2 1 1
5(8) 40
0 0 2 3
0 0 02
例2 计算 n 阶行列式
a b bb b a bb D b b a b
b b ba
解 将第 2,3,,n 都加到第一列得
a n 1b b b b
a n 1b a b b
D a n 1b b a b
a n 1b b b a
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）
的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 a A i2 j2 a A in jn 0, i j .
四、行列式的计算
1、将行列式化成三角行列式计算 例１ 计算行列式
1 5 3 3 2 0 1 1 D 3 1 1 2 5 1 3 4
数之和.
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
例如
D
a21
a22
(a2i a2 i ) a2n
an1 an2 (ani an i ) ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a1i a1n a11 a1i a1n
D
a21
a2i
a2n
a21
a2i
a2n
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零．
证明 a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
ai1 ai2 ain
k 0.
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两
二、余子式与代数余子式
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
记 Aij 1i j Mij，叫做元素 a ij的代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
an1 ani ann an1 an i ann
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以
同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行
列式不变．
a11 a1i a1 j a1n
例如
a21 a2i k a2 j a2 j
an1 ani anj anj a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n
ri
krj
a21
(a2i ka2 j )
a2 j
a2 j

an1 (ani kanj ) anj anj
利用行列式的上述性质，往往可以使行 列式的计算简化，但我们知道阶数越低的 行列式越容易计算。比如二阶行列式比三 阶行列式要容易计算得多。因此，我们自 然地提出，能否把行列式转化为一些阶数 较低的行列式来计算？为此先给出余子式 和代数余子式的概念。
解
1 5 3 3
1 5 3 3
2 D
3
0 1 1 0 r2 2r1 10 5 5
1
1
2
0 r3 3r1
r4 5r1
16
10
11
5 1 3 4
0 24 18 19
1 5 3 3
r2 5
r3 8r2 r4 12r2
5
0 0
2 1 1 0 2 3
0 0 6 7
1 5 3 3
5 0 r4 3r3
（优选）线性代数二阶三阶行 列式
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
例如
175 175 6 6 2 3 5 8 , 358 662
17 5 715 6 6 2 6 6 2. 35 8 538
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零.
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M 23 M 23 .
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
A12 112 M12 M12 .
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 , A44 1 44 M44 M44.
a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一
个代数余子式.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
a11 a12 a13 a14 例如 D a21 a22 a23 a24
0 0 a33 0 a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14
1 33 a33 a21 a22 a24 .
1 b bb
1 a bb
a (n 1)b 1 b a b
各行都减去 第一行
1 b ba
1 bb
a (n1)b 0 a b 0
0 0 ab
b 0
0 a (n 1)b(a b)n1.
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
0 0 ain ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
i 1,2,,n
an1 an2 ann
a41 a42 a44
三、行列式按行（列）展开法则
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2,, n
证
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain