机密★启用前2018年1月襄阳市普通高中调研统一测试高三数学(理工类)本试题卷共12页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。

考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，将考号对应数字涂黑。

2.选择题作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考生必须保持答题卡的清洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合22{|1}94x yM x=+=，{|1}32x yN y=+=，则M∩N =A．φB．{(3，0)，(2，0)}C．{3，2} D．[3-，3]2.已知i与j为互相垂直的单位向量，2λ=-=+，a i jb i j，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是A．22(2)()33-+∞，，B．1()2+∞，C．1(2)(2)2-∞--，，D．1()2-∞，3.已知倾斜角为θ 的直线l与直线230x y+-=垂直，则cos2θ的值为A．35B．35-C．15D．15-4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四高三数学(理工类)第 1 页(共12页)高三数学(理工类) 第 2 页 (共 12 页)斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间3尺的重量为 A ．9斤B ．9.5斤C ．6斤D ．12斤5. 已知点P (1，2)和圆C ：22220x y kx y k ++++=，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是 A ．R B．(-∞C ．(D ．(0)6. 已知F 1、F 2是双曲线M ：22214y x m-=的焦点，y x =是双曲线M 的一条渐近线，离心率等于34的椭圆E 与双曲线M 的焦点相同，P 是椭圆E 与双曲线M 的一个公共点，设|PF 1|·|PF 2| = n ，则A ．n = 12B ．n = 24C ．n = 36D ．n ≠12且n ≠24且n ≠367. 函数2sin(6)241x x x y π+=-的图像大致为 8. 已知函数2017sin 01()log 1x x f x x x π⎧=⎨>⎩，，≤≤，若a 、b 、c 互不相等，且f (a ) = f (b ) = f (c )，则a b c ++ 的取值范围是A ．(1，2 017)B ．(1，2 018)C ．[2，2 018]D ．(2，2 018)9. 已知点F 1、F 2是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若在右支上存在点A 使得点F 2到直线AF 1的距离为2a ，则离心率e的取值范围是A ．)+∞ B ．)+∞ C ．(1 D ．(1OOOOxxxx yy y yA B C D高三数学(理工类) 第 3 页 (共10. 如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为 A ．6+B ．8+C ．6+D ．6+11. 已知定义域为R 的奇函数y = f (x )的导函数为()y f x '=，当x ≠0时，()()0f x f x x'+>，若11()2(2)22a fb f ==--，，11(ln )(ln )22c f =⋅，则a 、b 、c 的大小关系正确的是 A ．a < c < bB ．b < c < aC ．a < b < cD ．c < a < b12. 已知定义在R 上的函数f (x )，当x ∈[0，2]时，()8(1|1|)f x x =--，且对于任意的实数x ∈1*[2222](2)n n n n +--∈N ，，≥，都有1()(1)22xf x f =-，若函数()()log a g x f x x =-有且只有三个零点，则a 的取值范围为 A ．[2，10]B ．C ．(2，10)D ．第Ⅱ卷第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。

第13－21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22－23题为选考题，考生按要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上。

答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

13. 等比数列{a n }各项均为正数，384718a a a a +=，则12103l o l l o g a a a +++=▲ ．14. 已知实数x 、y 满足203500x y x y x y -⎧⎪-+⎪⎨>⎪>⎪⎩≤≥，则11()()42x y z =的最小值为 ▲ ．高三数学(理工类) 第 4 页 (共 12 页)15. 已知函数()sin()(0||)2f x x πωϕωϕ=+><，的部分图像如图所示，令()6n n a f π=，则1232017a a a a ++++= ▲ ．16. 若函数()y f x =对定义域D 内的每一个x 1，都存在唯一的x 2∈D ，使得12()()1f x f x ⋅=成立，则称f (x )为“自倒函数”．给出下列命题：①()sin [])22f x x x ππ=∈-，是自倒函数； ②自倒函数f (x )可以是奇函数； ③自倒函数f (x )的值域可以是R ；④若()()y f x y g x ==，都是自倒函数，且定义域相同，则()()y f x g x =⋅也是自倒函数． 则以上命题正确的是 ▲ (写出所有正确命题的序号)． 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分12分)已知{a n }的前n 项和244n S n n =-+． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)求数列7{}2n n a-的前n 项和T n ．18. (本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知3c o s 2)c o s 0c o s 5a B cA B +==，．(Ⅰ)求cos C 的值；高三数学(理工类) 第 5 页 (共 12 页)(Ⅱ)若a = 15，D 为AB 边上的点，且2AD = BD ，求CD 的长．19. (本小题满分12分)如图一，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点，且该四棱锥的俯视图和侧视图如图二所示． (Ⅰ)证明：平面PBC ⊥平面PBD ； (Ⅱ)求二面角A －BM －C 的余弦值．20. (本小题满分12分)动点P 到定点F (0，1)的距离比它到直线2y =-的距离小1，设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F 的直线交曲线C 于A 、B 两个不同的点，过点A 、B 分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M ．(Ⅰ)求曲线C 的方程； (Ⅱ)求证：0AB MF ⋅=； (Ⅲ)求△ABM 的面积的最小值．B CDPM图一俯视图图二高三数学(理工类) 第 6 页 (共 12 页)21. (本小题满分12分)定义在R 上的函数f (x )满足2222(1)1()2(0)()()(1)224x f x f x e x f x g x f x a x a -'=+-=-+-+，. (Ⅰ)求函数f (x )的解析式； (Ⅱ)求函数g (x )的单调区间；(Ⅲ)如果s 、t 、r 满足||||s r t r --≤，那么称s 比t 更靠近r ．当a ≥2且x ≥1时，试比较ex和1x e a -+哪个更靠近ln x ，并说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22. (本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(24)P --，的直线l 的参数方程为：24x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (Ⅱ)若| PM |，| MN |，| PN |成等比数列，求a 的值．高三数学(理工类) 第 7 页 (共 12 页)23. (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数()|32|f x x =+． (Ⅰ)解不等式()4|1|f x x <--；(Ⅱ)已知1m n +=(m ，n > 0)，若11||()(0)x a f x a m n--+>≤恒成立，求实数a 的取值范围．数学(理工类)参考答案及评分标准说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。

