高三文科数学专题立体几何1. （2013汕头二模）设I、m是不同的两条直线,题中为真命题的是（）A •若I ,，则I//C .若I m, // ,m ，则1【答案】D【解析】T I ,// ,•- I ,-.■mD .若I , // ,m ，则I m2. （2013东城二模）给出下列命题：①如果不同直线m、n都平行于平面，则m、n—定不相交；②如果不同直线m、n都垂直于平面，则m、n—定平行；③如果平面、互相平行，若直线m ，直线n ，则m//n ；④如果平面、互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m 则n则真命题的个数是（）A . 3B . 2 C. 1 D. 0【答案】C【解析】只有②为真命题.3. 设I为直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A .若I // ,I// ，贝U // B.若1 ,I ，则//C .若1 ,I// ，贝U //D .若,I// ，则I【解析】B4. (2013 东莞-模）如图，平行四边形ABCD 中，CD 1, BCD 60，且BD CD ,正方形ADEF和平面ABCD垂直，G, H是DF ,BE的中点.（1）求证：BD 平面CDE ;（2）求证：GH //平面CDE ;（3）求三棱锥D CEF的体积.C是不重合的两个平面，则下列命B.若I// , ，则I//【解析】（1）证明：平面 ADEF 平面ABCD ，交线为AD ,•/ EDAD ,• ED平面ABCD ,•- EDBD •又 BD CD ,•- BD平面 CDE .(2) 证明：连接 EA ，则G 是AE 的中点,••• EAB 中，GH//AB ,又 AB//CD , • GH // CD ,• GH // 平面 CDE •(3) 设Rt BCD 中BC 边上的高为h ，是棱PA 上的动点.(1) 若Q 是PA 的中点，求证: PC // 平面BDQCQ；(2) PC,PB PD ，求证：BD解析：证明：（1）连结AC ，交BD 于O ,如图:若 PB 3, ABC 60°，求四棱锥P ABCD即：点C 到平面 DEF 的距离为…VD CEFVC DEF_3 2 _3 35.（2013丰台二模）如图所示，四棱锥PABCD 中, 底面ABCD 是边长为2的菱形，Q•••底面ABCD为菱形,••• Q是PA的中点，•• O为AC中点. OQ〃PC ,••• OQ平面BDQ ,PC 平面BDQ , •PC// 平面BDQ(2)•••底面ABCD为菱形，• AC BD , O 为BD 中点.••• PB PD , • PO BD .••• AC PO O,• BD 平面PAC.••• CQ平面PAC ,••- BD CQ .(3)•/ PA PC ,• PAC为等腰三角形.••• O为AC中点，•PO AC .由( 2)知PO BD ，且AC I BD O ,• PO 平面ABCD ，即PO为四棱锥P ABCD的高.•••四边形是边长为2的菱形，且ABC 60°,BO 「3 PO , 6 .12 .3 . 6 2 2 ,••• V p ABCD 2 2 .36. (2012辽宁高考)如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，BAC 90°, AB AA 1，点M , N分别为AB和B i C i的中点.(1)证明：MN //平面A1ACC1；P⑵求三棱锥A MNC的体积.A1C1V p ABCD【解析】(1)连结AB , , AC ,,•••在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，四边形 ABB,A 为平行四边形，••• M 为A i B 的中点，••• M 为AB ,中点.••• N 为 BG 的中点，• MN // AC ,,••• MN 平面 AACC ,, AC , 平面 A ,ACC ,，二 MN //平面 AACC ,.⑵连结 BN ，: AB AC , • AB , AC ,,••• N 为 B ,C ,的中点，• ANB ,C ,,平面 A ,B ,C , 平面 EBCC ,，平面 AB ,C , I 平面 B ,BCC , B ,C ,,•- A ,N 平面 NBC , ••• AN ,B ,C ,h 2…V A , MNC V B MNCV M NNCNBC7. ( 20,3东城二模) 如图，矩形 AMND 所在的平面与直角梯形 MBCN 所在的平面互相 垂直，MB // NC , MN MB .