对数函数性质的推导由指数函数(01)n a a a b >≠=且，可推知：log a n b =，从而：
性质1、log ()log log a a a MN M N =+<证法1>由于m n m n
a a a +⋅=设,m n M a N a ==则：log a M m =log a N n =m n MN a +=于是：
()log log log a a a M N MN m n =+=+性质2、log log log M a a a N
M N =-<证明>log log log log log M M
N a a a a N
a M N a M M N N a a a -=== 对数恒等式由于指数函数是单调函数，故：log log log M a a a N M N
=-
性质3、log log ()
(0,1)log b b a N N a b b >≠=换底公式特例：1
log log a b b a
=<证明
>设，所以。

两边取对数，则有t log log ∂
=ββχ所以，∂=ββχ
log log t
又因为所以
性质4、log log n a a M n M
=
特例：1log log a a n M =<证明>n n M M =可知：()n log n log n M
M M αααα==（换底公式）即()log log n a a M n
M a a ⋅=由于指数函数是单调函数，故：log log n a a M M n =⋅性质5、log log m m n n a a b b =<证明>lg lg log log lg lg m
m n m m
a n n n a
b b b
b
a a ==⋅=性质6、1log log n a n a
b b
=注：性质4和性质6都是性质5的特例。