D C
D C
b
A
特殊化
a
B
A B
探索：ABCD
2 2 2 2 中，该关系 AC DB 2( AB AD ) 是否依然成 2 2 2 2 立？ 即证 AC DB 2 AB AD
一般化
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 已知：平行四边形ABCD。 D AB 2 BC 2 CD2 DA2 AC 2 BD2 求证： 分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 AB a, AD b 其它线段对应向 A 量用它们表示。
0
1 1 1 所以 AR AC ,同理TC AC , 于是 RT AC 3 3 3
1 解得：n= m = 3
故AT=RT=TC
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 问题；常设基底向量或建立向量坐标。 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
120º O
a +b +c = a +（b +c）=a +OD
又由三角形的知识知：三角形OBD B 为等边三角形，故 a与OD共线且模相等
b
c
C D
所以：OD = -a ，即有：
a+ b+ c =0
例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行 包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越 小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？ 分析：上述的问题跟如图所示 的是同个问题，抽象为数学模 型如下： 用向量F1，F2，表示两个提力， 它们的合向量为F，物体的重力 用向量G来表示， F1，F2的夹 角为θ，如右图所示，只要分清 F，G和θ三者的关系，就得到 了问题得数学解释！ F1 θ F
=3
F2
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四 边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识， 可以知道： G F1 = （ *） θ 2cos 2 F 通过上面的式子，有：当θ由0º 到180º 逐渐变 θ θ cos 大时， 由0º 到90º 逐渐变大， 2 的值由大逐 2 渐变小，因此 ： F1 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！ 探究：
解：由题意知：V = V + V V合的方向 合 船 水 V船 其方向为临界方向 PQ ，设 V合 和 V水 夹角为 θ P θ，则最小划速为： v船 = v水 sinθ V水 sinθ =
d
2
d l
2
=
3 60 2 80 2 5
60
所以：最小的船速应为： v船 = 5 ×
3 sinθ =5 × 5
Q
θ 瀑 布
l
Q，
分析：用向量来分别表示河流的水流速度、船速 和它们的合速度为 V 、 V 和 V ，由题意， 船 合 船的实际速度为向量 水
θ
Q 瀑 布
V合 = V船+ V水 其方向为临界方向 PQ ，船只要朝着这个方向行
驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：
P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
Q
提问:表示划船速度的向量怎样画? 从图上看，哪个速度（向量的模）最小？
F
F2
1
F2 θ cos θ 2
G
（1）θ为何值时， F1 最小，最小值是多少？ G θ 答：在（*）式中，当θ =0º 时， cos 2 最大， F1 最小且等于 2 （2）F1 能等于 G 吗？为什么？ 答：在（*）中，当 cos θ = 1 即θ=120º 时，F1 = G 2 2
小结： （1）、为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物 理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的 受力平衡，画出相关图形！ （2）、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题， 用向量的有关法则解决问题！ （3）、用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。
2.5平面向量应用举例
1. 向量在几何中的应用
解决的问题：
比如：距离、平行、三点共线、垂直、 夹角等几何问题
2. 向量在物理中的应用
解决的问题：
比如：力、速度等物理问题
2.5.1平面几何的向量方法
例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几 何模型。如图，你能发现平行四边形两条对角 线的长度与两条邻边的长度之间的关系吗？
由于 AR 与AC 共线，故设r n(a b ), n R
又因为 ER与 EB
共线，
D E R F T B C
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
因为 AR AE ER
思考：能否用向量 坐标形式证明？



即 AC CB 0，得 ∠ACB=90°
r2 r2 0
2.5.2向量在物理中的应用
例1：同一平面内，互成120ْ 的三个大小相等的共点 力的合力为零。
证：如图，用a，b，c表示这3个共点力， 且a，b，c互成120°，模相等，按照向 量的加法运算法则，有： a A
例2 如图， ABCD中，点E、F分别 是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别 与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
D F T C

猜想： AR=RT=TC
A
E
R
B
解：设AB a , AD b , AR r , 则 AC a b
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
练习1、证明直径所对的圆周角是直角
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB，即 AC CB 0 。
C
a
b
O
B
解：设 AO a, OC b
则
AC a b, CB a， b 2 2 2 2 AC CB a b . a b a b a b 由此可得：
1 1 所以 r b m(a b ) A 2 2
1 1 因此n(a b ) b m(a b ) 2 2
D E A R
F T
C
B m 1 即( n m )a ( n )b 0 2
n 2
n m 0 由于向量a , b 不共 线， m 1
2 2
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
AB BC CD DA 2( a b )
2 2 2 2
AC BD a b a b
2 2


2

2
2 2 2 2 a 2ab b a 2ab b 2 a b 2 a b ∴ AB 2 BC 2 CD2 DA2 AC 2 BD2 2 2 2 2
练习； （1）如图所示，用两条成120º 的等长的绳子悬挂一 个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是 10N ————。 (2)如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河边P 处，从这里起，在下游l =80m处河流有一处瀑 布，若河水的流速方向由上游指向下游（与河 岸平行），水速大小为5m/s为了使小船能安全 过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时， 划速方向如何？ 60m P 120º