当前位置:文档之家› 保险精算(三).ppt

保险精算(三).ppt


选择-终极生命表
选择-终极生命表构造的原因
需要构造选择生命表的原因:刚刚接受体检 的新成员的健康状况会优于很早以前接受体 检的老成员。
需要构造终极生命表的原因:选择效力会随 时间而逐渐消失
选择-终极生命表的使用
选择-终极表实例
[x]
选择表
终极表
q[ x] q[ x1] q q [ x2] [ x3] q[ x4] qx5 x 5
意义:新生儿能活到 x 岁的概率。
与分布函数的关系:S(x) 1 F(x)
与密度函数的关系:f (x) S(x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率:
Pr(x X z) s(x) s(z)
剩余寿命
定义:已经活到x岁的人(简记(x)),还 能继续存活的时间,称为剩余寿命,记 作T(x)。
用X 表示出生婴儿未来寿命的随机变量,则X的分
布函数F x Pr X x x 0
即0岁的人在x岁之前死亡的概率。x 0
X的概率密度函数记为f x,则f x F x,x 0
那么Pr X 50表示什么?
表示x岁的人在50岁以后死亡的概率,即在50岁仍然 生存的概率。
Pr X 50 1 Pr X 50 1 F 50
T分布函数记为 FT t
FT t Pr(T (X ) t) Pr(x X x t X x) =F x t F x 1 F x
s(x) s(x t) s(x)
T的概率密度函数记为fT
t
,
fT
t
FT
t
sx t sx
在精算学中,用国际通用的符号来表示有关T x
的各种概率。
生命表的定义
根据已往一定时期内各种年龄的死亡统生命表的发展历史
1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写 过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。
1693年,Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统计表 对人类死亡程度的估计》,在文中第一次使用了生命表的形 式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表 的创始人。
0 t px dt
剩余寿命的期望与方差
剩余寿命的方差
o2
Var(T (x)) E(T (x)2 ) E2T (x) 2 t t pxdt ex
0
整值剩余寿命的期望与方差
期望整值剩余寿命:(x) 整值剩余寿命的期望值
(均值),简记 ex
ex E(K (x))
k ( k px k1 px ) k 0 1 px 2 px 2 2 px 3 px 3 3 px 4 px
Tx x lydy
o
ex
Tx lx
生命表中列有的lx和dx的值会给计算各种概率带来方便。
k
px
lxk lx
,
k qx
1
k
px
lx
lxk lx
k m qx k px km px
lxk lxkm
lx
lx
lxk lxkm lx
生命表实例(美国全体人口生命表)
年龄区 死亡比


x~ xt t qx
70 .0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 75
71 .0191 .0272 .0342 .0424 .0518 .0596 76
72 .0209 .0297 .0374 .0463 .0566 .0652 77
73 .0228 .0324 .0409 .0507 .0620 .0714 78
1/ 70
2、30 5q20
l50 l55 l20
1/16
e 0
3、
T0
100
(1
x )dx 50
0 l0
0
100
生命表的类型
国民生命表 经验生命表
国民生命表:是根据全国范围内的人口 统计资料构造出来的,反映的是一个特 定时期内全国人口的寿命分布情况。
经验生命表:是人寿保险公司经营寿险 业务死亡率的经验结果,它是以人寿保 险公司的被保险人群体为对象。它分为 终极表、选择表和综合表。
ln[s(x)]
死亡效力与生存函数的关系
死亡效力与生存函数的关系
两边积分,
x
0 ydy
x 0
ln
s
y
dy
ln s y
x 0
x 0
y
dy,
ln
s
x
x
0 ydy
x
s x e0 ydy
xt
从而,t px
s
xt sx
0
y dy
e e x
xt
x
y dy
e 0 ydy
q k1 x k qx k px p k1 x
剩余寿命的期望与方差
期望剩余寿命:(x) 剩余寿命的期望值(均值),简

o
ex o
ex
E(T (x))
tfT
0
t dt
t(
0
sx t s x )dt
0
t(
t
px
)dt
t
t
px
0
0
t
px dt
t t px
0
0 t px dt
2-3
.00065 98648 64
98617
剩余寿命 总数
Tx
期初存活者平 均剩余寿命
ex
7387758 7387485 7385850
73.88 74.22 74.38
7387758 7288785 7190091
73.88 73.82 72.89
例3.1:
已知
lx
10000(1 x ) 100
78 .0357 .0508 .0641 .0796 .0973 .1121 83
1.给出生存函数s x ex2 2500 ,求:(1)人在50岁至
60岁之间死亡的概率;(2)50岁的人在60岁以前死 亡的概率;(3)人能活到70岁的概率;(4)50岁 的人能活到70岁的概率。
1 Pr(50 X 60)
生命表的特点
构造原理简单、数据准确(大样本场合)、不依赖总体分布 假定(非参数方法)
生命表的构造
原理
在大数定理的基础上,用观察数据计算各年龄人 群的生存概率。(用频数估计频率)
常用符号 新生生命组个体数:l0
年龄:x 极限年龄:
生命表的构造
l0个新生生命能生存到年龄X的期望个数:lx
计算下面各值: (1)d30,20 p30,30 q30,10 q30
(2)20岁的人在50~55岁死亡的概率。
(3)该人群平均寿命。
例3.1答案
1、d30 l30 l31 100
p 20 30
l50 l30
5/7
q 30 30
l30 l60 l30
3/ 7
q 10 30
l40 l41 l30
第三章
生命表函数与生命表构造
本章重点
生命表函数
生存函数 剩余寿命 死亡效力
生命表的构造
有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表
有关分数年龄的三种假定
第一节 生命表函数
分布函数
一个人的寿命从出生到死亡的时间长度, 是无法事先确定的,在概率上称之为随 机变量,记为X。是连续型随机变量。
表示x岁的人在x t岁仍活着的概率。
特别:
x p0 s(x)
剩余寿命
px :x岁的人至少能活到x+1岁的概率
px 1 px
qx :x岁的人将在1年内去世的概率
qx 1qx
t u qx:X岁的人活过t年后在往后u年内去
世的概率即在x+t岁到x+t+u岁之间死 亡的概率。
t u qx Pr t T x t u Pr[T x t u] Pr T x t

期初生 存数
lx
期间死亡 数
t dx
在年龄区间 共存活年数
t Lx
0-1
.00463 100000 463
273
1-7
.00246 99537 245
1635
7-28 .00139 99292 138
5708

0-1
.01260 10000 1260
98973
1-2
.00093 98740 92
98694
1 px 2 px 3 px
p k1 x k 0
整值剩余寿命的期望与方差
整值剩余寿命的方差
Var(K (x)) E(K 2 ) E2 (K ) (2k 1) k1 px ex2 k 0
死亡效力
定义:(x) 的瞬时死亡率,简记 x
x
s(x) s(x)
f (x) s(x)
=s 50 s 60
e 1
36
e 25
0.3679 0.2369 0.1310
2
q 10 50
s 50
s 50 s 50
10
e 1
36
e 25
e 1
0.37 0.24 0.37
0.35
3 Pr X
70
s 70
49
e 25
0.14086
4
20
p50
s 50 20 s 50
有关寿命分布的参数模型
Makeham模型(1860)
x A Bcx
s(x) exp{Ax B(cx 1) / ln c} , B 0,A -B,c 1,x 0 Weibull模型(1939)
x kxn
s(x) exp{kxn1 /(n 1)} , k 0, n 0, x 0
相关主题