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初中数学中的折叠问题

. .初中数学中的折叠问题对于折叠问题,我们要明白:1、折叠问题(翻折变换)实质上就是轴对称变换.2、折叠是一种对称变换,它属于轴对称.对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠,在画图时,画出折叠前后的图形,这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系.4、在矩形(纸片)折叠问题中,重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角,设要求的线段长为x,然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求解.一、矩形中的折叠1.将一长方形纸片按如图的方式折叠,其中BC,BD为折痕,折叠后BG和BH在同一条直线上,∠CBD= 度.BC、BD是折痕,所以有∠ABC = ∠GBC,∠EBD = ∠HBD则∠CBD = 90°折叠前后的对应角相等2.如图所示,一矩形纸片沿BC折叠,顶点A落在点A′处,再过点A′折叠使折痕DE∥BC,若AB=4,AC=3,则△ADE的面积是.沿BC折叠,顶点落在点A’处,根据对称的性质得到BC垂直平分AA’,即AF =12AA’,又DE∥BC,得到△ABC ∽△ADE,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积 = 24对称轴垂直平分对应点的连线3.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,得折痕DG,求AG的长.由勾股定理可得BD = 5,由对称的性质得△ADG ≌△A’DG,由A’D = AD = 3,AG’ = AG,则A’B = 5 – 3 A'CD= 2,在Rt △A ’BG 中根据勾股定理,列方程可以求出AG 的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角,再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4.把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠,使得BA 边与BC 重合,然后再沿着BF 折叠,使得折痕BE 也与BC 边重合,展开后如图所示,则∠DFB 等于( )根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE ,∠EBF=∠CBF ,据此即可求出∠FBC 的度数,又知道∠C=90°,根据三角形外角的定义即可求出∠DFB = 112.5°注意折叠前后角的对应关系5.如图,沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠,点C 落在点E 的位置,已知BC=8cm ,AB=6cm ,求折叠后重合部分的面积. ∵点C 与点E 关于直线BD 对称,∴∠1 = ∠2 ∵AD ∥BC ,∴∠1 = ∠3∴∠2 = ∠3 ∴FB = FD设FD = x ,则FB = x ,FA = 8 – x在Rt △BAF 中,BA 2 + AF 2 = BF 2∴62 + (8 - x)2 = x 2解得x = 254所以,阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754cm2重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6.将一矩形纸条ABCD 按如图所示折叠,若折叠角∠FEC=64°,则∠1= 度;△EFG 的形状 三角形.∵四边形CDFE 与四边形C ’D ’FE 关于直线EF 对称∴∠2 = ∠3 = 64°∴∠4 = 180° - 2 × 64° = 52° ∵AD ∥BC∴∠1 = ∠4 = 52° ∠2 = ∠5 又∵∠2 = ∠3 ∴∠3 = ∠5 ∴GE = GF321F E D C B A54132G D‘FC‘DBCAE∴△EFG 是等腰三角形对折前后图形的位置变化,但形状、大小不变,注意一般情况下要画出对折前后的图形,便于寻找对折前后图形之间的关系,注意以折痕为底边的等腰△GEF7.如图,将矩形纸片ABCD 按如下的顺序进行折叠:对折,展平,得折痕EF (如图①);延CG 折叠,使点B 落在EF 上的点B ′处,(如图②);展平,得折痕GC (如图③);沿GH 折叠,使点C 落在DH 上的点C ′处,(如图④);沿GC ′折叠(如图⑤);展平,得折痕GC ′,GH (如图 ⑥).(1)求图 ②中∠BCB ′的大小;(2)图⑥中的△GCC ′是正三角形吗?请说明理由.(1)由对称的性质可知:B ’C=BC ,然后在Rt △B ′FC 中,求得cos ∠B ’CF= 12 ,利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB ’= 60°;(2)首先根据题意得:GC 平分∠BCB ’,即可求得∠GCC ’= 60°,然后由对称的性质知:GH 是线段CC ’的对称轴,可得GC ’= GC ,即可得△GCC ’是正三角形.理清在每一个折叠过程中的变与不变8.如图,正方形纸片ABCD 的边长为8,将其沿EF 折叠,则图中①②③④四个三角形的周长之和为四边形BCFE 与四边形B ′C ′FE 关于直线EF 对称,则①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD 的周长折叠前后对应边相等9.