2020 年浙江省“三位一体”自主招生综合测试培优试卷（、填空题（本大题共20小题，共60.0 分）1. 如图，在平面直角坐标系中，点，，连接AB，将沿过点B 的直线折叠，使点A落在x轴上的点处，折痕所在的直线交y 轴正半轴于点对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2 个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点经1 次斜平移后的点的坐标为已知点A 的坐标为如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点为点B，点B关于直线l 的对称点为点若点B 由点A 经n 次斜平移后得到，且点C 12)C，则直线BC 的解析式为2.3.4. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x 轴的垂线交于点，过点作y 轴的垂线交于点，过点作x 轴的垂线交于点，过点作y 轴的垂线交于点，依次进行下去，则点的横坐标为_____ ．实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15 cm，底面的长是30 cm，宽是20cm，容器内的水深为现往容器内放入如图的长方体实心铁块铁块一面平放在容器底面，过顶点A 的三条棱的长分别10cm，10cm，，当铁块的顶部高出水面2cm时，x，y 满足的关系式是____ ．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为，点Q 的坐标为，且，，若P 、Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P、Q 的“相关矩形” 图为点P、Q 的“相关矩形”的示意图．现在已知点A 的坐标为，若点C在直线上，若点A，C 的“相关矩形”为正方形，则直线AC 的表达式为 _____________ ．5.6.的坐标为，则点B 的坐标为_________ 及n 的值为____ ．用m 根火柴可以拼成如图1所示的x 个正方形，还可以拼成如图2 所示的 2y 个正方形，那么用含 x 的代数式表示 y ，得 __ ．7. 若 y 是关于 x 的一次函数，当 x 的值减小 1， y 的值就减小 2，则当 x 的值增加 2 时， y 的值增加8. 已知 x 满足 ，函数 ， ，对任意一个 x ，对应的 ， 中的较小值记作 m ，则 m 的最大值是 _____ ．已知梯形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 ， ， ， ，直线将梯形分成面积相等的两部分，则 k 的值为 ．已知直线 ， ， 的图象如图所示，若无论 x 取何值， y 总取 ， ， 中的最小值，则 y 的最大值为 _____ ．11. 在平面直角坐标系中，有 ， 两点，现另取一点 ，当 _______________________________ 时，的值最小．12. 对于点 ， ，定义一种运算： 例如， ，， ，若互不重合的四点 ， E ， F ，满足13. 如图，直线 与两坐标轴交 A 、B 两点，点 P 为线段 OA 上的动点，连接 BP ，过点 A 作 AM 垂直于直线 BP ，垂足为 M ，当点 P 从点O 运动到点 A 时，则点 M 运动路径的长为 ________________14. 已知直线 为正整数 与坐标轴围成的三角形的面积为 ，则_____ ．15. 正方形 ， ， ， 按如图的方式放置．点 ， ， ， 和 点 ， ， ， 分别在直线 和 x 轴上，则点的坐标是 _______________________________________________________________ ．9. 10则 C ，D ，E ，F 四点都在直线 ______ 上．16 .17 .18 . 对于一次函数，当时，，则一次函数的解析式为_________________________________ ．如图，在直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，C为OB的中点，点D P作于H，Q是点在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点B 关于点A 的对称点，则如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，C 为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转至线段PD，过点D 作直线轴，垂足为B，直线AB 与直线交于点A，且，连接CD ，直线CD 与直线交于点Q，则点Q 的坐标为 ____ ．19. 对于平面直角坐标系中任意两点、，称为、两点的直角距离，记作：若是一定点，是直线上的一动点，称的最小值为到直线的直角距离．令，O 为坐标原点．则： _____ ；若到直线的直角距离为6，则 _________________________ ．20. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点，我们把点叫做点P 伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，这样依次得到点，，，，，_______________ 若点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为______ ；若点的坐标为，对于任意的正整数n，点均在x 轴上方，则a，b 应满足的条件为_____ ．