m
i(m) m
1 Y a i( m ) m L1 m
i ( m) ( L1) 1 (1 ) 1 1 m Y a i( m ) d ( m) m L1 m m m i ( m) ( L1) i ( m) ( L1) 1 (1 ) 1 E(1 ) ( m) 1 A m m x EY E d ( m) d ( m) d ( m)
§3.4 每年给付数次的年金
1 终身生存年金 模型：（x）,终身生存年金，每年支付m次，期初支付， 每次支付1/m. 精算现值： a( m)
x k 1 m v k px k 0 m m
给付现值随机变量：
(m)
视1/m段为一年，L表示活过的整1/m段数，实际利率为 ， 实际贴现率为 d ，于是考虑每次付款额为1/m的年金
l21 50000 9 E12 50000 v 9 p12 50000(1 0.06) l12
9 9
983226 50000(1 0.06) 988427 29439.20(元)
9
例3.2 使用生命表确定在i=6%下30岁人缴纳的5000元 在65岁的精算积累值。 解：
几种年金形式的精算现值 1. 终身生存年金 ax 模型假设： (x)购买终身生存年金，连续给付，年支付额1元 总额支付法考虑其精算现值： 设余命 T , 未来给付的现值随机变量 Y，则
Y aT

1 vT

0
ax EY EaT at fT (t )dt at t px x t dt
3. 生存年金精算现值的概念：
A 1 v n n px
x:n
定义精算现值因子：
n E v n x n px
注意： 精算现值因子与趸缴纯保费 1 精算积累因子 1
n
Ex

v n n px
例3.1 某人遗嘱中记录，其儿子年满21岁时可获得 其5万元遗产。若其子现年12岁，利用附录中生命 表计算其儿子所得遗产的精算现值（i=6%）。 解：
iax 1 (1 i) Ax
Ax vax ax
2 其他期末付年金形式
ax:n| v k k px ax:n| 1 v n n px
k 1 n
ax:n 1 ax:n1 Ax:n vax:n ax:n 1
险种
m
延期m年期末付 终身生存年金
每个保单年度初给付年金 给付现值随机变量：
Y aK 1|
1 v 1 v v ... v d
2 K
K 1
总额支付法中对上式求期望即得精算现值 ax
两种方法下的精算现值：
现时支付法：
ax v k k px
k 0

总额支付法:
1 v k 1 ax E (Y ) E (aK 1 ) ak 1 k qx k px qx k d k 0 k 0
ax v
k 1

k k
px v
k 0

k k
px 1 ax 1
总额支付法：
Y aK ax E (Y ) E (aK )

精算现值与趸缴纯保费的关系：
1 Ax 1 Ax d ax ax 1 1 d d 1 iv Ax 1 (1 i ) Ax iv i

2 n年定期生存年金

模型假定：(x)购买了期初付n 年定期生存年金，
每个保单年度初给付年金1元

年金给付的现值随机变量：
1 v K 1 aK 1| , K 0,1, 2,..., n 1 d Y n a 1 v , K n, n 1,...... n| d
ax： E (Y ) at t px x t dt an n px n
ax:n v t px dt
t 0
n
3. 延期年金 延期h年终身生存年金
h|
ax v t px dt ax ax:h h Ex ax h
t h hn

延期h年n年定期年金
(1)
0 t t
px fT (t )dt 0.015e0.015 s ds (e0.015 s ) |t e 0.015t
t t 0.05t 0.015t 0


ax v t px dt e
e
dt e 0.065t dt 15.384615 15.38
1

2 2 [ A ( A ) ] 2 x:n x:n
延期h年终身生存年金：
T h 0, Y h| aT h T h
EY (v at h ) t px xt dt v
2 h 2 h

2h
2 p ( a ) h x s px h x h s ds s 0
1 Z 1 Var[Y ] Var 2 Var[ Z ] d d
2
Ax:n| ( Ax:n| )2 d
2
延期付生存年金：
1 a ( Ax:m Ax ) m x d
1 a ( Ax:m Ax:m n ) mn x d
期末付年金的精算现值 1 期末付终身生存年金 ax 在每个保单年度末给付1元，直至终身死亡。 现时支付法：
0
现时支付法考虑其精算现值：
(x)生存至t的概率为
t
px
t
考虑到计算时间[t,t+dt)所支付的当期年金的现值
v dt
按可能支付的时间积分，得到期望年金现值
ax v t px dt
t 0

2. n年定期生存年金 ax:n
aT Y an
n 0
,0 T n ,T n
1 ax Ax
1 vT 1 Z 1 ax E (aT ) E ( ) E( ) (1 Ax )



类似地，有
1 ax:n Ax： n Ax： h|ax Ax h Ax： h|ax:n Ax:h n h
2. 方差 终身年金：
0

1 e0.05T (2) Pr(ax aT ) Pr( 15.38) Pr(T 29.31) 0.05
29.31 0
0.015e0.015t dt 0.3557
注：只有一张保单时，以期望值建立基金，保证支付概率偏低。
年金精算现值与寿险趸缴纯保费的关系 1. 关系（以终身生存年金为例）
Y 1 Z

1 Z 1 Var (Y ) Var ( ) 2 Var ( Z ) Var (aT ) 1
n年期生存年金：
1 Z 1 Var (Y ) Var ( ) 2 Var ( Z )

2 2 [ A ( A ) x: x: ] 2


Var (Y )
A 其中，
(m) x

i i
(m)
Ax
( m) ( m) 1 d ( m) ax Ax
( m) 两类年金精算现值关系 ax 与ax
i ( m) Ax ( m ) Ax i 1 da A d ( m) a ( m) A( m ) x x x x
由上两式，可得
第三章 年金精算现值 本章内容：
生存年金概念和种类 连续给付型生存年金
离散给付型生存年金
每年给付数次的年金 利用换算函数计算年金精算现值
§3.1 生存年金的概念和种类
1. 生存年金的概念： 以某人生存为条件，按约定金额多次给付的 保险形式。 2. 种类：
按缴费方式，趸缴与年缴 被保险人数，个人年金与联合年金 给付额度，定额年金与变额年金 开始日期，即付与延期付年金 有效期，终身与定期
1 35 l30 5000 5000 1.06 l65 35 E30 976611 5000 1.06 818335 45863.35(元)
35
§3.2 连续给付型生存年金
连续型生存年金： 在保障期间，以被保险人存活为条件，连续支付 年金的保险形式。 类型： 终身年金 定期年金 延期年金
h|
ax:n
h
v t px dt ax:hn ax:h h Ex ax h:n
t
例3.3 设随机变量T的概率密度函数为 利力为0.05，求 （1） ax （2） a 基金足够用于实际支付年金的概率。
x
f (t ) 0.015e0.015t ,(t 0),
解：
(m) ax
id i i(m) ( m ) ( m ) ax ( m ) ( m ) i d i d
( m)
( m)
(m) ax ( m) a x ( m)
( m) 精确公式：ax (m)ax (m)
m 1 i很小时 (m) 1, (m) ，因此有 2m 近似公式 m 1 (m) ax ax 2m
对上述近似公式的说明：根据下面提示得到
精算 现值
年金的精算积累值
ax:n
sx:n ax:n
n
sx:n
Ex
lx n sx:n (1 i)n lx ax:n
sx:n ax:n
n 1
1 1 n Ex n Ex
Ex k Ex k 0 k 0 n Ex
k
n 1
n 1
n 1 1 n k lx k (1 i ) lx n k 0 n k Ex k k 0
n年定期生存年金的精算现值 ax:n|