如图,将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠,使点B 落在边AD 的中点G 处,求四边形BCFE 的面积设AE = x ,则BE = GE = 4 - x , 在Rt △AEG 中,根据勾股定理有:AE 2 + AG 2 = GE 2即:x 2 + 4 = (4 - x)2解得x = 1.5,BE = EG = 4 – 1.5 = 2.5 ∵∠1 + ∠2 = 90°,∠2 + ∠3 = 90°∴∠1 = ∠3又∵∠A = ∠D = 90° ∴△AEG ∽ △DGP ∴AE DG = EG GP ,则1.52 = 2.5GP ,解得GP = 103 PH = GH – GP = 4 - 103 = 23∵∠3 = ∠4,tan ∠3 = tan ∠1 = 34∴tan ∠4 = 34 ,FH PH = 34 ,FH = 34 ×PH = 34 ×23 = 12∴CF = FH = 12∴S 梯形BCFE = 12 (12 + 52)×4 = 6注意折叠过程中的变与不变,图形的形状和大小不变,对应边与对应角相等 10.如图,将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在边AD 上 不与A 、D 重合.MN 为折痕,折叠后B ’C ’与DN 交于P .(1)连接BB ’,那么BB ’与MN 的长度相等吗?为什么? (2)设BM=y ,AB ’=x ,求y 与x 的函数关系式;(3)猜想当B 点落在什么位置上时,折叠起来的梯形MNC ’B ’面积最小?并验证你的猜想.(1)BB ’ = MN过点N 作NH ∥BC 交AB 于点H ),证△ABB ’ ≌ △HNM(2)MB ’ = MB = y ,AM = 1 – y ,AB ’ = x 在Rt △ABB ’中BB ’ = AB 2 + AB'2 = 1 + x 2因为点B 与点B ’关于MN 对称,所以BQ = B ’Q ,则BQ = 12 1 + x 2由△BMQ ∽△BB ’A 得 BM ×BA = BQ ×BB ’∴ y = 12 1 + x 2 × 1 + x 2 = 12(1 + x 2)(3) 梯形MNC ′B ′的面积与梯形MNCB 的面积相等由(1)可知,HM = AB ’ = x ,BH = BM – HM = y – x ,则CN = y - x ∴梯形MNCB 的面积为: 12 (y – x + y) ×1 = 12 (2y - x) = 12 (2×12(1 + x 2) – x) P C'NBCA DM B'QPH C'N BCADM B'= 12 (x - 12 )2 + 38当x = 12 时,即B 点落在AD 的中点时,梯形MNC ’B ’的面积有最小值,且最小值是38二、纸片中的折叠11.如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α的度数等于( )∵∠α = ∠1,∠2 = ∠1∴∠α = ∠2∴2∠α+∠ABE=180°, 即2∠α+30°=180°, 解得∠α=75°.题考查的是平行线的性质,同位角相等,及对称的性质,折叠的角与其对应角相等,和平角为180度的性质,注意△EAB 是以折痕AB 为底的等腰三角形12.如图,将一宽为2cm 的纸条,沿BC ,使∠CAB=45°,则后重合部分的面积为作CD ⊥AB ,∵CE ∥AB ,∴∠1=∠2,根据翻折不变性,∠1=∠BCA , 故∠2=∠BCA .∴AB=AC .又∵∠CAB=45°,∴在Rt △ADC 中,AC = 2 2 ,AB = 2 2S △ABC = 12AB ×CD = 2 2在折叠问题中,一般要注意折叠前后图形之间的联系,将图形补充完整,对于矩形(纸片)折叠,折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构,即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13.将宽2cm 的长方形纸条成如图所示的形状,那么折痕PQ 的长是a 2130°B E F AC D如图,作QH ⊥PA ,垂足为H ,则QH=2cm , 由平行线的性质,得∠DPA=∠PAQ=60° 由折叠的性质,得∠DPA =∠PAQ , ∴∠APQ=60°,又∵∠PAQ=∠APQ=60°, ∴△APQ 为等边三角形, 在Rt △PQH 中,sin ∠HPQ = HQPQ∴32 = 2PQ ,则PQ = 433注意掌握折叠前后图形的对应关系.在矩形(纸片)折叠问题中,会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形,即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14.如图a 是长方形纸带,∠DEF=20°,将纸带沿EF 折叠成图b ,再沿BF 折叠成图c ,则图c 中的∠CFE 的度数是( )图c 图b图aCDGFEAC GDFEAFDBCAEBB∵AD ∥BC ,∴∠DEF=∠EFB=20°,在图b 中,GE = GF ,∠GFC=180°-2∠EFG=140°, 在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°,本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变.由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°,图c 中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15.将一长为70 cm 的长方形纸片ABCD ,沿对称轴EF 折叠成如图的形状,若折叠后,AB 与CD 间的距离为60cm ,则原纸片的宽AB 是( )设AB=xcm.右图中,AF = CE = 35,EF = x根据轴对称图形的性质,得AE=CF=35-x(cm).则有2(35-x)+x=60,x=10.16.一根30cm、宽3cm的长方形纸条,将其按照图示的过程折叠(阴影部分表示纸条的反面),为了美观,希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等,则最初折叠时,求MA的长将折叠这条展开如图,根据折叠的性质可知,两个梯形的上底等于纸条宽,即3cm,下底等于纸条宽的2倍,即6cm,两个三角形都为等腰直角三角形,斜边为纸条宽的2倍,即6cm,故超出点P的长度为(30-15)÷2=7.5,AM=7.5+6=13.5三、三角形中的折叠17.