《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质2.极限3.连续函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A. 极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与 Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1. lim arctan x x lim arctan x x1（ 等价小量与洛必达）x 0ln(1 2x 3 )x 02x 36sin 6x xf ( x) 0，求 lim 6 f ( x)2.已知 lim x 3 x 2x 0x 0lim sin 6x xf ( x)lim 6 cos6xf ( x) xy' 解： x 0x 3 x 03x 2lim 36sin 6x2 y' xy ''216cos 6x3y' ' xy' ''6xlim6xx 0216 3 y' ' (0)0 y' ' (0) 726lim 6 f (x)lim y'lim y' ' 72 36 （洛必达 ）xx 2 x 02 xx 0222x 2x3. lim ( )x1（重要极限 ）x 1x1a xb x 3) x4.已知 a 、 b 为正常数， 求 lim (2x( a xb x 33[ln( a x解：令 t) x, ln tb x ) ln 2]2 xlim ln tlim3 ( a xln a b xln b)3ln( ab)x 0x0 axb x2 （变量替换 ）t (ab )3/ 215. lim (cos x) ln(1 x 2 )x 011解：令 t(cos x) ln(1 x 2 ) ,ln tln(cos x)ln(1 x 2 )lim ln tlimtan x 1 t e 1 / 2 （ 变量替换 ）xx2x2x20 f (t)dt6.设 f ' (x) 连续， f (0)0, f ' (0)0 ，求 lim1xxx 2f (t )dt（洛必达与微积分性质 ）7.已知 f (x)ln(cos x) x 2 , x 0 a, x0 在 x=0 连续，求 a解：令lim ln(cos ) / 21/ 2（连续性的概念 ）a x 0xx三、补充习题（作业）1. lime x 1 x 3 （洛必达 ）1 xcos xx2. lim ctgx ( 11) （ 洛必达或 Taylor ）xsin x xx2x e t dt3. lim21（洛必达与微积分性质 ）e x x 01第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解 Roll 、 Lagrange 、 Cauchy 、 Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A. 导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导x arctan tdy1. y y(x)由 2 y ty 2 e t 5 决定，求 dx2. yy(x)由 ln( x2y)x 3y sin x 决定，求dy|x 0 1dx解：两边微分得 x=0 时 y' y cos xy ，将 x=0 代入等式得 y=13. y y(x)由2 xy x y 决定，则 dy |x 0 (ln 21) dxB. 曲线切法线问题4.求对数螺线e 在（ ， ）（ e / 2 , / 2) 处切线的直角坐标方程。
x e cos/ 2 (0,e/ 2), y'| / 21解：e sin ,( x, y) |yye / 2x5.f(x) 为周期为 5 的连续函数，它在 x=1 可导，在 x=0 的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。
求 f(x) 在（ 6， f(6) ）处的切线方程。
解：需求 f (6), f ' (6)或 f (1), f ' (1) ，等式取 x->0 的极限有： f(1)=0lim f (1 sin x) 3 f (1 sin x)x 0sin xsin x tf (1 t) f (1) 3 f (1 t ) f (1) ]lim[t 0t t4 f '(1) 8 f '(1) 2 y 2(x 6)C.导数应用问题6.已知 y f ( x)对一切 x 满足 xf '' ( x) 2x[ f ' (x)]21 e x ，若 f ' (x 0 ) 0(x 0 0) ，求 (x 0 , y 0 ) 点的性质。
解：令 xx 0 代入， f ' '(x 0 ) e x10, x 0e x 0 x 0，故为极小值点。
0, x 07. yx 3(x1) 2 ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解：定义域 x( ,1)(1,)y' 0驻点 x 及 x 3y'' 0 拐点x ； x ：铅垂； yx：斜0 1 28.求函数 y ( x 1)e/ 2 arctan x的单调性与极值、渐进线。
