x
解：由 y
x2 2x 1 2
x
1
2 在[1,) 上是增函数，得 f(x)在[1,) 上最小
x
2x
值为 f (1) 7 。 2
例 8、求函数 y x 2x 1 的最小值
3
解 ： 设 y1 x, y2 1 2x ， y1, y2 均 为 减 函 数 ， 所 以 y 也 是 减 函 数 。 又
x4 x4

x x3 1 2x2
x4


1 1
x2 x2
2
x 1 x2
，令

x=tan
2
，则
f(x)=f(θ)= cos2 1 sin 2

sin2


1 2
sin
1



sin

1 4
2

17 16
，
2
1
∴当 sinθ=
时,
2
2 44
5
所以，所求函数最小值为 。
4
注：（1）换元前后的等价性。题中 t 1 2xt 0 ，而不是看解析式有意义的 t 取
值范围；
（2）换元后可操作性。
例4 、
求函数
y
1
x 2x2 x3 1 2x2 x4
x4
的最大值和最小值。
解:
y

1 1
2x2 2x2

解: 作 x2+y2-2x+4y-20=0 的图形 ,它是圆心在 P(1,-2)半径为 5 的圆,依题意有 x2+y2
=2x-4y+20,设 x2+y2=z,则 z=2x-4y+20 即 y 1 20 z ,其图形是斜率为 1 且与已知圆相
24
2
交的一簇平行线,于是求 z 的最值问题就是求这簇平行线中在 y 轴的截距最大或最小问题。
a1x2 b1x c1 a2 x2 b2 x c2
(a2 , a2 不同
是为 0）分子、分母无公因式的函数最值常用此法。
例 2、 求下列函数最值
（1）
y

3x x2 4
；（2）
y

2x2 4x 7 x2

3x x2 4
，得
yx2 3x 4 y 0 。
方程。
xR , 即 上 述 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 有 实 根 ， 所 以 [2( y 2)]2 4( y 2)(3y 7) 0 ，
解得 9 y 2 。又 y 2 ，函数最小值为 9 。
2
2
评注:若在解的过程中经过变形,从而扩大了的取值范围,利用判别式求出的范围后， 应综合函数的定义域,将扩大部分剔除。
4
4
评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围，和对称轴与区间的 相对位置关系。
二、判别式法
主要适用于可化为关于 x 的二次方程的函数, 把函数转化成关于 x 的一元二次方程，
通过方程 F(x,y)=0 有实根，判别式 0 ，当 x 的范围是 R 时,仅考虑 即可,当 X 的范
围非 R 时,还需要结合图形另解不等式。特别的，形如 y
三、 换元法
主要有三角换元和代数换元换两种。用换元法时,要特别关注中间变量的取值范围。
特别的，形如 y ax b cx d (a, b, c, d 均为常数，且 a 0 ）的函数常用此法求解。
例 3、 求函数 y 2x 2x 1 最小值。
解：令 t 1 2x (t 0) ，则 x 1 t 2 ，则 y t 2 t 1 (t 1 )2 5 5 ，
x 1
=1。
七、导数法
设函数 f(x)在[a,b]上连续在(a,b)上可导,则 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值应 为 f(x)在(a,b)内的各极值与 f(a),f(b)中的最大值和最小值。
例 9、
动点 P(x,y)是抛物线 y=x2 -2x-1 上的点,O 为原点, 当 x=2 时， OP2 取
x 时，函数单调减区间 (0, k ] ，单调增区间为[ k ,) ，因其函数图象形如“√”，故称为
对号函数，其分界点为 ( k ,2 k ) 。对于 x<0 情况，可依据函数奇偶性解决；（3）复合
函数的最值，常用此法求解。
x2 2x 1
例 6、求函数 y
2 , x [1,) 的最小值。
当 y=0 时, x=0; 当 y 0 时,由 0 得 3 y 3 , 故原函数最小值为 3 ，最大
4
4
4
1
值为 3 。 4 （2）将已知函数式变形为 yx 2 2 yx 3y 2x 2 4x 7 ,
即 ( y 2)x 2 2( y 2)x 3y 7 0 ，显然 y 2 ，将上式视做关于 x 的一元二次
x2+y2 最小值为 z1 30 10 5 ，最大值为 z2 30 10 5 。
五、函数的单调性法
（1）关于自变量 x 的一次根式，如 y ax b dx c ，用换元法求解,当 ad>0 时， 也可利用单调性求最值；；（2）形如 y x k (k 0) 的函数常考虑利用单调性，当 x>0
得极小值,求 OP2 的最小值。
解: OP2 =x2+y2=x2+( x2-2x-1)2=x4 -4x3+3x2+4x+1，令 f(x)= x4 -4x3 +3x2 +4x+1,
则 f (x) =4x3-12x2+6x+4=4(x-2)(x- 1
3 1
)(x-
3
,
2
2
令 f (x) =0,得
2
4
f(2)=5,故 f(x)的最小值，即 OP2 的最小值为 11 6 3 。 4
5
y x

2x
1
定义域为1 2x

0 ，即
x


1 2
。当
x

1 2
时， ymin


1 2
，故原函
数最小值为 1 。 2
例
7、求函数
y


1
x2 x 9
4
的最小值。
3
解：设 u x2 x 9 ，则 y 1 u 。由 u x 2 x 9 (x 1 )2 2 ，知 当
1
x=2,
3 1
,
3
2
2
4
x

,
1 2
3

1 3 2
1 2
3
,1 2
3
1 3 2
1 2
3
, 2
2
(2,
)
f(x -
)
f(x)

0
+
极小 值

0 极大值
-
0
+
极

小

值
因定义域为 R,故所求最小值为两个极小值中较小的一个,f( 1 3 )= 11 6 3 ，
高中数学解题方法系列：函数求最值问题的 7 种方法
最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛 的应用。最值问题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有：
一、配方法 配方法是求二次函数最值或可转化为二次函数的函数最值的基本方法，形如
F (x) a[ f 2 (x) bf (x) c]的函数最值问题，均可使用配方法。
4
3
4
2
x

1
时，u
为减函数；当
x

1
时,u
为增函数，而
y


1
u
为减函数，故
y


1
x2 x 9
4
2
2
3
3
在 x 1 时为增函数，在 x 1 时为减函数，所以 x 1 时，原函数最小值为
2
2
2
y min

1 2 3
9。
六、不等式法 运用不等式法求最值必须关注三个条件即”一正、二定、三相等”．
f
(x)
17
最大值为
，当 sin=-1
时,
f (x) 最小值为 1 。
4
16
2
四、数形结合法
主要适用于具有几何意义的函数,通过函数的图象求最值。 例 5、 已 知 x2+y2-2x+4y-20=0 求 x2+y2 的最值。
分析:本题已知条件转化为(x-1)2+(y+2)2=25 ,可用三角代换转化为三角函数最值问 题处理,也可借助几何图形数形结合处理。
例
1、 已知
f
(x)

2

log
x 3
,
x

[1,3]
，求函数
y
[
f
( x)]2

f
(x 2 ) 最值。
解
：
由
f (x) 2 log3x , x [1,3]
，
得
y
[ f (x)]2

f
(x2 )

(2

log
x 2
)
2

2

log
x 2
2

(log
x 3
)
2