如图,把Rt△ABC(∠C=90°),使A,B两点重合,得到折痕ED,再沿BE折叠,C点恰好与D点重合,则CE:AE=GEFDAEFDB CABC60cm18.在△ABC 中,已知AB=2a ,∠A=30°,CD 是AB 边的中线,若将△ABC 沿CD 对折起来,折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14 .(1)当中线CD 等于a 时,重叠部分的面积等于 ;(2)有如下结论(不在“CD 等于a ”的限制条件下):①AC 边的长可以等于a ;②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2;③折叠后,以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等.其中, 结论正确(把你认为正确结论的代号都填上,若认为都不正确填“无”). (1)∵CD = 12 AB∴∠ACB = 90°∵AB = 2a ,BC = a ,∴AC = 3a ∴S △ABC = 12 ×AC ×BC = 32a 2∴重叠部分的面积为:14×32a 2 = 38a 2(2)若AC = a ,如右图∵AD = a ,∴∠2 = 180°- 30°2 = 75°∠BDC = 180°- 75°= 105° ∴∠B'DC = 105°∴∠3 = 105°- 75°= 30° ∴∠1 = ∠3 ∴AC ∥B'D∴四边形AB'DC 是平行四边形∴重叠部分△CDE 的面积等于△ABC的面积的14若折叠前△ABC 的面积等于32a 2 过点C 作CH ⊥AB 于点H ,则 12 ×AB ×CH = 32a 2 CH =32a 又tan ∠1 = CHAHB'CDAB231EB'CDBA24EB 2C∴AH = 32a∴BH = 12a则tan ∠B = CHBH ,得∠B = 60°∴△CBD 是等边三角形 ∴∠2 = ∠4∴∠3 = ∠4,AD ∥CB 2又CB 2 = BC = BD = a ,∴CB 2 = AD ∴四边形ADCB 2是平行四边形则重叠部分△CDE 的面积是△ABC 面积的14(3)如右图,由对称的性质得,∠3 = ∠4,DA = DB 3 ∴∠1 = ∠2又∵∠3 + ∠4 = ∠1 +∠2 ∴∠4 = ∠1 ∴AB 3∥CD注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图,折叠前后图形之间的对比,找出相等的对应角和对应边19.在△ABC 中,已知∠A=80°,∠C=30°,现把△CDE 沿DE 进行不同的折叠得△C ′DE ,对折叠后产生的夹角进行探究:(1)如图(1)把△CDE 沿DE 折叠在四边形ADEB ,则求∠1+∠2的和; (2)如图(2)把△CDE 沿DE 折叠覆盖∠A ,则求∠1+∠2的和;(3)如图(3)把△CDE 沿DE 斜向上折叠,探求∠1、∠2、∠C 的关系.(1)根据折叠前后的图象全等可知,∠1=180°-2∠CDE ,∠2=180°-2∠CED ,再根据三角形角和定理比可求出答案;(2)连接DG ,将∠ADG+∠AGD 作为一个整体,根据三角形角和定理来求;(3)将∠2看作180°-2∠CED ,∠1看作2∠CDE-180°,再根据三角形角和定理来求. 解:(1)如图(1)∠1+∠2=180°- 2∠CDE +180°- 2∠CED3412B 3DA BC A=360°- 2(∠CDE+∠CED ) =360°-2(180°- ∠C ) =2∠C =60°;(2)如图(2) 连接DG ,∠1+∠2=180°- ∠C ′-(∠ADG +∠AGD ) =180°-30°-(180°-80°) =50°;(3)如图(3)∠2-∠1=180°- 2∠CED -(2∠CDE - 180°) =360°- 2(∠CDE + ∠CED ) =360°- 2(180°- ∠C ) =2∠C所以:∠2 - ∠1=2∠C .由于等腰三角形是轴对称图形,所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形20.观察与发现:将三角形纸片ABC (AB >AC )沿过点A 的直线折叠,使得AC 落在AB 边上,折痕为AD ,展开纸片(如图①);在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片,使点A 和点D 重合,折痕为EF ,展平纸片后得到△AEF (如图②).小明认为△AEF 是等腰三角形,你同意吗?请说明理由. 实践与运用:(1)将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠,使点A 落在BC 边上的点F 处,折痕为BE (如图③);再沿过点E 的直线折叠,使点D 落在BE 上的点D ’处,折痕为EG (如图④);再展平纸片(如图⑤).求图⑤中∠α的大小.12图(3)C'ABCDE21图(2)GC'A BCDE在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线,则AD⊥EF∴∠AEF = ∠AFE∴△AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠FEB,∠DEG = ∠BEG而∠BEG = 45°+ ∠α因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°所以 45°+ 2(45°+∠α)= 180°∠α = 22.5°由于角平分线所在的直线是角的对称轴,所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。

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