数列裂项相消求和的典型题型1.已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1{1+n n a a 的前100项和为( ) A .100101 B .99101 C .99100 D .101100 2.数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,109则在平面直角坐标系中,直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( )A .-10B .-9C .10D .93.等比数列}{n a 的各项均为正数,且6223219,132a a a a a ==+.(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;(Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{nb 的前n 项和. 4.正项数列}{n a 满足02)12(2=---n a n a n n .(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ; (Ⅱ)令,)1(1nn a n b +=求数列}{n b 的前n 项和n T .5.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且12,4224+==n n a a S S . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)设数列}{n b 满足,,211*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T . 6.已知等差数列}{n a 满足:26,7753=+=a a a .}{n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)令),(11*2N n a b n n ∈-=求数列}{n b 的前n 项和n T . 7.在数列}{n a 中n n a na a 211)11(2,1,+==+. (Ⅰ)求}{n a 的通项公式;(Ⅱ)令,211n n n a a b -=+求数列}{n b 的前n 项和n S ; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n T .8.已知等差数列}{n a 的前3项和为6,前8项和为﹣4. (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;(Ⅱ)设),,0()4(*1N n q q a b n n n ∈≠-=-求数列}{n b 的前n 项和n S .9.已知数列}{n a 满足,2,021==a a 且对*,N n m ∈∀都有211212)(22n m a a a n m n m -+=+-+--.(Ⅰ)求53,a a ;(Ⅱ)设),(*1212N n a a b n n n ∈-=-+证明:}{n b 是等差数列;(Ⅲ)设),,0()(*11N n q q a a c n n n n ∈≠-=-+求数列}{n c 的前n 项和n S .10.已知数列}{n a 是一个公差大于0的等差数列,且满足16,557263=+=a a a a . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;(Ⅱ)数列}{n a 和数列}{n b 满足等式),(2222*33221N n b b b b a n n n ∈++++=求数列}{n b 的前n 项和n S . 11.已知等差数列}{n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且421,,S S S 成等比数列. (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)令,4)1(112+--=n n n a a nb 求数列}{n b 的前n 项和n T .12.正项数列}{n a 的前n 项和n S 满足:0)()1(222=+--+-n n S n n S n n .(1)求数列}{n a 的通项公式n a ; (2)令,)2(122n n a n n b ++=数列}{n b 的前n 项和为n T ,证明:对于,*N n ∈∀都有645<n T . 答案:1.A ;2.B3.解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由a 32=9a 2a 6有a 32=9a 42,∴q 2=. 由条件可知各项均为正数,故q=. 由2a 1+3a 2=1有2a 1+3a 1q=1,∴a 1=.故数列{a n}的通项式为a n=.(Ⅱ)b n=++…+=﹣(1+2+…+n)=﹣,故=﹣=﹣2(﹣)则++…+=﹣2[(1﹣)+(﹣)+…+(﹣)]=﹣,∴数列{}的前n项和为﹣.4.解:(Ⅰ)由正项数列{a n}满足:﹣(2n﹣1)a n﹣2n=0,可有(a n﹣2n)(a n+1)=0∴a n=2n.(Ⅱ)∵a n=2n,b n=,∴b n===,T n===.数列{b n}的前n项和T n为.5.解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由S4=4S2,a2n=2a n+1有:,解有a1=1,d=2.∴a n=2n﹣1,n∈N*.(Ⅱ)由已知++…+=1﹣,n∈N*,有:当n=1时,=,当n≥2时,=(1﹣)﹣(1﹣)=,∴,n=1时符合.∴=,n∈N*由(Ⅰ)知,a n=2n﹣1,n∈N*.∴b n=,n∈N*.又T n=+++…+,∴T n=++…++,两式相减有:T n=+(++…+)﹣=﹣﹣∴T n=3﹣.6.