习题一解答 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件� A (1) 抛一枚硬币两次�观察出现的面�事件}{两次出现的面相同�A � (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数�事件{�A 一分钟内呼叫次数不超过次}� 3(3) 从一批灯泡中随机抽取一只�测试其寿命�事件{�A 寿命在到小时之间}。

20002500解(1) )},(),,(),,(),,{(����������� )},(),,{(�����A .(2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数�则 },2,1,0|{������k k X � }3,2,1,0|{���k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命�单位�小时��则 )},0({�����X � )}2500,2000({��X A . 2. 袋中有10个球�分别编有号码1至10�从中任取1球�设�A {取得球的号码是偶数}��B {取得球的号码是奇数}�{取得球的号码小于5}�问下列运算表示什么事件� �C (1)�(2)B A �A B �(3)�(4)A C A C �(5)C A �(6)C B ��(7)C A �. 解(1) 是必然事件� ��B A � (2) ��A B 是不可能事件� (3) {取得球的号码是2�4}� �A C (4) �A C {取得球的号码是1�3�5�6�7�8�9�10}� (5) �C A {取得球的号码为奇数�且不小于5}�{取得球的号码为5�7�9}� (6) ��C B C B ��{取得球的号码是不小于5的偶数}�{取得球的号码为6�8�10}�(7) ���C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6�8�10} 3. 在区间上任取一数�记]2,0[���������121x x A ����������2341x x B �求下列事件的表达式�(1)�(2)B A �B A �(3)B A �(4)B A �. 解(1) ���������2341x x B A �;(2) ������������B x x x B A �21210或����������������2312141x x x x �;(3) 因为B A ��所以��B A � (4)������������223410x x x A B A 或��������������223121410x x x x 或或 4. 用事件的运算关系式表示下列事件� C B A ,,(1) 出现�都不出现�记为�� A C B ,1E (2) 都出现�不出现�记为�� B A ,C 2E (3) 所有三个事件都出现�记为�� 3E(4) 三个事件中至少有一个出现�记为�� 4E(5) 三个事件都不出现�记为�� 5E (6) 不多于一个事件出现�记为�� 6E (7) 不多于两个事件出现�记为�� 7E (8) 三个事件中至少有两个出现�记为�。

8E 解 (1)C B A E �1� (2)C A B E �2� (3)� (4)A B C E �3C B A E ���4� (5)C B A E �5� (6)C B A C B A C B A C B A E ����6�(7)C B A A B C E ����7�(8)B C A C A B E ���8. 5. 一批产品中有合格品和废品�从中有放回地抽取三次�每次取一件�设表示事件“第i 次i A抽到废品”��试用表示下列事件� 3,2,1�i 21A A �i A (1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品� (2) 只有第一次抽到废品� (3) 三次都抽到废品� (4) 至少有一次抽到合格品� (2) 只有两次抽到废品。

解 (1)� (2)321A A A � (3)� 321A A A (4)� (5)321321321A A A A A A A A A ��. 21A A ��3A 6. 接连进行三次射击�设={第次射击命中}�i Ai 3,2,1�i ��B {三次射击恰好命中二次}�{三次射击至少命中二次}�试用表示�C i AB 和C 。

解 32132A 2A 1321A A A A A A A A B ���A A33121A A A A A C ���习题二解答1�从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品�求其中恰有1件次品的概率。

解 这是不放回抽取�样本点总数�记求概率的事件为�则有利于的样本点数. 于是 ���������350n �����������������15245k 39299!2484950!35444535015245)(����������������������������������n k A P 2�一口袋中有5个红球及2个白球�从这袋中任取一球�看过它的颜色后放回袋中�然后�再从这袋中任取一球�设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。

求 (1) 第一次、第二次都取到红球的概率� (2) 第一次取到红球�第二次取到白球的概率� (3) 二次取得的球为红、白各一的概率� (4) 第二次取到红球的概率。

解 本题是有放回抽取模式�样本点总数. 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为. 27�n D C B A,,,492575)(2��������A P(ⅰ)有利于的样本点数�故 A 25�A k (ⅱ) 有利于B 的样本点数�故 25��B k 4910725)(2���B P (ⅲ) 有利于的样本点数C 252���C k �故 4920)(�C P (ⅳ) 有利于的样本点数�故 D 57��D k 754935757)(2����D P . 3�一个口袋中装有6只球�分别编上号码1至6�随机地从这个口袋中取2只球�试求�(1) 最小号码是3的概率�(2) 最大号码是3的概率。