(D 求证：平面AMB //平面DNC ; (2)若 MC CB ，求证 BC AC .证明：(Dv 四边形AMND 是矩形,1 1S NBC A]N2 3BD••• MA 〃 DN . ••• MB // NC••• MAI MB M , DN I NC N ,••平面AMB 〃平面DNC .(2)v AMND 是矩形，AM MN .•/平面AMND 平面MBCN ,且平面AMND I 平面MBCN = MN ,••• AM 平面 MBCN .•/ BC 平面 MBCN , . AM BC . •/ MC BC , MC I AM M ,BC 平面 AMC .•/ AC 平面 AMC , • BC AC .P ABCD 中，AB 平面 PAD ，AB // CD ,【解析】(1)证明：••• AB 平面PAD , PH 平面PAD ,AB PH ,•/ PH 为 PAD 中AD 边上的高，• PH AD , ABI AD A,... PH 平面 ABCD . (2) • E 是PB 中点,& ( 2012广东高考)如图所示，在四棱锥上的高. (1)证明： PH平面 ABCD ;(2)若 PH1, AD .2 , FC 1，求三棱锥E BCF 的体积;(3)证明：EF平面 PAB .PD AD , E 是PB 中点，F 是DC 上的点，且 DF -AB , PH 为 PAD 中AD 边 2PBCA C•/ AB 平面 PAD AB QD , 又••• PD AD QD PA•/ ABI PA Ap,... QD 平面 PAB •/ EF // QD , • EF 平面 PAB .9. (2012江苏高考)如图，在直三棱柱ABC A1BC 1中，A 1B 1 AC 1 , D , E 分别是棱BC , CG上的点(点D 不同于点C )，且AD DE ，F 为B 1C 1的中点.求证：(1)平面ADE 平面BCC 1B 1 ；d - P H -2 2 .S BCF1-CF AD 11 .2_22 22VE BCF1 -S BCF PH1 . 2—~—1 233 2212(3)取PA 的中点Q ,: 连结EQ 、 DQE 是PB 中点，QE 1AB•QE// AB 且21DF-AB 又.DF // AB 且2 ,• QE // DF 且 QE DF,EF // QD ..•.点E 到平面BCF 的距离d 等于点P 到平面BCF 的距离的一半,•••四边形EQDF 是平行四边形，(2)直线AF //平面ADE .BD【证明】（1）v ABC AB 1C 1是直三棱柱,CC 1 平面 ABC .又••• AD 平面 ABC ,••• CC 1 AD . 又••• AD DE , CC 1 I DE E , • AD 平面 BCC 1B 1 . 又••• AD 平面ADE , ••平面ADE 平面BCC 1B 1 .(2)： AB I A® , F 为 BQ 的中点，••• A 1F BQ .又.CC i平面 A|BiG , A i F平面 ABQ i , • CC 1 AF .又・ CC 1 I B 1C 1 C 1 , • A 1F平面 A|B 1C 1 .由(1)知，AD 平面 BCGB ,• AF // AD . 又••• AD 平面ADE, AF 平面ADE , •直线A,F //平面ADE .10. （2013广州一模）如图所示，在三棱锥 P ABC 中，AB BC 「6，平面PAC 平 面 ABC , PD AC 于点 D , AD 1 , CD 3 , PD 2.（1） 求三棱锥P ABC 的体积; （2） 证明 PBC 为直角三角形.、【解析】（1）证明：•••平面 P AC平面ABC , 平面PAC I 平面A BC AC ,EAPD 平面PAC ,PD AC ,• PD 平面ABC .记AC边上的中点为E，如图:A CCV V 2• BD 、BE 2 DE 2 (. 