解析： 解： ， ，，，在 中， ，沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 x 轴上的点 处， ，，，设 ，则 ，在 中，，，解得， 点坐标为 ，设直线 BC 的解析式为，把 、 代入得 ，直线 BC 的解析式为 ．故答案为： ．在 中， ， ，用勾股定理计算出 ，再根据折叠的性质得， ，则 ，设 ，则 ，在 中，根据勾股定理得到 ，解得 ，则 C 点坐标为 ，然后利用待定系数法确定直线 BC 的解析式．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变， 位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和待定系数法求一次函数解析式．2.答案：解析： 解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ，可得1.答案： 答案与解析，在第一象限，点的横坐标为：，故答案为：．根据题意可以发现题目中各点的坐标变化规律，从而可以解答本题．本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出题目中点的横坐标的变化规律．3.答案：或解析：解：当长方体实心铁块的棱长为10cm 和ycm的那一面平放在长方体的容器底面时，则铁块浸在水中的高度为8cm，此时，水位上升了，铁块浸在水中的体积为，，即：，当长方体实心铁块的棱长为10cm和10cm 的那一面平放在长方体的容器底面时，同的方法得，，故答案为：或分两种情况：利用实心铁块浸在水中的体积等于容器中水位增加后的体积减去原来水的体积建立方程求解即可．此题主要考查了从实际问题列一次函数关系式，正确找出相等关系是解本题的关键．4.答案：或解析：解：如图所示，若点C 在直线上，则A，C的“相关矩形” 与x轴平行的边长度为2，设，就有，，当时，直线AC 的表达式为；当时，直线AC 的表达式为；故答案为：或．依据点C 在直线上，即可得到A，C的“相关矩形”与x轴平行的边长度为2，设，就有，可得，进而得到直线AC 的表达式．本题主要考查了正方形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，解题时注意：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．5.答案：4解析：解：连接CM ，，，，，，是直角三角形．延长BC 交x轴于点E，过点C 作于点F，，，，是等腰直角三角形，，，点坐标为，设直线BE 的解析式为，点C，E 在直线上，，点B 由点A 经n 次斜平移得到，点，由，解得，．故答案为：、4．连接CM ，根据中心对称可得：，由轴对称可得：，所以，进而可以证明是直角三角形，延长BC 交x轴于点E，过点C 作于点F，可以证明是等腰直角三角形，可得E 点坐标，进而可求直线BE 的解析式，再根据点B 由点A 经n 次斜平移得到，得点，代入直线解析式即可求得n的值，进而可得点B 的坐标．本题考查了坐标与图形的变化旋转、坐标与图形的变化平移、坐标与图形的变化对称，解决本题的关键是综合运用旋转、平移、对称的知识．6.答案：解析：解：由图1可知：一个正方形有4 条边，两个正方形有条边，，由图2 可知：一组图形有7 条边，两组图形有条边，，所以：即．分别根据图1，求出组装x个正方形用的火柴数量，即m与x之间的关系，再根据图2找到y与m 之间的等量关系，最后利用m相同写出关于x，y的方程，整理即可表示出y与x之间的关系．读懂题意，根据实际意义列出关于两个变量之间的等式是求得函数关系式的关键．本题要注意分别找到x，y 与m之间的相等关系，利用m作为等量关系列方程整理即可表示．7.答案：4解析：解：是关于x 的一次函数，设，当x的值减小1，y 的值就减小2，，即．又，，即，．当x的值增加2 时，，当x的值增加2时，y 的值增加4．故答案为：4．先根据题意列出关于k 的方程，求出k的值即可得出结论．本题考查的是一次函数的性质，先根据题意得出k 的值是解答此题的关键．8.答案：2解析：【分析】本题考查了一次函数的性质，找出当时，m取最大值是解题的关键．令，求出x值，由该值在中即可得知，当时，m 取最大值，将代入即可得出结论．【解答】解：令，则，解得：，当时，．对任意一个x，对应的，中的较小值记作m，且x 满足，的最大值是2．故答案为：2．如图：直线将梯形分成面积相等的两部分，，故答案为：．首先根据题目提供的点的坐标求得梯形的面积，利用直线将梯形分成相等的两部分，求得直线与梯形的边围成的三角形的面积，进而求得其解析式即可．本题考查直线的交点，梯形的面积与三角形的面积公式的应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．10.答案：解析：解：如图，分别求出，，，总取，，中的最小值，的取值为图中红线所描述的部分，则，，中最小值的最大值为 C 点的纵坐标y 始终取三个函数的最小值，y 最大值即求三个函数的公共部分的最大值．此题主要考查了一次函数与一次不等式的综合应用，要先画出函数的图象根据数形结合解题，锻炼了学生数形结合的思想方法．11.答案：解析：解：作点A 关于的对称点，连接交于C，可求出直线的函数解析式为，把C 的坐标代入解析式可得．先作出点 A 关于的对称点 ，再连接 ，求出直线 的函数解析式，再把 代入即可得． 此题主要考查轴对称 --最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．12.答案：为常数 解析： 解： 对于点 ， ， ， 如果设 ， ， ， ，那么 ， ，，， 又，，， 令， 则 ， ， ， 都在直线 为常数 上， 互不重合的四点C ，D ，E ，F 在同一条直线上．