利用叠加原理可得原定解问题的解为
(1) (1) (1) a μn a μn μn u( r , t ) = C 0 + D0 t + ∑ (C n cos t + Dn sin t )J 0 ( r) R R R n =1 ∞
代入条件 u |t = 0 = 0, ut |t = 0
r2 = 1
R2
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本节我们举例说明,用贝塞尔函数求解定解问题的 全过程.
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设有半径为 1 的薄均匀圆盘,边界上温度为零摄 氏度,初始时刻圆盘内温度分布为 1 r 2 ,其中 r 是圆盘内 任一点的极半径,求圆内温度分布规律. 由于是在圆域内求解问题,故采用极坐标系较为方 便,并考虑到定解条件与θ无关,所以温度u只能是r,t的函 数,于是根据问题的要求,即可归结为求解下列定解问题: ut = a 2 ( urr + 1 ur ), 0 ≤ r < 1, t > 0 r u |r =1 = 0, t > 0 u |t = 0 = 1 r 2 , 0 ≤ r ≤ 1
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当 β = 0 时,由
′′ + rF ′ + λ r 2 F = 0 r F ′ + a 2λT = 0 T u |r = 0 < +∞
2
2
可知, 方程 utt = a ( urr + 1 ur ) 有一个特解
r
u0 ( r , t ) = C 0 + D0 t (C 0 , D0为待定常数 )
∫
R
0
∫ rdr
R
0
r2 1 (1 2 )rdr = R 2
∫
R
0
R2 R 2 2 (1) 2 (1) ′ (1) rJ 0 ( r )dr = J 0 ( μn )J 1 ( μn ) = J 0 ( μn ) R 2 2
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(1) μn
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(1) R μn 2 r2 Dn = (1 2 )rJ 0 ( r )dr (1) 2 (1) ∫0 a μn RJ 0 ( μn ) R R (1) 4 RJ 2 ( μn ) 4R = = (1) 3 2 (1) (1) (1) a ( μ n ) J 0 ( μ n ) a ( μ n )3 J 0 ( μ n )
(0) n 2 (0) 1 n
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因此所求定解问题的解为
(0) ( 4J 2 ( μn ) a 2 ( μn0 ) )2 t (0) u( r , t ) = ∑ (0) 2 2 (0) J 0 ( μn r )e n =1 ( μ n ) J 1 ( μ n ) ∞
F ( r ) = C1 J 0 ( β r ) + C 2 N 0 ( β r ) T ( t ) = C 3 cos a β t + C 4 sin a β t
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根据已知条件可知 C 2 = 0 ,即
F ( r ) = C1 J 0 ( β r )
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1 rJ ( μ (0) r )dr 1 r 3 J ( μ (0) r )dr = 2 (0) ∫ 0 n ∫0 0 n J 1 ( μn ) 0 2
(0) (0) (0) (0) (0) ∵ d[( μn r )J 1 ( μn r )] = ( μn r )[ J 0 ( μn r )d( μn r )]
1. 在一定条件下函数 f (r) 展开成如下形式的绝对且一 致收敛的级数； 2. 例题
利用关于特征函数系的完全(备)性可知,任意在[0,R] 上具有一阶连续导数及分段连续的二阶导数的函数 f (r) ,只要它在 r = 0 处有界,在 r = R 处等于零,则它必能 展开成如下形式的绝对且一致收敛的级数
R′′ +
1 R′ r = λ R
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r 2 R′′ + rR′ + λ r 2 R = 0 T ′ + a 2λT = 0
方程 T ′ + a 2 λ T = 0 的解为
a 2λ t
T ( t ) = Ce
因为 t → +∞时，u → 0,所以λ只能大于零,令 λ = β 2 ,则
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此外还有物理条件: | u |< ∞, 且当t → +∞时, u → 0
ut = a ( urr + 1 ur ) r
2
令 u( r , t ) = R( r )T ( t )
1 R′ )T , r
RT ′ = a 2 ( R′′ +
或
T′ = 2 aT
f ( r ) = ∑ An Jυ (ω n r )
n =1 ∞
∫
即
R
0
rf ( r )Jυ (ω n r )dr = An ∫ rJυ 2 (ω n r )dr
R 0
An =
1 Jυ (ω n r )
2
∫
R
0
rf ( r )Jυ (ω n r )dr
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(1) (1) a μn a μn Tn ( t ) = C n cos t + Dn sin t R R
即 utt = a 2 ( urr + 1 ur ) 有特解
r
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(1) (1) (1) a μn a μn μn un ( r , t ) = (C n cos t + Dn sin t )J 0 ( r) R R R 其中 C n , Dn是待定常数, n = 1,2,… .
即
(0) rJ 1 ( μn r ) (0) d = rJ 0 ( μn r )dr (0) μn
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∫
另外
1
1 0
( rJ 0 ( μ n0) r )dr =
rJ 1 ( μ r )
μ
( 0) n ( 0) n
1
=
0
( J 1 ( μ n0) ) ( μ n0)
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C0 + ∑ Cn J 0 (
n =1
∞
(1) μn
(1) μn a r2 (1) D0 + ∑ Dn μn J 0 ( r) = 1 2 R n =1 R R C 0 = 0( n = 0,1, 2, ...)
∞
R
r) = 0
(a)
D0 =
1
(1) 由(a)并利用下面的结果:如果 μn 是 J 1 ( x )的正零点,
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当β=
(1) μn
R
( n = 1, 2, ...) 时,由方程
F ( r ) = C1 J 0 ( β r ) T ( t ) = C 3 cos a β t + C 4 sin a β t
Fn ( r ) = J 0 (
(1) μn
得
R
r)
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= =
J1 ( μ )
μ
(0) n (0) n
2
(0) ( μ n )2
1 (0) r 2 J 2 ( μn r ) 0
(0) J 1 ( μn ) (0) μn
(0) 2J 2 ( μn ) , (0) 2 ( μn )
4J 2 ( μ ) C n = (0) 2 ( μn ) J ( μ )
(0) 其中 μn 是 J 0 ( r ) 的正零点.
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求下列定解问题的解: u = a 2 ( u + 1 u ), 0 < r < R, t > 0 rr r r tt ur |r = R = 0, u |r = 0 < +∞ , t > 0 r2 2 ,0 ≤ r ≤ R u |t = 0 = 0, ut |t = 0 = 1 R 用分离变量法来解,令 u( r , t ) = F ( r )T ( t ) ,采用例1中 类似的运算,可得
(0) rJ 1 ( μn r ) (0) r 3 J 0 ( μn r )dr = ∫ r 2d (0) ∫0 0 μn 1
=
r J (μ r )
3 (0) n 1 (0) n
1
μ
0
2
(0) μn
∫
1
0
(0) r 2 J 1 ( μn r )dr
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且
C1 β ≠ 0
′ F ′( R ) = C 1 β J 0 ( β R ) = 0
′ J 0 ( β R) = 0 d J 0 ( x ) = J 1 ( x ) 可得 利用贝塞尔函数的递推公式 dx J1 ( β R) = 0
J 1 (0) = 0
(1) β = 0及β R = μn ( n = 1, 2, ...)
最后得到定解问题的解为
(1) (1) a μn μn 1 t 4R ∞ u( r , t ) = ∑ ( μ (1) )3 J ( μ (1) ) sin R tJ 0 ( R r ) 2 a n =1 n 0 n
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