解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,∵a3=7,a5+a7=26,∴有,解有a1=3,d=2,∴a n=3+2(n﹣1)=2n+1;S n==n2+2n;(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n=2n+1,∴b n====,∴T n===,即数列{b n}的前n项和T n=.7.解:(Ⅰ)由条件有,又n=1时,,故数列构成首项为1,公式为的等比数列.∴,即.(Ⅱ)由有,,两式相减,有:,∴.(Ⅲ)由有.∴T n=2S n+2a1﹣2a n+1=.8.解:(Ⅰ)设{a n}的公差为d,由已知有解有a1=3,d=﹣1故a n=3+(n﹣1)(﹣1)=4﹣n;(Ⅱ)由(Ⅰ)的解答有,b n=n•q n﹣1,于是S n=1•q0+2•q1+3•q2+…+n•q n﹣1.若q≠1,将上式两边同乘以q,有qS n=1•q1+2•q2+3•q3+…+n•q n.上面两式相减,有(q﹣1)S n=nq n﹣(1+q+q2+…+q n﹣1)=nq n﹣于是S n=若q=1,则S n=1+2+3+…+n=∴,S n=.9.解:(Ⅰ)由题意,令m=2,n=1,可有a3=2a2﹣a1+2=6再令m=3,n=1,可有a5=2a3﹣a1+8=20(Ⅱ)当n∈N*时,由已知(以n+2代替m)可有a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8于是[a2(n+1)+1﹣a2(n+1)﹣1]﹣(a2n+1﹣a2n﹣1)=8即b n+1﹣b n=8∴{b n}是公差为8的等差数列(Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)解答可知{b n}是首项为b1=a3﹣a1=6,公差为8的等差数列则b n=8n﹣2,即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2另由已知(令m=1)可有a n=﹣(n﹣1)2.∴a n+1﹣a n=﹣2n+1=﹣2n+1=2n于是c n=2nq n﹣1.当q=1时,S n=2+4+6++2n=n(n+1)当q≠1时,S n=2•q0+4•q1+6•q2+…+2n•q n﹣1.两边同乘以q,可有qS n=2•q1+4•q2+6•q3+…+2n•q n.上述两式相减,有(1﹣q)S n=2(1+q+q2+…+q n﹣1)﹣2nq n=2•﹣2nq n=2•∴S n =2•综上所述,S n =.10.解:(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d , 则依题意可知d >0由a 2+a 7=16, 有,2a 1+7d=16①由a 3a 6=55,有(a 1+2d )(a 1+5d )=55② 由①②联立方程求,有d=2,a 1=1/d=﹣2,a 1=(排除)∴a n =1+(n ﹣1)•2=2n﹣1 (Ⅱ)令c n =,则有a n =c 1+c 2+…+c na n+1=c 1+c 2+…+c n+1 两式相减,有a n+1﹣a n =c n+1,由(1)有a 1=1,a n+1﹣a n =2 ∴c n+1=2,即c n =2(n≥2), 即当n≥2时,b n =2n+1,又当n=1时,b 1=2a 1=2 ∴b n =于是S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6,n≥2,.11.解 (1)因为S 1=a 1,S 2=2a 1+2×12×2=2a 1+2,S 4=4a 1+4×32×2=4a 1+12, 由题意得(2a 1+2)2=a 1(4a 1+12),解得a 1=1, 所以a n =2n -1. (2)b n =(-1)n -14na n a n +1=(-1)n -14n (2n -1)(2n +1)=(-1)n -1(12n -1+12n +1).当n 为偶数时,T n =(1+13)-(13+15)+…+(12n -3+12n -1)-(12n -1+12n +1)=1-12n +1=2n 2n +1. 当n 为奇数时,1 3)-(13+15)+…-(12n-3+12n-1)+(12n-1+12n+1)=1+12n+1=2n+22n+1.T n=(1+所以T n=⎩⎪⎨⎪⎧2n +22n +1,n 为奇数,2n2n +1,n 为偶数.(或T n =2n +1+(-1)n -12n +1)12.(1)解 由S 2n -(n 2+n -1)S n -(n 2+n )=0, 得[S n -(n 2+n )](S n +1)=0, 由于{a n }是正项数列,所以S n +1>0. 所以S n =n 2+n (n ∈N *).n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n , n =1时,a 1=S 1=2适合上式.∴a n =2n (n ∈N *).(2)证明 由a n =2n (n ∈N *)得b n =n +1(n +2)2a 2n =n +14n 2(n +2)2=116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2-1(n +2)2 T n =116⎣⎢⎡ ⎝⎛⎭⎪⎫1-132+⎝⎛⎭⎪⎫122-142+⎝⎛⎭⎪⎫132-152+…⎦⎥⎤+⎝ ⎛⎭⎪⎫1(n -1)2-1(n +1)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2-1(n +2)2 =116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+122-1(n +1)2-1(n +2)2<116⎝ ⎛⎭⎪⎫1+122=564(n ∈N *). 即对于任意的n ∈N *,都有T n <564.如有侵权请联系告知删除,感谢你们的配合!。