故答案为 为常数 ．如果设 ， ， ， ，先根据新定义运算得出，令 ，则可得结果． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．13.答案：点 M 的路径是以 AB 的中点 N 为圆心，AB 长的一半为半径的 连接 ON ，直线 与两坐标轴交 A 、 B 两点，，，，．故答案为：根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得为圆心， AB 长的一半为半径的 ，求出 的长度即可．本题考查了一次函数的综合题，涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹，难点在于根据，判断出点 M 的运动路径是解题的关键， 同学们要注意培养自己解答综合题的能力．解析： 解： 垂直于直线 BP ，，A 、B 两点坐标，由题意可得点 M 的路径是以 AB 的中点 N解得 所以， 所以，故答案为： 令 ， 分别求出与 y 轴、 x 轴的交点，然后利用三角形面积公式列式表示出 ，再利用拆 项法整理求解即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，表示出 ，再利用拆项法写成两个数的差是解题的关 键，也是本题的难点．15.答案：解析： 方法 解： 直线 ， 时， ，，点 的坐标为 ，的纵坐标是的纵坐标是的纵坐标是的纵坐标是即点 的坐标为 据此可以得到 的纵坐标是： ，横坐标是： ． 即点 的坐标为点 的坐标为点 的坐标是： 即 ． 故答案为： ．方法二：，，，，，，，，．14.答案：解析： 解：令，令 ，则 ， ，， 的横坐标是： ， ， 的横坐标是： ， 的横坐标是： ， 的横坐标是： ．首先利用直线的解析式，分别求得，，，的坐标，由此得到一定的规律，据此求出点的坐标，即可得出点的坐标．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．16.答案：或解析：解：对于一次函数，当时，，点、在一次函数的图象上或点、在一次函数的图象上．当点、在一次函数的图象上时，，解得：此时一次函数的解析式为；当、在一次函数的图象上时，，解得：此时一次函数的解析式为．故答案为：或．由一次函数的单调性即可得知点、在一次函数的图象上或点、在一次函数的图象上，根据点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，此题得解．本题考查了一次函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．17.答案：直线分别交x轴，y轴于A，B 两点，，，是OB 的中点，，，四边形PHOC 是矩形，，，四边形PBCH 是平行四边形，，，要使的值最小，只须C、H、Q 三点共线即可，点Q 是点B 关于点A 的对称点，，又点，根据勾股定理可得，此时，，即的最小值为；故答案为：．根据直线先确定OA和OB的长，证明四边形PHOC 是矩形，得，再证明四边形PBCH 是平行四边形，则，在中，是定值，所以只要的值最小就可以，当C、H、Q 在同一直线上时，的值最小，利用平行四边形的性质求出即可．本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强．18.答案：解析：解：过P作轴，交y轴于M，交AB于N，过D作轴，交y轴于H，，，，，，，，在和中≌，，，，设，，，，则，，即．直线，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，则C 的坐标是，设直线CD 的解析式是，把代入得：，即直线CD 的解析式是，即Q 的坐标是，当点C在y轴的负半轴上时，作于N，交y轴于H，此时不满足，故答案为：过P 作轴，交y 轴于M，交AB 于N，过D 作轴，交y 轴于H，，求出，证≌ ，推出，，设，求出，得出，求出，得出D 的坐标，在中，由勾股定理求出，在中，由勾股定理求出，得出C的坐标，设直线CD 的解析式是，把代入求出直线CD 的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．19.答案：；或．解析：解：，O 为坐标原点，．故答案为：5；到直线的直角距离为6，设直线上一点，则，，即，当，时，原式，解得；当，时，原式，解得．故答案为：2 或．【分析】根据题中所给出的两点的直角距离公式即可得出结论；先根据题意得出关于x 的式子，再由绝对值的几何意义即可得出结论．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上给点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．20.答案：；；且解析：解：的坐标为，，，，，依此类推，每4 个点为一个循环组依次循环，余2，点的坐标与的坐标相同，为；点的坐标为，，，，，依此类推，每4 个点为一个循环组依次循环，对于任意的正整数n，点均在x 轴上方，，，，，解得，．故答案，；且．根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2014除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可；再写出点的“伴随点”，然后根据x 轴上方的点的纵坐标大于0 列出不等式组求解即可．本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每 4 个点为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．。