解：y' x 2 x e / 2 arctan x驻点 x 0与 x1，1 x 2渐： y e ( x 2)与 y x 2D. 幂级数展开问题9.dxsin( x t )2 dtsin x 2dx 0sin(x t)2( x t)21(x t) 6 ( 1)n ( x t ) 2(2n 1)3! (2n 1)!sin(x t ) 2 dt 1 ( x t ) 3 1 7 ( 1) n 1(x t) 4n 1(x t )(4n 1)(2n 1)!3 3!7x1 x 31 x 7( 1)nx 4n 1sin(x t) 23 3!7 (4n 1)(2n 1)!d x2dt x 2 1 x 6 ( 1)n x2( 2n 1)sin x 2dxsin(xt )(2n1)!3!或： x tud2 (du)dx 2 du sin x 2sin udx 0 sin udx x10.求 f ( x) x 2 ln(1 x)在 x 0处的 n 阶导数 f (n )( 0)解： x 2 ln(1x)x 2 (x x 2x 3( 1) n 1x n 2o( x n 2 )23n2=x 3x 4 x 5 ( 1) n1x nn)23n 2 o( xf (n ) (0) ( 1)n1n!n 2E.不等式的证明设x(0,1)，11.求证（ 1 x) ln 2 (1 x) x 2， 1111 1ln 2ln(1 x)x2证： 1）令 ( x )(1x ) ln 2 (1 ) x 2 , g (0) 0g xg' ( x), g ' '( x), g' ' '( x) 2 ln(1 x)g ' '(0)(1 x) 20, g' (0)x (0,1)时 g ' '( x)单调下降， g' ' ( x) 0, g '( x)单调下降 g' ( x)0, g( x)单调下降， g( x) 0；得证。
2）令 h( x)11, x(0,1), h' ( x) 0,单调下降，得证。
ln(1x)xF.中值定理问题1，1] 具有三阶连续导数，且 f ( 1) 0, f (1)1，12.设函数 f (x)在[f ' (0) 0 ，求证：在（ -1， 1）上存在一点 ，使 f ' '' ( )3证： f ( x)f (0) f '(0) x1 f ''(0) x21f ''' ( )x 32!3!其中(0, x), x [ 1,1]0 f ( 1) f (0)1f '' (0)1f ' ' '( 1)将 x=1， x=-1 代入有261f ' '( 0) 11 f (1)f (0)f ' ' ' ( 2 )2 6两式相减： f '' '( 1)f ' '' ( 2)6[ 1， 2 ]， f ''' ( )1f '' '( 2 )]3[ f '''( 1 )213. e ab 2 2b ln 2a4a)e ，求证： ln2 (bf (b) f (a)e 证：Lagrange :f '()b a令 f ( x)ln2x,ln 2b ln 2 a 2 lnb a令 (t )ln t, '(t ) 1 ln t( )(e 2 ) ln2tt 2e 2ln 2b ln 2a4 a)（关键：构造函数）2 (be三、补充习题（作业）1. f ( x)ln 1 x ,求y'' (0)31 x2 2x e t sin 2t 在 (0,1)处切线为 y 2x 12.曲线e t cos2t y3.y x ln( e1)( x 0)的渐进线方程为 y x 1xe4.证明 x>0 时 ( x 2 1) ln x( x 1) 2证：令 g( x)( x 21) ln x( x 1) 2, g ' ( x), g' ' (x), g' ' ' (x)2( x 2 1)x3g (1) g' (1) 0， g' ' (1) 2 0x (0,1), g'' ' 0, g'' 2g'' 0 x (0,1), g' 0 0x(1, ), g'' ' 0, g '' 2x (1, ), g' g第三讲 不定积分与定积分一、理论要求1.不定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2.定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法A.积分计算B.积分性质1.dx dxarcsinx 2Cx(4 x) 4 ( x 2)2 22. e2 x (tan x 1)2 dx e2x sec2 xdx 2 e2 x tan xdx e2 x tan x C3.设f (ln x)ln(1 x)，求 f (x)dxx解：f (x)dxln(1 e x )dxe xe x ln(1 e x ) (1e xx ) dx x (1 ex) ln(1 e x ) C1 e4.arctanxdx1lim b1 x)dx11 2arctanx |11(2ln 2 x x b x 1 x 4 25. f (x) 连续，(x) 1 f ( xt ) dt 且limf ( x) A ，求( x) 并讨论'( x)0 xx 0在 x 0 的连续性。