2)2 123 •在厶BCD 中， CD 3, BC,6 , BD「3 ,• BC2BD2!CD 2 ,• BCBD •由(1) 知PD 平面 ABC ,••• BC 平面 ABC , • BC PD ••/ BDI PD D ,• BC 平面 PBD ••/ PB 平面 PBD , • BC PB •PBC 为直角三角形.11、( 2013汕头二模)如图，在边长为 4的菱形ABCD 中， BAD 60°，点E 、F 分别 在边CD 、CB 上•点E 与点C 、D 不重合，EF AC ，EF I AC O ，沿EF 将 CEF 翻折到 PEF 的位置，使平 面PEF 平面ABFED •(1)求证：BD 平面POA ;(2 )记三棱锥P ABD 的体积为V ,四棱锥P BDEF 的体积为V 2 ,且• AB BC.6 , AC4 , BEBC2CE 2(.'6)2 22■ S ABC1 AC BE 22 •2PD 2 ,• •三棱锥P ABC 的体积VP ABC1S ABC PD 1 2.22 4J3(2)连接BD ,在RtBED 90° , BE2 , DE 1 ,在ABC 中，AB2 .BDE 中,3，求此时线段PO 的长.DC EFC【解析】（1）证明：在菱形 ABCD 中，•/ BD AC ,••• BD AO . •/ EF AC ,• PO EF , •••平面 PEF 丄平面 ABFED ,平面PEF I 平面 ABFED EF ，且PO 平面PEF , • PO 平面 ABFED ,••• BD 平面 ABFED , • PO BD . •/ AO I PO O ,• BD 平面 POA . （2）设 AO I BD H .由（1）知，PO 平面ABFED , •PO 为三棱锥P ABD 及四棱锥P BDEF 的高，11• V1 ■ 1 4 V |S ABD PO ,V 2 S 梯形BFED PO , — 33V2 3'S 梯形BFED3S S ABD 3SS CBD '… S CEF1S CBD ,4 44•/ BD AC, EF AC ,EF //BD , •CEF s CBD .（CO ）2 S CEF1 CHSCBD4， 1 1 CO —CH -AH 1 2 332 2 2• PO OC 3 .(1 )求四棱锥P ABCD 的体积; (2)求证：CD 平面PAC ；(3)在棱PC 上是否存在点 M (异于点C ),使得BM //平面PAD ,若存在，求PC的值，若不存在，说明理由.12. (2013佛山二模)如图所示四棱锥 P ABCD 中，PA中，AB AD , BC//AD , PA ABBC 2, AD底面ABCD ，四边形ABCD4.PAD【解析】（1）显然四边形 ABCD 为直角梯形,••• PA 底面 ABCD ,1…V p ABCD 3 S ABCD PA•••在直角梯形ABCD 中,2 2 2• AC CD AD ,• AC CD .又••• PAI AC A , •- CD 平面 PAC .(3)不存在，下面用反证法证明：假设存在点 M （异于点C ），使得BM //平面PAD ,••• BC//AD , BC 平面 PAD ,• BC//平面 PAD ,.•/ BCI BM B ,•平面PBC //平面PAD ,而平面PBC 与平面PAD 相交，得 出矛盾.13.如图4，在边长为1的等边三角形 ABC 中，D,E 分别是AB, AC 边上的点，AD AE , F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将 ABF 沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥AD AE，在折叠后的三棱锥 A BCF 中DB EC••• S ABCD -(BC AD) AB -(2 4) 2 2 6.⑵•/ PA 底面ABCD ,CD 底面 ABCD ,二 PA CD .AC .AB 2 BC 22 一 2 , CD(1) BCF ，其中 BC -2当AD 【解析】 （1）在等边三角形 ABC 中，AD AE 证明:证明:图4也成立，DE //BC ,Q DE 平面BCF ,BC 平面BCF , DE //平面BCF ；1 (2)在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF BC①，BF CF .2 Q在三棱锥A BCF中，BC BC2BF2CF2CF BF ②Q BF CF F CF 平面ABF ；(3)由(1)可知GE//CF，结合(2)可得GEVF DEG VE DFG--DG FG GF3 2---1 1 33 2 3 3 2 3 324平面DFG .。