当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。

一．选择题：DCBAC ADDBC AB 二．填空题：13．20 14．11615．1 16．①② 三．解答题：17．(Ⅰ)解：当n ≥2时，2214[4(1)(1)]52n n n a S S n n n n n -=-=-----=- 2分 当n = 1时，117a S ==∴{71522n n a n n ==-，，≥4分(Ⅱ)解：令72nn na b -=当n = 1时，1117702T b -===5分当n ≥2时，17122n n n n a n b --+==23213451022222n n n n n T --+=++++++7分 234113451222222n n nn n T -+=+++++8分 两式相减得：2111111122222n n n n T -+=++++-9分高三数学(理工类) 第 8 页 (共 12 页)11()132212212n n nn n -++=-=-- ∴1342n n n T -+=- (n ≥2)11分 综上，1013422n n n n T n -=⎧⎪+=⎨-⎪⎩，，≥． 12分18．(Ⅰ)解：由cos ()cos 0a B b A +=得：sin cos (sin )cos 0A B B C A +-= 2分即sin cos cos sin sin sin()sin A B A B A C A B A C +=⇒+=sin sin C A C ⇒4分 ∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴sin 0C ≠因此，cos 2A =，又0A π<<，故4A π=6分 由3cos 5B =得：4sin 5B ==7分∴cos cos[()]cos()cos cos sinsin 44C A B A B B B πππ=-+=-+=-+ 8分 (Ⅱ)解：由cos Csin C == 9分由正弦定理得：1521sin4c π=⇒=，∴2143BD c == 11分在△BCD 中，22231514215141695CD =+-⨯⨯⨯=∴CD = 13．12分19．(Ⅰ)证：由俯视图可得222BD BC CD += ∴BC ⊥BD1分又PD ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥PD 2分 而PD ∩BD ＝D ，故BC ⊥平面PBD 3分 ∵BC ⊂平面PBC∴平面PBC ⊥平面PBD ． 4分(Ⅱ)解：由侧视图可得MD = 3由俯视图及ABCD 是直角梯形得： 2124AB AB =⇒= 5分∴22AD BD AB =-=6分以DA DC DP 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立的空间直角坐标系D －xyz ，则高三数学(理工类) 第 9 页 (共 12 页)D (0，0，0)，A (3，0，0)，B (3，1，0)，C (0，4，0)，M (0，0，3) (010)(330)(313)AB BC BM ==-=--，，，，，，，，设平面AMB 的法向量为n 1 = (x 1，y 1，z 1)，则1100AB BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n ，即11130y z ⎧⎨-+=⎩令13x =，则1z =1(30=，n 是平面AMB 的一个法向量 8分设平面BMC 的法向量为n 2 = (x 2，y 2，z 2)，则2200AB BM⎧⋅=⎨⋅=⎩n n，即222223030y y z ⎧+=⎨-+=⎩令x 2= 3，则22y z ==，∴2(3=n 是平面BMC 的一个法向量 10分121212(30(3cos ||||⋅⋅<>===，，n n n n n n又由图可知，二面角A －BM －C 为钝二面角∴二面角A －BM －C 的余弦值为．12分20．(Ⅰ)解：由已知，动点P 在直线2y =-上方，条件可转化为动点P 到定点F (0，1)的距离等于它到直线1y =-距离 1分 ∴动点P 的轨迹是以F (0，1)为焦点，直线1y =-为准线的抛物线 故其方程为24x y =．2分(Ⅱ)证：设直线AB 的方程为：1y kx =+由{241x y y kx ==+得：2440x kx --=3分 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则44A B A B x x k x x +==-，4分由24x y =得：214y x =，∴12y x '=∴直线AM 的方程为：211()42AA A y x x x x -=- ① 5分 直线BM 的方程为：211()42BB B y x x x x -=- ② 6分 ①－②得：2222111)()()422B A A B B A x x x x x x x -=-+-（，即22A B x x x k +==7分将2A B x x x +=代入①得：22111142244B A A A A B Ax x y x x x x x --==- ∴114A B y x x ==-故(21)M k -， 9分∴(22)(())B A B A MF k AB x x k x x =-=--，，，高三数学(理工类) 第 10 页 (共 12 页)∴2()2()0B A B A AB MF k x x k x x ⋅=---=10分(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，点M 到AB的距离||d MF == ∵2||||||2()444A B A B AB AF BF y y k x x k =+=++=++=+∴322211||4(1)4(1)422S AB d k k ==⨯+⨯+≥∴当k = 0时，△ABM 的面积有最小值4．