解 本题是无放回模式�样本点总数56��n . (ⅰ) 最小号码为3�只能从编号为3�4�5�6这四个球中取2只�且有一次抽到3�因而有利样本点数为�所求概率为 32�515632���. (ⅱ) 最大号码为3�只能从1�2�3号球中取�且有一次取到3�于是有利样本点数为22��所求概率为 1525622���.4�一个盒子中装有6只晶体管�其中有2只是不合格品�现在作不放回抽样�接连取2次�每次取1只�试求下列事件的概率� (1) 2只都合格� (2) 1只合格�1只不合格� (3) 至少有1只合格。

解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为�则 C B A ,,522562342624)(�����������������������A P 15856224261214)(������������������������������B P 注意到�且B A C ��A 与B 互斥�因而由概率的可加性知 151415852)()()(�����B P A P C P5�掷两颗骰子�求下列事件的概率� (1) 点数之和为7�(2) 点数之和不超过5�(3) 点数之和为偶数。

解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为,样本点总数 C B A ,,26�n (ⅰ)A 含样本点,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3) )2,5(),5,2(6166)(2���A P (ⅱ)B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)185610)(2���B P (ⅲ)含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。

C213618)(���C P 6�把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去�假设每间宿舍最多可住8人�试求这三名学生住不同宿舍的概率。

解 记求概率的事件为�样本点总数为�而有利的样本点数为A 35A 345���所以 25125345)(3����A P. 7�总经理的五位秘书中有两位精通英语�今偶遇其中的三位�求下列事件的概率� (1) 事件�“其中恰有一位精通英语”� A (2) 事件B �“其中恰有二位精通英语”� (3) 事件�“其中有人精通英语”。

C 解 样本点总数为 ��������35(1) 53106345!332352312)(��������������������������������A P �(2) 103345!33351322)(������������������������������B P � (3) 因�且与B A C ��A B 互斥�因而10910353)()()(�����B P A P C P . 8�设一质点一定落在平面内由x O y x 轴、y 轴及直线1��y x 所围成的三角形内�而落在这三角形内各点处的可能性相等�计算这质点落在直线3/1�x 的左边的概率。

解 记求概率的事件为�则 A A S 为图中阴影部分�而� 2/1||��1859521322121||2�����������A S 最后由几何概型的概率计算公式可得 952/118/5||||)(����A S A P . 9��见前面问答题2. 3� 10�已知B A ���4.0)(�A P 6.0)(�B P �求 (1))(A P ,)(B P �(2)�(3)�(4))(B A P �)(A B P )(),(B A P A B P �(5))(B A P . 解 (1)6.04.01)(1)(�����A P A P �4.06.01)(1)(�����B P B P � (2)6.0)()()()()()()()(��������B P A P B P A P A B P B P A P B A P �� (3)� 4.0)()(��A P A B P (4)0)()()(�����P B A P A B P , 4.06.01)(1)()(������B A P B A P B A P ��; (5).2.04.06.0)()(�����A B P B A P 11�设是两个事件�已知�B A ,5.0)(�A P 7.0)(�B P �8.0)(�B A P ��试求及)(B A P �).(A B P � 解注意到 )()()()(A B P B P A P B A P �����因而)()()(B P A P A B P �� )(B A P ��4.08.07.05.0����. 于是�)()(A B P A P )()(A B A P B A P ����� 1.04.05.0����3.04.07.0)()()()(���A B P ���B P A B B P ��A B P.习题三解答 1�已知随机事件的概率�随机事件A 5.0)(�A P B 的概率6.0)(�B P �条件概率8.0)|(�A B P �试求及)(A B P )(B A P . 解 4.08.05.0)|()()(����A B P A P A B P )()()(1)(1)()(A B P B P A P B A P B A P B A P ��������� 3.04.06.05.01�����2�一批零件共100个�次品率为10%�从中不放回取三次�每次取一个��求第三次才取得正品的概率。