成等比数列，数列{T n }满足条件T n ＝a 2＋a 4＋a 8＋…＋a 2n ，则T n ＝________.解析 设{a n }的公差为d ≠0，由a 1，a 2，a 5成等比数列，得a 22＝a 1a 5，即(7－2d )2＝(7－3d )(7＋d )所以d ＝2或d ＝0(舍去)．所以a n ＝7＋(n －4)×2＝2n －1.又a 2n ＝2·2n －1＝2n ＋1－1， 故T n ＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n ＋1－1) ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－n ＝2n ＋2－n －4. 答案 2n ＋2－n －410．数列{a n }的通项公式a n ＝2n－1，如果b n ＝2n a n ＋a n ＋1，那么{b n }的前n 项和为________． 解析 b n ＝2na n ＋a n ＋1＝2n2n －1＋2n ＋1－1＝2n ＋1－1－2n －1， 所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝22－1－2－1＋23－1－22－1＋…＋2n ＋1－1－2n －1＝2n ＋1－1－1.答案 2n ＋1－1－1二、解答题11．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎨⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0.解得a 1＝－10，d ＝2.所以a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12. (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8， 所以－8q ＝－24，即q ＝3.所以{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 1(1－q n )1－q＝4(1－3n )．13． 记公差d ≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2＋2，S 3＝12＋3 2.(1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .(2)已知等比数列{b nk }，b n ＋2＝a n ，n 1＝1，n 2＝3，求n k .(3)问数列{a n }中是否存在互不相同的三项构成等比数列，说明理由． 解 (1)因为a 1＝2＋2，S 3＝3a 1＋3d ＝12＋32， 所以d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2， S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2＋(2＋1)n .(2)因为b n ＝a n －2＝2n ， 所以bn k ＝2n k .又因为数列{bn k }的首项bn 1＝b 1＝2，公比q ＝b 3b 1＝3，等差数列及其前n 项和练习题11 / 11 所以bn k ＝2·3k －1.所以2n k ＝2·3k －1，则n k ＝3k －1.(3)假设存在三项a r ，a s ，a t 成等比数列，则a 2s ＝a r ·a t ， 即有(2s ＋2)2＝(2r ＋2)(2t ＋2)， 整理得(rt －s 2)2＝2s －r －t . 若rt －s 2≠0，则2＝2s －r －trt －s 2，因为r ，s ，t ∈N *，所以2s －r －trt －s 2是有理数，这与2为无理数矛盾；若rt －s 2＝0，则2s －r －t ＝0，从而可得r ＝s ＝t ，这与r <s <t 矛盾． 综上可知，不存在满足题意的三项a r ，a s ，a t .。