数学建模网络挑战赛承诺书我们仔细阅读了第七届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

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我们的参赛队号为：1149参赛队员(签名)：队员1：队员2：队员3：参赛队教练员(签名)：参赛队伍组别：本科组数学建模网络挑战赛编号专用页参赛队伍的参赛队号：1149竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2014年第七届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段论文题目轮胎花纹特性关键词力学分析、有限元、球面声源摘要：本文就轮胎花纹对摩擦力（抓地力）、排水性能、轮胎花纹的噪声的影响三方面对轮胎的性能进行分析比较。

对于摩擦力方面，我们发现轮胎花纹与车辆运行方向的夹角可能是影响抓地力的一个重要因素，于是我们将该模型放大，通过细致地分析其物理受力情况，从经典物理力学角度去解释轮胎在旱地上抓地力的问题，得出结论花纹与水平线法线夹角越大，车的摩擦力越大，即抓地力越大，驱动力越强。

对于排水方面，我们发现如果过度地高速行驶，则会使轮胎发生完全浮与水层之上即滑水的情况，此时就会发生事故，而车胎花纹是可以调控的增加汽车发生事故最低速度的一大因素，对于分析轮胎花纹，我们采用有限元法，在借助有限元模拟软件的基础上得出结论花纹与水平线法线夹角越大，滑水性越差，即排水效果越差，而由此也可得到纵纹轮胎排水性最佳。

18cm的花纹沟的轮胎滑水性能最佳。

对于轮胎花纹对噪声的影响方面，我们主要从轮胎花纹的深度，宽度，角度（花纹和水平线法线的夹角，0度既是纵向花纹，90度既是横向花纹）来研究。

因为声波是由与流体介质相接触的任何固体的振动或由直接作用在流体上的振动力、源的特性决定所产生声场的频率和特性。

所以我们应用球面波源进行求解，利用简单声源的声压表达式（5.1）进行比较分析。

而后编程，通过曲线图得出在花纹沟宽度及其它情况完全不变的情况下，花纹深度增大将引起轮胎噪声增强。

花纹深度及其它情况完全不变的情况下，花纹沟宽度增大将会使轮胎的噪声声压有所提高，但不明显。

花纹沟角度每增大15°，轮胎的噪声声压将提高11O～130，即纵向花纹噪声最小。

参赛队号:1149 Array所选题目:A题1问题的重述现代汽车，尤其是高档轿车对轮胎的性能要求越来越高。

我们都知道，轮胎是汽车的重要安全部件，汽车依靠轮胎支撑在路面上，而直接与路面相接触的是轮胎的花纹。

轮胎不仅承载、滚动，而且通过花纹与路面产生摩擦力，进行排水、散热，成为汽车驱动、制动和转向的重要因素。

轮胎被广泛使用在多种陆地交通工具上。

在设计轮胎时，往往要针对其使用环境，设计出相应的花纹形状。

轮胎花纹型式多种多样，但归纳起来，主要有4种：横向花纹、纵向花纹、越野花纹和混合花纹。

1）横向花纹横向花纹特点是胎面横向连续，胎面横向刚度大，纵向刚度小。

故轮胎抗滑能力呈现出纵强而横弱，汽车高速度转向时易侧滑；轮胎滚动阻力也比较大，胎面磨损比较严重。

2）纵向花纹纵向花纹的共同特点是胎面纵向连续，胎面纵向刚度大，横向刚度小，轮胎抗滑能力横强而纵弱。

这种花纹轮胎的滚动阻力较小，散热性能好，但花纹沟槽易嵌入碎石子儿。

3）越野花纹越野花纹的共同特点是花纹沟槽宽而深，花纹块接地面积比较小(约40%~60%)。

越进驻花纹的抓着力大。

在泥泞路上，车辆使用越野花纹轮肿的牵引力可达普通花纹的数倍。

(3)混合花纹混合花纹是普通花纹和越野花纹之间的一种过渡性花纹(如图3)。

其特点是胎面中部具有方向各异或以纵向为主的窄花纹沟槽，而在两侧则以方向各异或以横向为主的宽花纹沟槽。

综上所知，轮胎花纹是提高汽车性能，确保行驶安全的重要一环。

因此，如何正确选购、安装和使用轮胎花纹就显得非常重要。

本文就不同的轮胎花纹设计方案，根据以下几个方面，分析其性能特性，并确定轮胎的最佳适用范围。

（1）不同轮胎花纹对摩擦力的影响。

（2）不同轮胎花纹的排水性能及比较。

（3）不同轮胎花纹的噪声影响。

（4）不同轮胎花纹损耗及持久性。

2问题的分析对于问题一，旱地车胎抓地力问题关乎汽车燃料的使用效率，也是一个极其重要的问题，我们对不同类型的轮胎观察发现，车胎花纹与车辆运行方向的夹角可能是影响抓地力的一个重要因素，于是我们将该模型放大，通过细致地分析其物理受力情况，就可以从经典物理的角度去解释轮胎在旱地上抓地力的问题，然后再借助数学软件将其更加形象的表示出来，就可以达到一个更加理想的效果，对车胎花纹的选择有更好的参考价值。

对于问题二，汽车的滑水现象自汽车问世起就是一个大家共同关注的问题，我们需要首先了解汽车滑水的三区域问题，当汽车高速行驶时，这三个区域的位置是不断变化的，如果过度地高速行驶，则会使轮胎发生完全浮与水层之上的情况，此时就会发生事故，而车胎花纹是可以调控的增加汽车发生事故最低速度的一大因素，对于分析轮胎花纹，我们发现采用传统物理的方法已经不足以解决此问题，于是我们引入了近年来兴起的有限元法，在借助有限元模拟软件的基础上深入地探讨了这个有趣而实用的问题。

