DA
S=
1
(
0
x-x2)dx
(2 3
3
x2
x3 3
)
|10
1. 3
例 2.计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所围
成的图形的面积.
解:作出y=x-4, y 2 x 的图象 如图所示: 解方程组y 2x得:{yx==48,
yx4 直线y=x-4与x轴交点为(4,0)
y 2x
S1 S2
2、定积分 b f (x)dx 的数值在 a
几何上都可以用曲边梯形面积的
S3
代数和来表示。
b
a f ( x)dx S1 S2 S3
y
yf2(x)
A
oa
ybxf1(x)3、Aab[f2(x)f1(x)d] x
二、微积分基本定理内容是什么？
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，则，
三.小结
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
S2 S1
yx4
4
8
8
SS1S2 0
2xdx[ 4
2xdx (x4)dx] 4
4
8
8
8
8
( 0
2 x d x 4
2 x d x )4(x 4 )d x0
2xdx4(x4)dx
232x3 2|8 0(1 2x24x)|8 4430
8
s
2xdx14(84)
0
2
22 3
3
x2
|80
8
2 216 2840
的图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解 方 程 组 yy x2x得:{xy 00 ,{xy 11, 即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
y y x B
y2 x
C
y x2
S=S曲 边 梯 形 OABC-S曲 边 梯 形 OABD
1
xdx 1x2dx
0
0
O
o y xx2
解: 求两曲线的交点:
y x3 6x
y
x2
(0,0),(2,4),(3,9).
0
A12
(x36xx2)dx
3
A20
(x2x36x)dx
y x2 y x3 6x
于是所求面积 AA 1A 2
A 02(x36xx2)dx03(x2x36x)dx
253 . 12
y x2
A1
A2
y x3 6x
b
a f (x)dx F (b) F (a)
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)， 又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
或记作
b
a
f
( x)dx
F ( x)
b a
F (b)
F (a).
例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成
(1)S 31(2 (x3)x2)d x332 (2)S0 1(eex)dx1
2、计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围成
的图形的面积.
y 2x
解: 求两曲线的交点:
y2 2x
(2 , 2 )(,8 ,).
y x4
S1 S1
2S 2
yx4
8
y2 2x
2
8
S2S1S2 2 0
2xdx ( 2xx4)dx 2
2
8
0 2 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
4 3 2 x 3 2|0 2 (2 3 2 x 3 2 1 2 x 2 4 x )|8 2 1 3 6 6 3 4 2 3 6 1 8
3、计算由曲线 y x3 6x和 y x2所围成的图
形的面积.
思考题：在曲线y=x2 (x≥0)上某点A处作切线,
使之与曲线及x轴围成图形的面积为1/12。
求过点A的切线方程.
y
设切点x0， （x02）则，切线的斜k率 ＝2x0
yx022x0(xx0)
y=x2 A
即y ， 2x0(xx0)x02
o
x
S0x0x2d x1 2x021 2x0
1 12
解之得x0：1 所以，切线方程为y：＝2x－1;
1.7.1定积分在几何 中的应用
复习引入 一.定积分的几何意义是什么？
1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么：
b
定积分 a f (x)dx
就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。
y yf(x)
Aabf(x)dx
A
oa
bx
f(x)0,
b
a f(x)dxA
曲边梯形的面积
f(x)0, abf(x)dxA曲边梯形的面积的负值
3
3
s 4[(4y)1y2]dy
0
2
(4y1y2 2
16y3)|04
4414214340 26 3
点评：求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
定积分在几何中的应用 1.求下列曲线所围成的图形的面积: (1)y=x2,y=2x+3; (2)y=ex,y=e,x=0.