12分21．(Ⅰ)解：22()(1)22(0)x f x f e x f -''=+- ∴(1)(1)22(0)f f f ''=+-，故f (0) = 1又2(1)(0)2f f e -'=，∴2(1)2f e '= 因此22()2x f x e x x =+-2分(Ⅱ)解：∵22()2x f x e x x =+-∴22211()(1)1(1)44x g x e x x x a x e a x =+--+-+=--∴()x g x e a '=-4分①当a ≤0时，()0g x '>，函数g (x )在R 上单调递增；②当a > 0时，由()0x g x e a '=-=得：ln x a = ∴(ln )x a ∈-∞，时，()0g x '<，g (x )单调递减 (ln )x a ∈+∞，时，()0g x '>，g (x )单调递增综上，当a ≤0时，函数g (x )的单调递增区间为()-∞+∞，； 当a > 0时，函数g (x )的单调递增区间为(ln )a +∞，，单调递减区间为(ln )a -∞，． 6分(Ⅲ)解：()ln (1)ep x x x x =-≥，1()ln (1)x q x e a x x -=+-≥ ∵21()0e p x x x'=--<，∴p (x )在[1，＋∞)上为减函数又p (e ) = 0，∴当1≤x ≤e 时，p (x )≥0，当x > e 时，p (x ) < 07分∵11()x q x e x -'=-，121(())0x q x e x-''=+>∴()q x '在[1，＋∞)上为增函数，又(1)0q '=∴x ∈[1，＋∞)时，()0q x '≥，故q (x )在[1，＋∞)上为增函数∴q (x )≥q (1)＝a ＋1>08分①当1≤x ≤e 时，1|()||()|()()x ep x q x p x q x e a x--=-=-- 设1()x e h x e a x -=--，则12()0x eh x e x-'=--< ∴h (x )在[1，＋∞)上为减函数 ∴h (x )≤m (1)＝e －1－a∵a ≥2，∴h (x ) < 0，∴| p (x ) | < | q (x ) |高三数学(理工类) 第 11 页 (共 12 页)∴ex比1x e a -+更靠近ln x ； 10分②当x > e 时，11|()||()|()()2ln 2ln x x ep x q x p x q x x e a x e a x---=--=-+--<-- 设1()2ln x r x x e a -=--，则12()x r x e x -'=-，122(())0x r x e x-''=--<∴()r x '在x > e 时为减函数，∴12()()0e r x r e e e-''<=-<∴r (x )在x > e 时为减函数的，∴1()()20e r x r e a e -<=--<∴| p (x ) | < | q (x ) | ∴ex比1x e a -+更靠近ln x ． 综上：当a ≥2且x ≥1时，ex比1x e a -+更靠近ln x ．12分22．(Ⅰ)解：由2sin 2cos (0)a a ρθθ=>得：2(sin )2cos a ρθρθ= ∴曲线C 的直角坐标方程为：22y ax =(a > 0)2分由24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去参数t 得直线l 的普通方程为2y x =- 4分(Ⅱ)解：将直线l的参数方程24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入22y ax =中得：2(4)8(4)0t a t a -+++=6分 设M 、N 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则有1212)8(4)t t a t t a +=+=+，8分 ∵2||||||PM PN MN ⋅=，∴2212121212()()4=t t t t t t t t -=+- 即28(4)40(4)a a +=+，解得1a =．10分23．(Ⅰ)解：不等式()4|1|f x x <--可化为：|32||1|4x x ++-< ①当23x <-时，①式为3214x x ---+<，解得5243x -<<-；2分 当213x -≤≤，①式为3214x x +-+<，解得2132x -<≤；4分当x > 1时，①式为3214x x ++-<，无解．综上所述，不等式()4|1|f x x <--的解集为51()42-，．6分(Ⅱ)解：1111()()24n mm n m n m n m n+=++=++≥高三数学(理工类) 第 12 页 (共 12 页)令22232()||()|||32|42322x a x g x x a f x x a x x a x a x a x a ⎧++<-⎪⎪⎪=--=--+=--+-⎨⎪--->⎪⎪⎩，，，≤≤∴23x =-时，max 2()3g x a =+8分要使不等式恒成立，只需max 2()43g x a =+≤，即1003a <≤∴实数a 取值范围是10(0]3，．10分。