对于问题三，我们主要研究轮胎花纹的深度，宽度，角度（花纹和水平线法线的夹角）对噪声的影响（0度既是纵向花纹，90度既是横向花纹）。

声波是由与流体介质相接触的任何固体的振动或由直接作用在流体上的振动力、流体本身的剧烈运动(如射流)、振荡的热效应(如调制激光束产生的热效应)等产生，能量从源转移到流体，源的特性决定所产生声场的频率和特性。

因此，在处理轮胎发声时，首先考虑发声源的特性，从而确定轮胎噪声场的特性。

轮胎接地和离开地面时，由花纹沟与地面所组成的腔体体积收缩和膨胀所引起的压力变化，从而产生声音。

所以我们应用球面波源进行求解，波形就依赖于距源中心的距离r而与球面角和无关，然后利用简单声源的声压表达式进行比较分析。

4.1滑水模型假设假设1.轮胎与地面的接触是充分的2.轮胎横向的形变是不计的3.忽略轮胎在运动中的磨损4.水为理想流体5.车在行驶中路面的积水量保持不变4.2符号设定与文字说明ρ……………介质的密度μ……………车辆开始运动以后的摩擦系数……………车辆静止时的摩擦系数v…………………液体的体积p………………轮胎内部压强1k…………………比例系数4.3模型建立1.滑水现象的“三区域”概念如图，为部分发生滑水现象的状态图，分为三个部分，第一的区域位于轮胎前部，称为完全上浮区，该区水量最大，水的动压力可以完全将车胎抬起；第二个区域称为不完全接触区，该区水量较第一个区域少，但仍有较少的水膜，轮胎与路面部分分离；最后一个区域称为完全分隔区，该区轮胎与路面紧密联系。

在汽车的行驶过程中，随着速度的增长，三区域各自的位置将发生平移，而当汽车达到一定速度时，第三区域消失，汽车与路面完全分隔开，造成打滑现象进而失去控制发生交通事故。

2.影响滑水现象的因素发生滑水现象主要是与汽车的车胎花纹，摩擦系数，车胎压力，行驶速度等密切相关，对于摩擦系数，有μ=-kv对于不同路面，初始的不同，难滑路面=0.90，一般路面=0.77，易滑路面=0.64.所以在同种路面上，汽车速度越大，μ越小，越容易打滑。

而由伯努利定理可知P=ρ研究表明，车胎与地面接触部分压强是中心处压强的1.55倍，于是当ρ≥1.55p时，发生滑水现象。

对于花纹样式，我们将在下文进行深入研究3.花纹样式对滑水现象影响的深入研究对于以往的拉格朗日有限单元法，由于在处理巨大形变问题时单元发生畸变使得计算无法进行，于是我们采用对水的有限体积法和拉格朗日有限单元法相结合的办法来解决此类问题。

对积水采用有限体积法，其流体控制方程如下质量守恒=ds动量守恒dv=-ds+ds能量守恒dv=-ds+ds其中ρ为流体密度，u为流体速度，T为流体应力张量，为流体内能，n为轮胎与流体接触面法向使用有限元分析软件MSC-Dytran进行模拟，得到的结论为带花纹轮胎滑水性优于光面胎。

为了进一步探究花纹形状的影响，我们采用新的模型，即设定轮胎在原地旋转并于正前方施加水流的冲击，分别对三种类型的轮胎进行分析得出的结论表明，18cm的轮胎滑水性能最佳接下来对V形花纹进行了研究，发现正向滚动比反向滚动滑水性更好由下图可以综合分析得到花纹与车辆行驶方向夹角越大，滑水性越差，即排水效果越差，而由此也可得到纵纹轮胎排水性最佳。

5.1噪声模型假设我们把声源理想化为简单球面声源的（假设如下条件）：①声源的特征尺寸比声的波长小得多；②观测点距离声源的距离远大于声源的特征尺寸。

5.2符号设定与文字说明p(r,t)…………在t 时刻距离为r 处的声压ρ……………介质的密度C ………………声音在介质中的传播速度Q ………………源点介质的体积流量5.3模型建立简单球面声源如果源区非常紧凑，而所发生的运动在各个方向都没有差别，它所产生的波就呈球面形向外扩展。

如果介质是无限延伸的，波形就依赖于距源中心的距离r 而与球面角和无关，就像波是由一中心在原点的球均匀地膨胀和收缩时所产生的，这种情况下的波称为球面波。

根据李福军工程师的研究成果，为了简化计算，我们将花纹沟的发声简化为球面波，有简单声源的声压表达式为：t r c r t Q t r p ∂∏-∂=4)(),(ρ（5.1）由式(5.1)可知，声压与场点介质体积流量的变化率成正比，若Q 为常数，则P 恒等于零，即不产生声音，因此可以略去轮胎纵沟的发声，只考虑有一定角度的花纹沟的发声情况，所以为了便于计算，我们设计一种具有一般代表性的轮胎，即倾斜角度为θ的花纹，如图1所示。

当花纹接地时，其四周的橡胶向花纹沟处挤压，从而使花纹沟的体积减小，其中的气体将会被挤压出去，从而引起花纹沟接地处气体流量的变化，产生声音，这是本研究的计算基础。

在此基础上假设橡胶的变形情况。

为了与实际情况较好地吻合并便于计算，假设橡胶在挤压过程中以圆弧形突出，如图2所示。

花纹沟的变形过程如图3所示，花纹上任意一点A于t时刻在x方向上的投影为x，经过时间微量d t ，A 点在方向上的投影有一个增量dx ，假设其变形情况与x 直接相关，设kx a =(5.2)k 为压缩系数，可由试验测得。